Как найти интегрирующий множитель: разбор примера

Дано: уравнение $(3xy + y^2)\,dx + (x^2 + xy)\,dy = 0$ с начальным условием $y(1) = 2$. Найти: интегрирующий множитель, общий интеграл и частное решение.

Уравнение не точное: смешанные производные $M_y$ и $N_x$ не совпадают. Отношение $(M_y - N_x)/N$ сокращается до функции одного $x$, поэтому годится множитель $\mu(x)$. Ответ: $\mu(x) = x$, общий интеграл $x^3y + \dfrac{x^2y^2}{2} = C$, частное решение $x^3y + \dfrac{x^2y^2}{2} = 4$. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: ползунки меняют коэффициенты, чипы переключают тест с $\mu(x)$ на $\mu(y)$.

Решение по шагам

Дано. $M(x,y) = 3xy + y^2$, $N(x,y) = x^2 + xy$, точка $x_0 = 1$, $y_0 = 2$.

Шаг 1. Проверяем условие точности. Берём частные производные по «чужой» переменной:

$$M_y = \frac{\partial}{\partial y}\left(3xy + y^2\right) = 3x + 2y, \qquad N_x = \frac{\partial}{\partial x}\left(x^2 + xy\right) = 2x + y.$$

Производные не равны, значит левая часть не является полным дифференциалом и восстановить потенциал напрямую нельзя. Как это делается для точного уравнения, разобрано в статье про уравнение в полных дифференциалах; здесь нам сначала нужно сделать уравнение точным.

Шаг 2. Прогоняем тест на множитель, зависящий только от $x$. Считаем разность производных и делим её на $N$:

$$\frac{M_y - N_x}{N} = \frac{(3x + 2y) - (2x + y)}{x^2 + xy} = \frac{x + y}{x\,(x + y)} = \frac{1}{x}.$$

Скобка $(x + y)$ сократилась, и осталась функция одного $x$. Это и есть признак того, что множитель вида $\mu(x)$ существует.

Шаг 3. Находим множитель. Подставляем полученную функцию в формулу:

$$\mu(x) = \exp\left(\int \frac{dx}{x}\right) = e^{\ln |x|} = x.$$

Модуль и произвольную постоянную опускаем: годится любой частный множитель, а знак и масштаб уйдут в константу $C$.

Шаг 4. Умножаем уравнение и проверяем точность заново. Домножаем обе части на $x$:

$$\left(3x^2y + xy^2\right)dx + \left(x^3 + x^2y\right)dy = 0.$$

Контроль обязателен, иначе дальше можно интегрировать не то уравнение:

$$\widetilde{M}_y = 3x^2 + 2xy, \qquad \widetilde{N}_x = 3x^2 + 2xy.$$

Производные совпали, уравнение стало точным.

Шаг 5. Восстанавливаем потенциал $F$. Интегрируем $\widetilde{M}$ по $x$, считая $y$ постоянным:

$$F(x,y) = \int \left(3x^2y + xy^2\right)dx = x^3y + \frac{x^2y^2}{2} + \varphi(y).$$

«Постоянная интегрирования» здесь зависит от $y$, и находят её из второго условия $F_y = \widetilde{N}$:

$$F_y = x^3 + x^2y + \varphi'(y) = x^3 + x^2y \quad\Longrightarrow\quad \varphi'(y) = 0, \quad \varphi(y) = \text{const}.$$

Общий интеграл: $x^3y + \dfrac{x^2y^2}{2} = C$.

Шаг 6. Находим константу по начальному условию. Подставляем $x = 1$, $y = 2$:

$$1^3 \cdot 2 + \frac{1^2 \cdot 2^2}{2} = 2 + 2 = 4.$$

Ответ. Интегрирующий множитель $\mu(x) = x$; общий интеграл $x^3y + \dfrac{x^2y^2}{2} = C$, или в целых коэффициентах $2x^3y + x^2y^2 = 2C$; частное решение при $y(1) = 2$ задаётся равенством $x^3y + \dfrac{x^2y^2}{2} = 4$.

Проверка. Подставим в частное решение $x = 2$: получаем $8y + 2y^2 = 4$, то есть $y^2 + 4y - 2 = 0$ и $y = \sqrt{6} - 2 \approx 0{,}449$. Ровно это значение показывает калькулятор сверху на интегральной кривой в точке $x = 2$, причём считает он её численно, не пользуясь найденной формулой, - совпадение подтверждает, что потенциал восстановлен верно.

