Как найти особое решение уравнения: разбор примера

Дано: $(y')^2 = 4y$. Найти: особое решение.

Особое решение ищут по двум дискриминантным кривым и обязательно проверяют подстановкой. Здесь оба дискриминанта дают одну и ту же прямую $y = 0$: уравнению она удовлетворяет, а из общего решения $y = (x + C)^2$ не получается ни при каком $C$. Ответ: $y = 0$ - это огибающая семейства парабол. Калькулятор сверху рисует семейство и точку касания: при $C = 1$ парабола $y = (x + 1)^2$ трогает ось абсцисс в точке $(-1;\, 0)$.

Решение по шагам

Дано. Уравнение первого порядка, не разрешённое относительно производной:

$$(y')^2 = 4y.$$

Найти: особое решение и обоснование того, что оно именно особое.

Шаг 1. Понять, что именно ищем. Особое решение - это решение, в каждой точке которого нарушается единственность: через точку проходит ещё одна интегральная кривая с тем же наклоном. Проверять единственность по определению неудобно, поэтому пользуются рабочим признаком из двух частей. Функция должна, во-первых, удовлетворять уравнению, во-вторых, не получаться из общего решения ни при каком конечном значении постоянной. Условия теоремы о единственности в точках особого решения как раз и ломаются - подробности в статье про существование и единственность решения задачи Коши.

Шаг 2. Составить p-дискриминантную кривую. Обозначим $p = y'$ и перепишем условие в виде $F(x, y, p) = 0$:

$$F(x, y, p) = p^2 - 4y.$$

Кандидаты в особые решения ищутся из системы, где к уравнению добавлена производная по $p$:

$$\begin{cases} F(x, y, p) = 0, \\[4pt] \dfrac{\partial F}{\partial p} = 0. \end{cases}$$

У нас $\dfrac{\partial F}{\partial p} = 2p$, значит $p = 0$. Подставляем это в первое уравнение: $0 - 4y = 0$, откуда $y = 0$. Параметр $p$ исключён, и p-дискриминантная кривая найдена: это ось абсцисс.

Шаг 3. Найти общее решение. Оно нужно для второй проверки. Из условия $p = \pm 2\sqrt{y}$, переменные разделяются:

$$\frac{dy}{2\sqrt{y}} = \pm\, dx \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{y} = \pm x + c.$$

Возведение в квадрат убирает знак, и обе ветви сливаются в одну запись:

$$y = (x + C)^2.$$

Это семейство одинаковых парабол, сдвинутых вдоль оси $x$. Обрати внимание: при делении на $\sqrt{y}$ мы разделили на нуль в точках, где $y = 0$, - именно там потерянное решение обычно и прячется.

Шаг 4. Составить C-дискриминантную кривую. Записываем общее решение как общий интеграл $\Phi(x, y, C) = 0$ и дифференцируем уже по постоянной:

$$\begin{cases} \Phi = y - (x + C)^2 = 0, \\[4pt] \dfrac{\partial \Phi}{\partial C} = -2(x + C) = 0. \end{cases}$$

Из второго уравнения $C = -x$, подстановка в первое даёт $y = 0$. Обе дискриминантные кривые совпали - это сильный довод в пользу того, что перед нами огибающая, а не посторонняя ветвь.

Шаг 5. Проверить подстановкой. Ни один дискриминант сам по себе решения не гарантирует. Берём $y \equiv 0$, тогда $y' = 0$, и левая часть равна $0^2 = 0$, правая равна $4 \cdot 0 = 0$. Тождество выполняется на всей оси, значит $y = 0$ действительно решение уравнения.

Шаг 6. Убедиться, что решение не частное. Приравняем его к общему: $0 = (x + C)^2$ должно выполняться тождественно по $x$ при каком-то фиксированном $C$. Но квадрат обращается в нуль лишь в одной точке $x = -C$, а не на всей прямой. Значит, ни одно значение постоянной прямую $y = 0$ не даёт, и решение особое.

