Как разложить дробь на простейшие: пошаговое решение

Дано: рациональная дробь $\dfrac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)}$. Найти: её разложение на простейшие дроби и первообразную.

Знаменатель уже разложен на три различных линейных множителя, поэтому шаблон разложения очевиден: по одной дроби вида $\dfrac{A}{x-a}$ на каждый корень. Коэффициенты ищем методом неопределённых коэффициентов, а быстрее всего их даёт подстановка самих корней. Ответ: $\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{7}{x-2} + \dfrac{5}{x-4}$, первообразная равна $3\ln|x-1| - 7\ln|x-2| + 5\ln|x-4| + C_0$.

Калькулятор сверху раскладывает такую дробь при любом числителе и любых корнях, а на графике видно главное: синяя кривая исходной дроби в каждой точке равна сумме ординат штриховых слагаемых.

Решение по шагам

Шаг 1. Убедиться, что дробь правильная. Разложение на простейшие работает только тогда, когда степень числителя строго меньше степени знаменателя. Степень знаменателя считают по сумме степеней множителей, раскрывать скобки для этого не нужно: здесь три линейных множителя, значит, третья степень. Числитель второй степени, дробь правильная, делить уголком ничего не требуется.

Шаг 2. Разложить знаменатель и выписать шаблон. Знаменатель уже готов: три разных действительных корня $x = 1$, $x = 2$, $x = 4$, каждый кратности единица. Простому корню отвечает ровно одна дробь с постоянным числителем:

$$\frac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-4}.$$

Буквы $A$, $B$, $C$ пока неизвестны, отсюда и название метода.

Шаг 3. Избавиться от знаменателей. Умножаем обе части на $(x-1)(x-2)(x-4)$. Слева остаётся числитель, справа каждое слагаемое теряет свой множитель:

$$x^2+2x+6 = A(x-2)(x-4) + B(x-1)(x-4) + C(x-1)(x-2).$$

Это равенство многочленов, поэтому оно верно при любом $x$, в том числе при корнях знаменателя.

Шаг 4. Подставить корни. Приём экономит систему из трёх уравнений: каждая подстановка обнуляет два слагаемых из трёх.

При $x = 1$: слева $1 + 2 + 6 = 9$, справа $A(1-2)(1-4) = 3A$, откуда $A = 3$.

При $x = 2$: слева $4 + 4 + 6 = 14$, справа $B(2-1)(2-4) = -2B$, откуда $B = -7$.

При $x = 4$: слева $16 + 8 + 6 = 30$, справа $C(4-1)(4-2) = 6C$, откуда $C = 5$.

Шаг 5. Проверить коэффициенты. Сравним коэффициенты при $x^2$ в правой части: они дают $A + B + C = 3 - 7 + 5 = 1$, и это ровно коэффициент при $x^2$ слева. Свободные члены: $8A + 4B + 2C = 24 - 28 + 10 = 6$, тоже сходится. Две независимые проверки за полминуты надёжнее, чем пересчёт всей выкладки.

Шаг 6. Проинтегрировать по слагаемым. Каждая простейшая дробь первого типа даёт логарифм:

$$\int \frac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)}\,dx = 3\ln|x-1| - 7\ln|x-2| + 5\ln|x-4| + C_0.$$

Ответ: $\dfrac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)} = \dfrac{3}{x-1} - \dfrac{7}{x-2} + \dfrac{5}{x-4}$, первообразная выписана выше. Если нужны пределы интегрирования, подставь их в готовую первообразную по формуле Ньютона-Лейбница, как в разборе про определённый интеграл.

Формула и откуда она берётся

Теорема о разложении утверждает: всякая правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами единственным образом представляется суммой простейших дробей, причём набор слагаемых полностью задаётся разложением знаменателя на неприводимые множители. Линейный множитель $(x-a)^k$ порождает $k$ дробей со степенями от первой до $k$-й, неприводимый квадратный трёхчлен $(x^2+px+q)^k$ порождает $k$ дробей с линейными числителями.

Почему подстановка корней даёт правильные значения, видно из шага 3. После умножения на знаменатель равенство превращается в тождество многочленов, а два многочлена совпадают тогда и только тогда, когда равны все их коэффициенты. Значит, подставлять можно любое число, и удобнее всего корни: они убивают лишние слагаемые.

Если корни комплексные или кратные, метод не ломается, просто вместо подстановки приходится приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях и решать систему. Общее правило: число неизвестных всегда равно степени знаменателя, поэтому и уравнений в системе будет столько же.

Этим правилом удобно проверять шаблон ещё до вычислений. Знаменатель степени три требует трёх букв: три простых корня дают $A$, $B$, $C$, квадрат линейного множителя вместе с простым корнем тоже даёт три буквы, и связка линейного множителя с неприводимым квадратом снова три. Если букв получилось меньше или больше, шаблон выписан неверно, и дальше считать бессмысленно.

Четыре типа простейших дробей и их интегралы

Первые два типа берутся мгновенно. Третий сводится к двум табличным интегралам: в числителе выделяют производную знаменателя $2x+p$, остаток даёт арктангенс после выделения полного квадрата. В общем виде

$$\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,dx = \frac{M}{2}\ln\left(x^2+px+q\right) + \frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\operatorname{arctg}\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C_0.$$

Четвёртый тип в типовых расчётах встречается редко и понижается по степени рекуррентной формулой или методом Остроградского.