Формула: откуда берутся оба теста

Идея метода в одной строке: домножить уравнение на такую функцию $\mu(x,y)$, чтобы новое уравнение $\mu M\,dx + \mu N\,dy = 0$ стало точным. Условие точности для него записывается так:

$$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x} \quad\Longleftrightarrow\quad \mu_y M + \mu M_y = \mu_x N + \mu N_x.$$

Это уравнение в частных производных относительно $\mu$, и в общем виде оно не проще исходной задачи. Поэтому множитель ищут в заведомо простом виде, а условие превращается в обычное уравнение с разделяющимися переменными.

Пусть $\mu = \mu(x)$. Тогда $\mu_y = 0$, и после переноса слагаемых остаётся

$$\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = \frac{M_y - N_x}{N}.$$

Слева стоит функция только от $x$, значит и справа должна получиться функция только от $x$. Это и есть тест: если после упрощения дроби в ней остался $y$, множителя такого вида нет. Если же осталась функция $P(x)$, множитель находится интегрированием:

$$\mu(x) = \exp\left(\int P(x)\,dx\right).$$

Симметрично для $\mu = \mu(y)$: теперь $\mu_x = 0$, и

$$\frac{\mu'(y)}{\mu(y)} = \frac{N_x - M_y}{M}, \qquad \mu(y) = \exp\left(\int \frac{N_x - M_y}{M}\,dy\right).$$

Обрати внимание на два различия между тестами: меняется не только знак разности, но и то, на что она делится. Для $\mu(x)$ делим на $N$, для $\mu(y)$ - на $M$. Перепутать легко, а цена ошибки велика: вывод «множителя не существует» появится там, где он есть.

Когда множитель зависит только от $y$

Возьмём уравнение $(2xy + y^2)\,dx + (3x^2 + 4xy)\,dy = 0$. Здесь $M_y = 2x + 2y$, $N_x = 6x + 4y$, уравнение не точное. Первый тест не проходит: дробь $\dfrac{M_y - N_x}{N} = \dfrac{-4x - 2y}{x(3x + 4y)}$ не сокращается и зависит от обеих переменных. Пробуем второй:

$$\frac{N_x - M_y}{M} = \frac{4x + 2y}{y\,(2x + y)} = \frac{2\,(2x + y)}{y\,(2x + y)} = \frac{2}{y}.$$

Отсюда $\mu(y) = \exp\left(\int \frac{2}{y}\,dy\right) = y^2$. После умножения получаем точное уравнение, потенциал которого равен $F = x^2y^3 + xy^4$, а общий интеграл записывается как $x^2y^3 + xy^4 = C$. Этот пример можно повторить в калькуляторе сверху: поставь ползунки $a = 2$, $b = 1$, $c = 3$, $d = 4$ и переключи чип на множитель, зависящий от $y$.

Полезная привычка - не гадать, а идти по порядку: сначала условие точности, затем тест по $x$, затем тест по $y$. Тот же порядок проверок для других типов уравнений собран в разборе, как определить тип уравнения.

Линейное уравнение: знакомый множитель в другой записи

Метод не новость для того, кто решал линейные уравнения. Запишем $y' + P(x)\,y = Q(x)$ в симметричной форме:

$$\left(P(x)\,y - Q(x)\right)dx + dy = 0.$$

Здесь $M = P(x)y - Q(x)$, $N = 1$, поэтому $M_y = P(x)$, $N_x = 0$, и первый тест даёт $\dfrac{M_y - N_x}{N} = P(x)$ без всяких сокращений. Множитель равен $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$ - та самая формула, которой сворачивают левую часть линейного уравнения в производную произведения $\left(\mu y\right)' = \mu Q$. Такой способ решения задачи Коши показан в разборе задачи Коши вторым методом.

Если не проходит ни один тест

Бывает, что обе дроби зависят от двух переменных. Тогда множитель ищут в более широком классе, подставляя пробный вид в условие $(\mu M)_y = (\mu N)_x$ и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Рабочие варианты:

Пример на первую строку таблицы: у уравнения $(4xy + y^2)\,dx + (x^2 + xy)\,dy = 0$ (в калькуляторе это $a = 4$) оба простых теста проваливаются. Подстановка $\mu = x^m y^n$ приводит к системе $4(n + 1) = m + 2$ и $n + 2 = m + 1$, откуда $m = \frac{2}{3}$, $n = -\frac{1}{3}$ и $\mu = x^{2/3} y^{-1/3}$. Дробные степени в ответе нормальны: множитель не обязан быть многочленом.

