Как решить однородное дифференциальное уравнение

Дано: уравнение $2xy\,y' = 3y^2 - x^2$ и начальное условие $y(1) = 2$. Найти: частное решение и значение $y(2)$.

Уравнение однородное: после деления числителя и знаменателя правой части на $x^2$ там остаётся функция одного отношения $y/x$. Такое уравнение решается заменой $y = ux$, которая превращает его в уравнение с разделяющимися переменными. Ответ: $y^2 = x^2 + 3x^3$, то есть $y = x\sqrt{1 + 3x}$ при $x > 0$, и $y(2) = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29$. Калькулятор сверху прогоняет ту же схему для любых коэффициентов и строит интегральную кривую, а ниже идёт решение по шагам.

Решение по шагам

Дано. $2xy\,y' = 3y^2 - x^2$, $y(1) = 2$. Найти: частное решение задачи Коши и значение $y(2)$.

Шаг 1. Разрешить уравнение относительно производной. Делим обе части на $2xy$:

$$y' = \frac{3y^2 - x^2}{2xy}, \qquad x \ne 0,\; y \ne 0.$$

Пока уравнение записано как $2xy\,y' = 3y^2 - x^2$, однородность не видна: её проверяют по функции $f(x, y)$ в правой части явной формы.

Шаг 2. Проверить однородность. Заменим $x$ на $tx$, а $y$ на $ty$ и посмотрим, изменится ли правая часть:

$$f(tx, ty) = \frac{3t^2y^2 - t^2x^2}{2\,(tx)(ty)} = \frac{t^2\,(3y^2 - x^2)}{t^2 \cdot 2xy} = f(x, y).$$

Множитель $t$ сократился полностью, значит $f$ однородна нулевой степени и уравнение однородное. На практике быстрее поделить числитель и знаменатель на $x^2$:

$$y' = \frac{3\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2} - 1}{2\,\dfrac{y}{x}}.$$

Справа осталась функция одного аргумента $y/x$ - это и есть рабочий признак. Разбор всех пяти типов уравнений первого порядка и порядок их проверки лежит в отдельном разборе как определить тип уравнения.

Шаг 3. Сделать замену $y = ux$. Здесь $u = u(x)$ - новая неизвестная функция, а не константа, поэтому производную берём по правилу произведения:

$$y = ux, \qquad y' = u'x + u.$$

Подставляем и то и другое в уравнение, попутно заменяя $y/x$ на $u$:

$$u'x + u = \frac{3u^2 - 1}{2u}.$$

Шаг 4. Собрать производную в одной части. Переносим $u$ вправо и приводим к общему знаменателю:

$$x\frac{du}{dx} = \frac{3u^2 - 1}{2u} - u = \frac{3u^2 - 1 - 2u^2}{2u} = \frac{u^2 - 1}{2u}.$$

Слева осталась только производная с множителем $x$, справа - функция одного $u$. Это уже уравнение с разделяющимися переменными, и дальше работает стандартная техника.

Шаг 5. Разделить переменные и проинтегрировать. При $u^2 \ne 1$ и $x \ne 0$ переносим всё с $u$ влево, всё с $x$ вправо:

$$\frac{2u\,du}{u^2 - 1} = \frac{dx}{x}.$$

В левом интеграле числитель - производная знаменателя, поэтому он берётся сразу как логарифм:

$$\ln\left|u^2 - 1\right| = \ln|x| + \ln|C| \quad\Longrightarrow\quad u^2 - 1 = Cx.$$

Константу удобно сразу писать в виде $\ln|C|$: тогда после потенцирования она встаёт множителем, а не слагаемым.

Шаг 6. Вернуться к исходной функции. Подставляем $u = y/x$ обратно:

$$\frac{y^2}{x^2} - 1 = Cx \quad\Longrightarrow\quad y^2 = x^2 + Cx^3.$$

Это общий интеграл: каждому $C$ отвечает своя кривая семейства.

Шаг 7. Найти константу из начального условия. Подставляем $x = 1$, $y = 2$:

$$2^2 = 1^2 + C \cdot 1^3 \quad\Longrightarrow\quad 4 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 3.$$

Шаг 8. Проверить подстановкой. Дифференцируем $y^2 = x^2 + 3x^3$ по $x$: $2y\,y' = 2x + 9x^2$. Умножаем на $x$ и получаем левую часть исходного уравнения: $2xy\,y' = 2x^2 + 9x^3$. Правая часть даёт то же самое: $3y^2 - x^2 = 3(x^2 + 3x^3) - x^2 = 2x^2 + 9x^3$. Значения сошлись, решение верное.

