Как решить уравнение Эйлера: подстановка y = x^k

Дано: уравнение $x^2 y'' + 2x y' - 6y = 0$ при $x > 0$. Найти: общее решение.

Это уравнение Эйлера: степень $x$ в каждом коэффициенте ровно совпадает с порядком производной, которая стоит рядом. Такие уравнения решаются подстановкой $y = x^k$ - она превращает дифференциальное уравнение в обычное квадратное относительно $k$. Здесь получится $k^2 + k - 6 = 0$ с корнями $k_1 = 2$ и $k_2 = -3$, поэтому ответ: $y = C_1 x^2 + C_2 x^{-3}$. Калькулятор сверху пересчитывает характеристическое уравнение и вид ответа для любых коэффициентов и сам определяет, какой из трёх случаев корней сработал.

Решение по шагам

Шаг 1. Убеждаемся, что уравнение эйлерово. Смотрим на пары «коэффициент - производная»: при $y''$ стоит $x^2$, при $y'$ стоит $x$ в первой степени, при $y$ стоит $x^0$. Степень и порядок совпадают, значит это уравнение Эйлера, а не какое-то другое уравнение с переменными коэффициентами. Числовые множители $2$ и $-6$ на это не влияют - важны только степени $x$.

Шаг 2. Подставляем $y = x^k$. Находим производные степенной функции:

$$y = x^k, \qquad y' = k x^{k-1}, \qquad y'' = k(k-1) x^{k-2}.$$

Подставляем всё в уравнение и следим за степенями:

$$x^2 \cdot k(k-1)x^{k-2} + 2x \cdot k x^{k-1} - 6 x^k = 0.$$

Шаг 3. Выносим $x^k$ за скобку. В каждом слагаемом степени складываются и дают ровно $x^k$: $2 + k - 2 = k$, $1 + k - 1 = k$, $k = k$. Это и есть причина, по которой подстановка работает:

$$x^k \big[ k(k-1) + 2k - 6 \big] = 0.$$

Шаг 4. Сокращаем на $x^k$ и получаем характеристическое уравнение. При $x > 0$ множитель $x^k$ в ноль не обращается, поэтому в ноль обязана обратиться скобка:

$$k(k-1) + 2k - 6 = 0 \quad \Longrightarrow \quad k^2 + k - 6 = 0.$$

Шаг 5. Находим корни. Обычный дискриминант:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25, \qquad k_{1,2} = \frac{-1 \pm 5}{2}.$$

Отсюда $k_1 = 2$ и $k_2 = -3$: корни вещественные и разные.

Шаг 6. Записываем общее решение. Каждому корню отвечает своя степенная функция, общее решение - их линейная комбинация:

$$y = C_1 x^2 + C_2 x^{-3} = C_1 x^2 + \frac{C_2}{x^3}.$$

Ответ: $y = C_1 x^2 + \dfrac{C_2}{x^3}$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.

Шаг 7. Проверка. Подставим $y = x^{-3}$: тогда $y' = -3x^{-4}$, $y'' = 12x^{-5}$, и левая часть равна $12x^{-3} - 6x^{-3} - 6x^{-3} = 0$. Для $y = x^2$ аналогично: $2x^2 + 4x^2 - 6x^2 = 0$. Обе функции подходят, а их вронскиан не равен нулю, значит базис решений найден верно.

Формула и откуда она берётся

В общем виде однородное уравнение Эйлера второго порядка записывают так:

$$x^2 y'' + a x y' + b y = 0, \qquad x > 0.$$

Та же подстановка $y = x^k$ даёт характеристическое уравнение

$$k(k-1) + a k + b = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad k^2 + (a - 1)k + b = 0.$$

Обрати внимание на коэффициент $a - 1$, а не $a$: единица «съедается» вторым сомножителем в $k(k-1)$. Именно здесь теряется больше всего баллов - многие по инерции пишут $k^2 + ak + b = 0$, как для уравнения с постоянными коэффициентами, и получают чужие корни.

