Как рассчитать эффективную ставку кредита: решение по шагам

Дано: кредит $S = 300\,000$ руб. на $n = 12$ месяцев, номинальная ставка $r = 18\%$ годовых, платежи аннуитетные ежемесячные, комиссия за выдачу $c = 2\%$ удерживается из суммы кредита. Найти: эффективную годовую ставку без комиссии и с комиссией.

Без комиссии эффективная ставка получается из номинальной по формуле сложного процента: месячную ставку возводят в двенадцатую степень. С комиссией так уже нельзя, и ставку ищут как внутреннюю доходность потока платежей заёмщика. Ответ: 19,56% годовых без комиссии и 24,25% годовых с комиссией. Калькулятор сверху пересчитает обе величины под свои сумму, ставку, срок и комиссию, а график покажет, как та же комиссия дорожает на коротком сроке.

Решение по шагам

Шаг 1. Месячная ставка. Номинальная ставка 18% годовых по договору делится на число платёжных периодов в году:

$$i = \frac{r}{12} = \frac{0{,}18}{12} = 0{,}015 = 1{,}5\% \ \text{в месяц}.$$

Шаг 2. Эффективная ставка без комиссии. Проценты начисляются каждый месяц, а платёж гасит их вместе с частью долга. Для заёмщика это эквивалентно тому, что деньги дорожают на 1,5% в месяц с наращением, поэтому годовой множитель равен двенадцатой степени месячного:

$$r_{\text{эф}} = (1 + i)^{12} - 1 = 1{,}015^{12} - 1 = 1{,}19562 - 1 = 0{,}1956 = 19{,}56\%.$$

Это и есть первая часть ответа: при ежемесячном начислении номинальные 18% на деле стоят 19,56% годовых.

Шаг 3. Ежемесячный платёж. Он понадобится, чтобы составить поток платежей. Формула аннуитета и её вывод подробно разобраны в статье о задачах на аннуитетный платёж, здесь только подстановка:

$$A = S \cdot \frac{i}{1 - (1 + i)^{-n}} = 300\,000 \cdot \frac{0{,}015}{1 - 1{,}015^{-12}} = \frac{4\,500}{0{,}163613} \approx 27\,504 \ \text{руб}.$$

Шаг 4. Сколько заёмщик получил на самом деле. Комиссия 2% удерживается при выдаче, поэтому на руки приходит меньше, чем записано в договоре, а платежи считаются от полной суммы:

$$S_{\text{факт}} = S \cdot (1 - c) = 300\,000 \cdot 0{,}98 = 294\,000 \ \text{руб}.$$

Итог по деньгам:

Шаг 5. Уравнение для фактической месячной ставки. Ищем ставку $j$, при которой двенадцать платежей по 27 504 руб., приведённые к моменту выдачи, дают ровно полученные 294 000 руб.:

$$294\,000 = \sum_{k=1}^{12} \frac{27\,504}{(1 + j)^k} = 27\,504 \cdot \frac{1 - (1 + j)^{-12}}{j}.$$

Алгебраически $j$ из такого уравнения не выражается, поэтому берём два пробных значения. При $j = 1{,}8\%$ правая часть равна 294 469,12 руб., при $j = 1{,}9\%$ она равна 292 658,53 руб. Нужные 294 000 лежат между ними, и линейная интерполяция даёт:

$$j \approx 1{,}8\% + 0{,}1\% \cdot \frac{294\,469{,}12 - 294\,000}{294\,469{,}12 - 292\,658{,}53} = 1{,}8\% + 0{,}1\% \cdot 0{,}259 \approx 1{,}826\%.$$

Проверка: при $j = 1{,}826\%$ сумма приведённых платежей равна 293 996,80 руб., расхождение с 294 000 меньше четырёх рублей.

Шаг 6. Перевод в годовую ставку. Фактическая месячная ставка переводится в годовую тем же способом, что и на шаге 2:

$$r_{\text{эф}}^{\text{ком}} = (1 + j)^{12} - 1 = 1{,}01826^{12} - 1 \approx 0{,}2425 = 24{,}25\%.$$

Ответ: эффективная годовая ставка без комиссии 19,56%, с учётом комиссии 2% за выдачу 24,25%. Комиссия, которая на вид добавляет «всего 2%», на годовом кредите подняла цену денег почти на 4,7 процентного пункта.