Шаг 7. Проверить касание. Огибающая должна касаться каждой кривой семейства. Парабола $y = (x + C)^2$ достигает нуля при $x = -C$, и её наклон там равен $2(x + C) = 0$ - тот же, что у прямой $y = 0$. Значит, касание есть в каждой точке оси, причём точка касания перемещается вместе с $C$. Численная проверка на выделенной в калькуляторе кривой при $C = 1$ и $x = 1$: $y = (1 + 1)^2 = 4$, $y' = 2(1 + 1) = 4$, тогда $(y')^2 = 16$ и $4y = 16$ - совпало.

Ответ: особое решение $y = 0$; общее решение $y = (x + C)^2$, точка касания $(-C;\, 0)$.

Формула и откуда она берётся

Обе системы - это одно и то же условие, записанное в разных переменных. Огибающая семейства кривых $\Phi(x, y, C) = 0$ по определению касается каждой кривой семейства, а касание означает, что две близкие кривые семейства сливаются. Аналитически сливание записывается как кратный корень по параметру, то есть

$$\Phi = 0, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial C} = 0.$$

Это и есть C-дискриминант: исключив $C$, получаем уравнение огибающей. Точно так же устроен p-дискриминант, только кратным становится корень по производной: в точке особого решения два разных значения наклона, которые уравнение $F(x, y, p) = 0$ допускает в соседних точках, сливаются в одно. Отсюда система $F = 0$, $\partial F/\partial p = 0$.

Практический смысл в том, что p-дискриминант считается прямо по уравнению и общего решения не требует: достаточно исключить $p$ и проверить кандидата подстановкой. C-дискриминант подключают ради страховки, когда общее решение уже найдено.

Когда дискриминантная кривая решения не даёт

Главная ловушка раздела в том, что дискриминантная кривая - это только кандидат. Кроме огибающей в неё попадают геометрические места особых точек самих интегральных кривых: точек возврата, узловых точек, точек прикосновения. Классический результат говорит, что p-дискриминант распадается на огибающую, место точек возврата и квадрат места точек прикосновения, а C-дискриминант - на огибающую, куб места точек возврата и квадрат места узловых точек. Полезный вывод один: огибающая входит в обе кривые ровно в первой степени, поэтому совпавшие результаты двух дискриминантов - хороший признак, но не доказательство.

Ещё чаще встречается другая ошибка: кандидат уравнению удовлетворяет, но оказывается обычным частным решением. Посмотри на уравнение $(y')^2 = y^2$, оно выбирается в калькуляторе третьим пресетом. Здесь $\partial F/\partial p = 2p = 0$, снова $p = 0$, и p-дискриминант снова даёт $y = 0$. Подстановка проходит. Но общее решение $y = C e^{x}$ при $C = 0$ даёт ровно эту прямую, значит, она частное решение, а не особое. Показательно, что C-дискриминанта здесь нет вовсе: $\partial \Phi/\partial C = -e^{x}$ в нуль не обращается ни при каком $x$, и системе взяться неоткуда.

Разница видна и на графике. В параболической задаче кривые семейства подходят к прямой $y = 0$ с касанием, каждая в своей точке. В показательной прямая $y = 0$ сама лежит в семействе, а соседние кривые лишь асимптотически прижимаются к ней слева. Огибающая касается, а не просто примыкает.

Вариация: семейство синусоид

Второй пресет калькулятора разбирает уравнение $(y')^2 = 1 - y^2$ с общим решением $y = \sin(x + C)$. Условие $\partial F/\partial p = 2p = 0$ даёт $p = 0$, и остаётся $1 - y^2 = 0$, то есть две прямые $y = 1$ и $y = -1$. С другой стороны, $\partial \Phi/\partial C = -\cos(x + C) = 0$ приводит к $\sin(x + C) = \pm 1$ - те же две прямые. Подстановка проходит: на каждой из них $y' = 0$ и обе части равны нулю.