Работает подстановка по той же причине, что и показательная $y = e^{\lambda x}$ в уравнениях с постоянными коэффициентами: степенная функция воспроизводит саму себя. Каждое дифференцирование понижает степень на единицу, а множитель $x^m$ перед $y^{(m)}$ возвращает её на место, так что все слагаемые оказываются пропорциональны одному и тому же $x^k$. Для уравнения порядка $n$ правило то же: слагаемое $x^m y^{(m)}$ превращается в произведение $k(k-1)(k-2)\cdots(k-m+1)$.

Второй способ: замена x = e^t

Второй стандартный путь - заменить переменную и свести уравнение к постоянным коэффициентам. Положим $x = e^t$, то есть $t = \ln x$ (это законно как раз при $x > 0$). По правилу дифференцирования сложной функции

$$x \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}, \qquad x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}.$$

Подставляем эти выражения в общий вид и приводим подобные:

$$\frac{d^2 y}{dt^2} + (a - 1)\frac{dy}{dt} + b y = 0.$$

Получилось линейное уравнение с постоянными коэффициентами, и его характеристическое уравнение $\lambda^2 + (a-1)\lambda + b = 0$ буквально совпадает с уравнением для $k$. Для нашей задачи это $\lambda^2 + \lambda - 6 = 0$, корни $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -3$, решение $y = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}$. Возвращаемся к $x$, помня, что $e^t = x$, и снова получаем $y = C_1 x^2 + C_2 x^{-3}$.

Два способа не конкурируют: подстановка $y = x^k$ короче, замена $x = e^t$ удобнее, когда справа не ноль и нужно подбирать частное решение. Техника составления и разбора характеристического уравнения одинаковая - её подробный разбор есть в заметке про комплексные корни.

Три случая корней и что писать в ответе

Вид ответа зависит только от знака дискриминанта $D = (a-1)^2 - 4b$:

Кратный корень: в уравнении $x^2 y'' - 3x y' + 4y = 0$ характеристическое уравнение равно $k^2 - 4k + 4 = 0$, то есть $(k - 2)^2 = 0$ и $k = 2$. Одной функции $x^2$ мало, второе независимое решение - $x^2 \ln x$, и ответ имеет вид $y = x^2(C_1 + C_2 \ln x)$. Множитель $\ln x$ здесь играет ту же роль, что множитель $x$ в случае кратного корня уравнения с постоянными коэффициентами: после замены $x = e^t$ он в него и переходит.

Комплексные корни: у уравнения $x^2 y'' + x y' + 4y = 0$ характеристическое уравнение равно $k^2 + 4 = 0$, откуда $k = \pm 2i$, то есть $\alpha = 0$, $\beta = 2$. Вещественная форма ответа - $y = C_1 \cos(2\ln x) + C_2 \sin(2 \ln x)$. Такое решение колеблется не по $x$, а по $\ln x$: полные колебания становятся всё длиннее по мере роста $x$. Переключи чипы в калькуляторе сверху, чтобы увидеть все три картинки на одном графике.

Если заданы начальные условия

Пусть к нашему уравнению добавлены условия $y(1) = 2$ и $y'(1) = -1$. Берём найденное общее решение и его производную $y' = 2C_1 x - 3C_2 x^{-4}$, подставляем $x = 1$:

$$\begin{aligned} C_1 + C_2 &= 2, \\ 2C_1 - 3C_2 &= -1. \end{aligned}$$

Из первого уравнения $C_1 = 2 - C_2$; подставляем во второе: $4 - 2C_2 - 3C_2 = -1$, то есть $5C_2 = 5$ и $C_2 = 1$, а значит $C_1 = 1$. Частное решение: $y = x^2 + \dfrac{1}{x^3}$. Именно с этими постоянными калькулятор открывается по умолчанию. Общая схема подстановки начальных условий не зависит от типа уравнения и подробно разобрана в задаче про решение задачи Коши.