Ответ. Общий интеграл $y^2 = x^2 + Cx^3$; частное решение $y^2 = x^2 + 3x^3$, в явном виде $y = x\sqrt{1 + 3x}$ на промежутке $x > 0$, и $y(2) = 2\sqrt{1 + 6} = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29$.

Почему замена y = ux всегда разделяет переменные

Однородность нулевой степени означает ровно одно: значение $f(x, y)$ зависит не от самих $x$ и $y$, а только от их отношения. Формально из $f(tx, ty) = f(x, y)$ при $t = 1/x$ получаем $f(x, y) = f\!\left(1, \dfrac{y}{x}\right) = \varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$. То есть любое однородное уравнение можно записать как $y' = \varphi(y/x)$.

Дальше замена работает автоматически. Подставив $y = ux$ и $y' = u'x + u$, получаем $u'x + u = \varphi(u)$, откуда

$$x\frac{du}{dx} = \varphi(u) - u.$$

Справа стоит функция только от $u$, слева - только производная и $x$. Переменные разделены при любой $\varphi$, поэтому метод не зависит от того, насколько страшной выглядела исходная дробь. Единственное, что может оказаться тяжёлым, - интеграл $\int \dfrac{du}{\varphi(u) - u}$, но это уже вопрос техники интегрирования, а не типа уравнения.

Как распознать однородное уравнение

Для явной формы $y' = f(x, y)$ признак один: подстановка $x \to tx$, $y \to ty$ не меняет правую часть. Проверка занимает две строки и не требует ничего, кроме сокращения степеней $t$.

Для симметричной формы $M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$ признак другой: обе функции $M$ и $N$ должны быть однородными одной и той же степени. Тогда их отношение автоматически однородно нулевой степени. Практический критерий для многочленов: суммарная степень $x$ и $y$ одинакова во всех слагаемых. В $(y^2 - 2xy)\,dx + x^2\,dy = 0$ все слагаемые имеют степень 2, значит уравнение однородное.

Типичная ловушка - свободные члены. Уравнение $y' = \dfrac{x + y - 3}{x - y + 1}$ похоже на однородное, но числа $-3$ и $1$ имеют степень 0 и портят однородность. Такое уравнение сначала сводят к однородному сдвигом системы координат в точку пересечения прямых, и это отдельная схема: уравнение, приводящееся к однородному.

Форма M dx + N dy = 0 и замена x = vy

Если уравнение дано в симметричной форме, его не обязательно разрешать относительно $y'$. Достаточно подставить $y = ux$ и $dy = u\,dx + x\,du$ прямо в дифференциалы - множитель $x^{k}$ вынесется за скобки и сократится. Результат тот же: уравнение с разделяющимися переменными относительно $u$ и $x$.

Иногда выгоднее менять роли переменных и брать $x = vy$, $dx = v\,dy + y\,dv$. Это удобно, когда $y$ входит в уравнение проще, чем $x$. Например, в уравнении $y^2\,dx + (x^2 - xy)\,dy = 0$ замена $x = vy$ сразу даёт $y\,v' = -v^2$, откуда $\dfrac{dv}{v^2} = -\dfrac{dy}{y}$ и общий интеграл $\dfrac{y}{x} = \ln|y| + C$. Замена $y = ux$ приводит к тому же ответу, но с лишним шагом. Правило простое: смотри, относительно какой переменной уравнение линейнее, и заменяй вторую.

Прямые решения, которые теряются при делении

На пятом шаге мы поделили на $u^2 - 1$, и это законно только при $u \ne \pm 1$. Значения $u$, обращающие знаменатель в ноль, - это постоянные решения уравнения для $u$, а в исходных переменных они дают прямые $y = x$ и $y = -x$, проходящие через начало координат.

Проверим $y = x$ подстановкой: слева $2x \cdot x \cdot 1 = 2x^2$, справа $3x^2 - x^2 = 2x^2$. Это действительно решение. Такие прямые есть у любого однородного уравнения: если $\varphi(u_0) = u_0$, то $y = u_0 x$ - решение, потому что вдоль этого луча наклон касательной совпадает с наклоном самого луча.

В нашем случае прямые не потеряны: при $C = 0$ общий интеграл даёт $y^2 = x^2$, то есть те же $y = \pm x$. Но так бывает не всегда - иногда особые прямые в семейство не входят, и их приходится дописывать к ответу отдельно. Поэтому корни уравнения $\varphi(u) = u$ проверяют всегда, даже если задача этого прямо не требует.