Из общего решения прямые не получаются: синусоида равна единице не всюду, а лишь в отдельных точках. Значит, оба ответа особые, и геометрически они очевидны - синусоиды семейства упираются в свои максимумы и минимумы, а прямые $y = \pm 1$ собирают эти вершины в огибающие. Этот пример удобно держать в голове как образец: особых решений может быть больше одного, и искать их надо все корни дискриминанта, а не первый попавшийся.

Отдельно стоит случай, когда огибающая есть у семейства прямых. Тогда уравнение оказывается уравнением Клеро, где общее решение - пучок прямых, а особое - кривая, которой они касаются. Если же коэффициент при $x$ не равен производной, задача превращается в уравнение Лагранжа с параметрическим общим решением. Сама техника поиска особого решения от типа не зависит: дискриминант, подстановка, проверка на частное.

Частые ошибки

• Останавливаются на дискриминанте. Кривая, полученная исключением $p$ или $C$, решением быть не обязана. Подстановка в уравнение - не формальность, а отдельный шаг.
• Путают особое решение с частным. Частное получается из общего при конкретной постоянной, особое - не получается ни при какой; проверка занимает две строки.
• Берут один дискриминант и считают вопрос закрытым. Если задача просит обоснование, надёжнее посчитать оба: огибающая входит в обе кривые, а посторонние ветви - в разные.
• Теряют решение при разделении переменных. Деление на $\sqrt{y}$ в разобранной задаче выбрасывает случай $y = 0$, и потерянная прямая оказывается как раз особым решением. Всякий раз, когда делишь на выражение с неизвестной, выписывай отдельно случай его обращения в нуль.
• Забывают проверить касание. Совпадение значений в точке ещё не касание: нужно равенство производных. Если наклоны разные, кривая просто пересекает семейство и огибающей не является.
• Теряют часть корней дискриминанта. В синусоидальном примере $1 - y^2 = 0$ даёт два решения, и ответ из одной прямой неполон.

FAQ

Чем особое решение отличается от частного? Частное решение получается из общего подстановкой конкретного числа вместо постоянной и лежит внутри семейства. Особое удовлетворяет уравнению, но в семейство не входит: соответствующее значение постоянной пришлось бы менять от точки к точке. Геометрически особое решение касается кривых семейства, а частное - одна из них.

Обязательно ли считать оба дискриминанта? Нет. Для ответа достаточно p-дискриминанта и проверки: подстановка плюс сравнение с общим решением. C-дискриминант считают, когда общее решение уже получено и нужна дополнительная страховка от посторонних ветвей, либо когда задача сформулирована как поиск огибающей заданного семейства.

Может ли особое решение входить в начальные условия задачи Коши? Может, и именно там оно опасно: через точку особого решения проходит не одна интегральная кривая, поэтому ответ перестаёт быть единственным. При решении задачи Коши стоит проверять, не попала ли начальная точка на дискриминантную кривую.

Всегда ли у уравнения есть особое решение? Нет. У уравнений, разрешённых относительно производной и с непрерывной ограниченной производной правой части по $y$, единственность не нарушается нигде, и особых решений не бывает. Кандидаты появляются у уравнений, не разрешённых относительно $y'$, а также там, где правая часть теряет гладкость, как $\sqrt{y}$ в нуле. Определить тип уравнения перед решением помогает общая проверка признаков.

Коротко

1. Запиши уравнение как $F(x, y, y') = 0$ и составь p-дискриминантную кривую из системы $F = 0$, $\partial F/\partial p = 0$, исключив $p$.
2. Если общее решение известно или его легко получить, составь C-дискриминантную кривую из системы $\Phi = 0$, $\partial \Phi/\partial C = 0$ и сравни результаты.
3. Подставь каждого кандидата в исходное уравнение: кривая, не обращающая его в тождество, отбрасывается.
4. Проверь, получается ли кандидат из общего решения при каком-нибудь значении постоянной; если да - решение частное, а не особое.
5. Для $(y')^2 = 4y$ оба дискриминанта дают $y = 0$, общее решение есть $y = (x + C)^2$, прямая из него не получается, а касание происходит в точке $(-C;\, 0)$. Особое решение: $y = 0$.