Точка $x = 0$ для уравнения Эйлера особая: коэффициент при старшей производной там обращается в ноль, поэтому задачу Коши ставят либо при $x > 0$, либо при $x < 0$. Во второй полуплоскости всё повторяется с заменой $x$ на $|x|$: ответ выглядит как $y = C_1|x|^{k_1} + C_2|x|^{k_2}$.

Частые ошибки

• Пишут характеристическое уравнение $k^2 + ak + b = 0$ вместо $k^2 + (a-1)k + b = 0$, забыв раскрыть $k(k-1)$. Самая массовая ошибка: корни получаются чужие, а проверка подстановкой не делается.
• Путают уравнение Эйлера с однородным уравнением первого порядка вида $y' = f(y/x)$. Там работает замена $y = ux$, здесь - подстановка $y = x^k$, это разные объекты с похожими названиями.
• В случае кратного корня пишут $y = C_1 x^k + C_2 x^k$, то есть фактически одну функцию с одной постоянной. Второе решение обязано отличаться множителем $\ln x$.
• При комплексных корнях оставляют ответ в виде $x^{\alpha \pm i\beta}$ и не переводят его в вещественную форму с косинусом и синусом от $\ln x$.
• Теряют знак степени: корень $k = -3$ даёт $x^{-3}$, то есть $1/x^3$, а не $-x^3$.
• Применяют метод к уравнению, где степени не совпадают с порядками, например к $x y'' + 2y' - y = 0$. Здесь подстановка $y = x^k$ не даёт общего множителя и ничего не упрощает.

FAQ

Как быстро узнать уравнение Эйлера? Проверь пары «коэффициент - производная» сверху вниз. Если при $y^{(m)}$ стоит ровно $x^m$ с точностью до числового множителя, уравнение эйлерово. Иногда его записывают в виде $(2x + 3)^2 y'' + \ldots$ - это обобщённое уравнение Эйлера, оно сводится к обычному заменой $z = 2x + 3$.

Обязательно ли условие $x > 0$? Для записи ответа через $x^k$ и $\ln x$ - да, иначе логарифм и дробные степени не определены. При $x < 0$ подставляют $x = -e^t$ и получают тот же ответ с $|x|$. Через точку $x = 0$ решение, вообще говоря, не продолжается.

Что делать, если справа не ноль? Сначала находят общее решение однородного уравнения описанным способом, затем ищут частное решение неоднородного. Правая часть вида $x^s$ подбирается как $Ax^s$ (а при совпадении $s$ с корнем - как $Ax^s\ln x$); в общем случае помогает метод вариации постоянных или замена $x = e^t$ с последующим подбором.

Работает ли метод для третьего порядка? Да. Уравнение $x^3y''' + a x^2 y'' + b x y' + c y = 0$ той же подстановкой сводится к кубическому уравнению $k(k-1)(k-2) + a k(k-1) + b k + c = 0$. Кратный корень кратности $r$ даёт набор решений $x^k, x^k\ln x, \ldots, x^k(\ln x)^{r-1}$.

Коротко

1. Опознай уравнение Эйлера: степень $x$ в коэффициенте равна порядку производной рядом с ним.
2. Подставь $y = x^k$, вынеси $x^k$ за скобку и сократи на него при $x > 0$.
3. Реши характеристическое уравнение $k^2 + (a - 1)k + b = 0$, не потеряв единицу из $k(k-1)$.
4. Собери ответ по случаю корней: разные вещественные - степени $x^{k_1}, x^{k_2}$; кратный - множитель $\ln x$; комплексные - $x^{\alpha}$ с косинусом и синусом от $\beta \ln x$.
5. Для $x^2 y'' + 2x y' - 6y = 0$ получается $k^2 + k - 6 = 0$, корни $2$ и $-3$, ответ $y = C_1 x^2 + C_2 x^{-3}$; при $y(1) = 2$, $y'(1) = -1$ обе постоянные равны единице.