Частые ошибки

• Берут производную замены как $y' = u'x$. В замене $y = ux$ обе части зависят от $x$, поэтому $y' = u'x + u$. Потерянное слагаемое $u$ ломает шаг 4: справа не сокращается $u$, и переменные не разделяются.
• Проверяют однородность по виду, не сокращая $t$. Дробь может выглядеть симметрично и не быть однородной. Формальная подстановка $x \to tx$, $y \to ty$ занимает строку и даёт однозначный ответ.
• Забывают про свободные члены. Слагаемое без $x$ и $y$ в числителе или знаменателе сразу лишает уравнение однородности: нужна схема со сдвигом, а не замена $y = ux$.
• Не проверяют корни знаменателя. Деление на $\varphi(u) - u$ выбрасывает решения $u = \text{const}$, то есть прямые $y = u_0x$. Их проверяют подстановкой в исходное уравнение.
• Останавливаются на переменной $u$. Ответ вида $u^2 - 1 = Cx$ решением исходной задачи не является: обязателен возврат $u = y/x$.
• Путают $y_0$ и $u_0$ при подстановке условия. Начальное условие задано для $y$, а промежуточный интеграл записан для $u$. В нашем примере $y(1) = 2$ даёт $u(1) = 2$ только потому, что $x_0 = 1$; при $x_0 = 4$ было бы $u_0 = 0{,}5$. Надёжнее подставлять условие в общий интеграл, уже переписанный через $y$.

FAQ

Однородное уравнение первого порядка и однородное линейное уравнение - это одно и то же? Нет, слово «однородное» здесь означает разное. Уравнение первого порядка называют однородным, когда его правая часть - однородная функция нулевой степени, то есть зависит только от $y/x$. У линейных уравнений однородным называют уравнение с нулевой правой частью, например $y'' + py' + qy = 0$. Общего у них только термин, методы решения разные: метод Бернулли к однородному уравнению первого порядка отношения не имеет.

Обязательно ли доводить ответ до явного вида $y = \ldots$? Нет. Общий интеграл $y^2 = x^2 + Cx^3$ - полноценный ответ, и часто он единственно возможный: разрешить соотношение относительно $y$ удаётся далеко не всегда. В задаче Коши явный вид полезен тем, что сразу показывает нужную ветвь и область определения. У нас условие $y(1) = 2 > 0$ выбирает ветвь $y = x\sqrt{1 + 3x}$, а требование $x \ne 0$ ограничивает промежуток до $x > 0$. Подробнее про выбор ветви и константы - в разборе как решить задачу Коши.

Что делать, если после замены получился неберущийся интеграл? Тип уравнения от этого не меняется: оно всё равно однородное и всё равно сводится к разделяющимся переменным. Ответ тогда записывают через интеграл или через специальные функции, а численное значение в конкретной точке считают приближённо. Проверьте только, нельзя ли упростить $\varphi(u) - u$ до табличной дроби - чаще всего в учебных задачах именно так и получается.

Как понять, что уравнение однородное, если оно записано через дифференциалы? Смотрите на $M$ и $N$ по отдельности: обе функции должны быть однородными одной степени. Для многочленов это значит, что сумма показателей $x$ и $y$ одинакова во всех слагаемых обеих функций. Если степени $M$ и $N$ разные, уравнение не однородное, и надо проверять другие типы: точный дифференциал, линейное, Бернулли.

Коротко

1. Разреши уравнение относительно $y'$ и проверь однородность подстановкой $x \to tx$, $y \to ty$: если множители $t$ сократились, правая часть зависит только от $y/x$.
2. Сделай замену $y = ux$, помня, что $y' = u'x + u$; уравнение примет вид $x\,u' = \varphi(u) - u$.
3. Раздели переменные: $\dfrac{du}{\varphi(u) - u} = \dfrac{dx}{x}$, проинтегрируй обе части и не теряй модули под логарифмом.
4. Вернись к $y$, подставив $u = y/x$, и отдельно проверь корни уравнения $\varphi(u) = u$ - это прямые $y = u_0x$.
5. Для примера $2xy\,y' = 3y^2 - x^2$ схема даёт $u^2 - 1 = Cx$, общий интеграл $y^2 = x^2 + Cx^3$, а условие $y(1) = 2$ выделяет $y^2 = x^2 + 3x^3$ и значение $y(2) = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29$.