Иногда быстрее сменить метод, чем подбирать множитель: если уравнение однородно, работает замена $y = tx$, разобранная в решении однородного уравнения.

Частые ошибки

• Делят на ту же функцию в обоих тестах. Для $\mu(x)$ разность делится на $N$, для $\mu(y)$ - на $M$. При путанице тест «не проходит» там, где множитель есть.
• Теряют знак во втором тесте. В формуле для $\mu(y)$ числитель равен $N_x - M_y$, а не наоборот. Знак меняет степень множителя на противоположную, и уравнение точным не станет.
• Не проверяют точность после умножения. Один пропущенный знак в $\mu$ - и дальше интегрируется уравнение, у которого потенциала нет. Проверка $\widetilde{M}_y = \widetilde{N}_x$ занимает две строки.
• Тащат модуль и константу. Из $\int dx/x = \ln|x| + C_1$ получается $\mu = C|x|$, но нужен любой один множитель: берут $\mu = x$.
• Считают $\varphi$ числом. После интегрирования $\widetilde{M}$ по $x$ «постоянная» зависит от $y$, и её находят из условия $F_y = \widetilde{N}$. Если написать сразу $+\,C$, потеряется часть потенциала.
• Забывают про нули множителя. Домножение на $\mu = x$ может добавить к ответу постороннее решение $x = 0$, а деление на $\mu$ - потерять решение. Точки, где $\mu$ обращается в нуль или в бесконечность, проверяют отдельно подстановкой.

FAQ

Всегда ли интегрирующий множитель существует? В окрестности точки, где $M$ и $N$ гладкие и не обращаются в нуль одновременно, множитель есть всегда, причём не один. Но существование теоретическое: найти его в общем виде не проще, чем решить уравнение. Практическая польза - от узких классов $\mu(x)$, $\mu(y)$, $\mu(xy)$, для которых условие превращается в уравнение с разделяющимися переменными.

Может ли у одного уравнения быть несколько множителей? Да, бесконечно много. Если $\mu$ - множитель, а $F$ - соответствующий потенциал, то $\mu \cdot g(F)$ тоже множитель при любой гладкой $g$. Поэтому ответы, отличающиеся постоянной или заменой $F$ на функцию от $F$, одинаково верны: множество интегральных кривых у них совпадает.

Что делать, если дробь зависит и от $x$, и от $y$? Сначала убедиться, что дробь действительно не сокращается: в примере из разбора скобка $(x + y)$ ушла только после разложения знаменателя на множители. Если не сокращается, пробовать $\mu(y)$, затем $\mu = x^m y^n$ и $\mu(xy)$, а параллельно проверить, не решается ли уравнение как однородное, линейное или Бернулли.

Меняет ли множитель сами решения? Нет, семейство интегральных кривых остаётся прежним: умножение на ненулевую функцию не меняет равенство нулю левой части. Множитель - это приём записи, он превращает уравнение в дифференциал функции. Меняться может только список особых решений в точках, где $\mu = 0$ или $\mu$ не определён.

Коротко

1. Проверь условие точности $M_y = N_x$. Если оно выполнено, множитель не нужен: восстанавливай потенциал сразу.
2. Посчитай $\dfrac{M_y - N_x}{N}$ и обязательно сократи дробь. Осталась функция одного $x$ - множитель равен $\mu(x) = \exp\left(\int \frac{M_y - N_x}{N}dx\right)$.
3. Не вышло - считай $\dfrac{N_x - M_y}{M}$ (другой знак, другой делитель). Осталась функция одного $y$ - множитель равен $\mu(y) = \exp\left(\int \frac{N_x - M_y}{M}dy\right)$.
4. Умножь уравнение на $\mu$, заново проверь точность, восстанови $F$ по $\widetilde{M}$ и $\widetilde{N}$ и запиши $F(x,y) = C$; константу найди из начального условия.
5. В разобранном примере: $\mu(x) = x$, общий интеграл $x^3y + \dfrac{x^2y^2}{2} = C$, частное решение $x^3y + \dfrac{x^2y^2}{2} = 4$, контрольное значение $y(2) = \sqrt{6} - 2 \approx 0{,}449$.