Кратный корень и неприводимый квадрат

Пусть знаменатель содержит квадрат: $\dfrac{4x^2-3x+5}{(x-1)^2(x+2)}$. Кратному корню $x=1$ отвечают сразу две дроби, поэтому шаблон такой: $\dfrac{A_1}{x-1} + \dfrac{A_2}{(x-1)^2} + \dfrac{B}{x+2}$. Подстановка $x=1$ даёт $A_2 = 2$, подстановка $x=-2$ даёт $B = 3$, а сравнение коэффициентов при $x^2$ добавляет $A_1 + B = 4$, то есть $A_1 = 1$. Интеграл смешанный: $\ln|x-1| - \dfrac{2}{x-1} + 3\ln|x+2| + C_0$, ведь вторая степень даёт не логарифм, а дробь.

Теперь неприводимый множитель: $\dfrac{3x^2+x+6}{(x-1)(x^2+4)}$. Дискриминант трёхчлена $x^2+4$ отрицателен, действительных корней нет, поэтому над ним ставится линейный числитель: $\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx+C}{x^2+4}$. Подстановка $x=1$ даёт $A=2$, сравнение при $x^2$ даёт $B = 3 - A = 1$, свободные члены дают $C = 2$. Интеграл распадается на три части: $2\ln|x-1| + \dfrac{1}{2}\ln(x^2+4) + \operatorname{arctg}\dfrac{x}{2} + C_0$. Переключи калькулятор на соответствующий режим, чтобы увидеть обе картинки.

Если дробь неправильная

Метод требует правильной дроби, поэтому неправильную сначала делят уголком. Возьмём $\dfrac{x^3+2x^2-x+5}{x^2-1}$: степень числителя выше, деление даёт неполное частное $x+2$ и остаток $7$, то есть

$$\frac{x^3+2x^2-x+5}{x^2-1} = x + 2 + \frac{7}{(x-1)(x+1)}.$$

Целая часть интегрируется как обычный многочлен, а правильный остаток уже раскладывается по общей схеме: $\dfrac{7}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{3{,}5}{x-1} - \dfrac{3{,}5}{x+1}$. Тот же приём разложения в разность соседних слагаемых работает и в задаче про сумму ряда, где после разложения частичная сумма телескопируется.

Разложение годится только для рациональных дробей. Если в подынтегральном выражении стоит логарифм или экспонента с параметром, метод неопределённых коэффициентов бесполезен - там работает дифференцирование интеграла по параметру.

Частые ошибки

• Раскладывают неправильную дробь. Если степень числителя не меньше степени знаменателя, тождество из шага 3 не имеет решения: сравнение старших коэффициентов приводит к противоречию.
• Кратному корню пишут одну дробь вместо $k$. Для $(x-1)^2$ обязательны оба слагаемых, с $(x-1)$ и с $(x-1)^2$, иначе система окажется несовместной.
• Над неприводимым квадратом ставят константу вместо $Bx+C$. Число неизвестных должно равняться степени знаменателя, и линейный числитель нужен именно для этого.
• Забывают разложить знаменатель до конца. Множитель $x^2-4$ не является неприводимым, его надо разбить на $(x-2)(x+2)$, иначе разложение получится не простейшим.
• Теряют модуль в логарифме. Первообразная дроби $\dfrac{A}{x-a}$ равна $A\ln|x-a|$, и без модуля ответ неверен слева от точки разрыва, а сами точки разрыва полезно найти заранее, как в разборе про точки разрыва функции.
• Подставляют корень в исходную дробь вместо тождества многочленов. Подстановка законна только после умножения на знаменатель: в самой дроби корень обращает знаменатель в нуль.

FAQ

Можно ли обойтись без подстановки корней? Да. Раскрой скобки в правой части шага 3, приравняй коэффициенты при $x^2$, $x^1$, $x^0$ и реши систему из трёх уравнений. Результат тот же, но арифметики заметно больше. Обычно комбинируют оба приёма: корни дают часть коэффициентов мгновенно, остальные добираются сравнением коэффициентов.

Что делать, если знаменатель не разлагается на множители устно? Ищи рациональные корни среди делителей свободного члена, поделённых на делители старшего коэффициента. Найденный корень выносится делением уголком, а с оставшимся квадратным трёхчленом работают по дискриминанту: при $D \ge 0$ он распадается на линейные множители, при $D < 0$ остаётся неприводимым.

Всегда ли разложение единственно? Да, при фиксированном разложении знаменателя на неприводимые множители набор коэффициентов определяется однозначно. Именно поэтому проверка сравнением коэффициентов работает: если хотя бы одно равенство не выполняется, где-то ошибка в арифметике.

Зачем вообще раскладывать дробь, если есть численные методы? Разложение даёт первообразную в элементарных функциях, а не приближённое число. Кроме интегралов оно нужно в обратном преобразовании Лапласа, при суммировании телескопических рядов и при разложении передаточных функций на типовые звенья.

Коротко

1. Проверь, что дробь правильная. Если нет, выдели целую часть делением уголком и работай с остатком.
2. Разложи знаменатель на неприводимые множители: линейные и квадратные с отрицательным дискриминантом.
3. Выпиши шаблон: простой корень даёт одну дробь, кратный корень кратности $k$ даёт $k$ дробей, неприводимый квадрат даёт дробь с числителем $Bx+C$.
4. Умножь на знаменатель и найди коэффициенты подстановкой корней, добирая недостающие сравнением коэффициентов при степенях.
5. Для дроби $\dfrac{x^2+2x+6}{(x-1)(x-2)(x-4)}$ получается $\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{7}{x-2} + \dfrac{5}{x-4}$, а интеграл равен $3\ln|x-1| - 7\ln|x-2| + 5\ln|x-4| + C_0$.