Формула эффективной ставки и откуда она берётся

Номинальная ставка $r$ удобна для договора, но не отвечает на вопрос, во сколько раз вырастет долг за год. Если проценты начисляются $m$ раз в год по ставке $r/m$ и каждый раз прибавляются к сумме, то за год сумма умножится на $(1 + r/m)^m$. Эффективная ставка - это годовая ставка с однократным начислением, которая даёт тот же множитель:

$$1 + r_{\text{эф}} = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m \quad\Longrightarrow\quad r_{\text{эф}} = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m - 1.$$

Чем чаще начисление, тем выше эффективная ставка при той же номинальной, но рост быстро затухает. Для наших 18% годовых:

Та же формула работает для вкладов с капитализацией: там она показывает, какой доход реально приносит вклад. Как меняется итоговая сумма вклада при разной периодичности, разобрано в статье о задачах на сложные проценты по вкладу, здесь важен только годовой множитель.

Комиссия и внутренняя доходность: почему считают через IRR

Формула $(1 + r/m)^m - 1$ не видит комиссий: она знает только ставку договора. Как только часть денег удерживается при выдаче или платится сверх графика, связь между ставкой договора и реальной ценой кредита рвётся. Тогда эффективную ставку определяют через сам поток денег: заёмщик в момент выдачи получает $S(1 - c)$, а затем отдаёт платежи $P_1, P_2, \dots, P_n$. Ставка $j$ за период находится из уравнения

$$S(1 - c) = \sum_{k=1}^{n} \frac{P_k}{(1 + j)^k},$$

а эффективная годовая ставка равна $(1 + j)^{12} - 1$ при ежемесячных платежах. По смыслу это внутренняя норма доходности, только со стороны банка: ставка, под которую он фактически вложил деньги. Та же логика и тот же подбор ставки описаны в статье про расчёт IRR, а приведение отдельных платежей к одному моменту по шагам показано в разборе как дисконтировать денежный поток.

Полезная проверка на порядок величины: комиссию делят на средний долг за год. У нашего кредита долг убывает от 300 000 до нуля, в среднем около 167 000 руб., и 6 000 руб. комиссии к нему составляют примерно 3,6% в год. Значит, фактическая ставка без наращения должна быть около $18\% + 3{,}6\% \approx 21{,}6\%$, а точный расчёт даёт $12j = 21{,}91\%$. Если прикидка и расчёт разошлись в разы, ошибка в уравнении.

График в калькуляторе показывает главное следствие: разовая комиссия тем дороже, чем короче кредит. При тех же 18% и 2% комиссии эффективная ставка на 3 месяца равна 35,08%, на 6 месяцев 28,27%, на 12 месяцев 24,25%, на 3 года 21,30%, а на 5 лет 20,68%. На длинном сроке комиссия размазывается по многим годам и почти не влияет на результат.

Другие схемы: дифференцированные платежи, ежемесячная комиссия, ПСК

Дифференцированные платежи. Без комиссии эффективная ставка не зависит от схемы погашения: при любом графике, где проценты начисляются по 1,5% в месяц на остаток, решение уравнения совпадает с $i$, и ответ те же 19,56%. С комиссией результат чуть выше, 24,38% против 24,25%: долг гасится быстрее, средний остаток меньше, и та же комиссия приходится на меньшую сумму. Сам график платежей такой схемы построен в статье о дифференцированном платеже. Калькулятор переключает схему чипом.

Ежемесячная комиссия. Если банк берёт плату за обслуживание каждый месяц, она прибавляется к каждому $P_k$, а слева в уравнении стоит полная сумма кредита. Метод решения не меняется: подбор $j$, затем перевод в годовую ставку.

Полная стоимость кредита. В России для потребительских кредитов банк обязан указывать ПСК по закону № 353-ФЗ «О потребительском кредите (займе)». Там ставку базового периода находят из уравнения того же типа, что на шаге 5, а годовое значение получают умножением на число базовых периодов в году, без возведения в степень. Для нашего примера это соответствует $12j \approx 21{,}91\%$, что ниже эффективных 24,25%: наращение внутри года в такой формуле не учитывается. Какие именно платежи входят в ПСК, определяет сам закон, поэтому для реального договора ориентиром служит цифра банка, а учебный расчёт показывает механику.

Частые ошибки

• Прибавляют комиссию к ставке. $18\% + 2\% = 20\%$ или $19{,}56\% + 2\% = 21{,}56\%$ - оба ответа неверны: комиссия платится один раз, но относится к долгу, который в среднем почти вдвое меньше суммы кредита. Верный ответ 24,25%.
• Дисконтируют к полной сумме кредита. Если слева в уравнении поставить 300 000 вместо 294 000, получится $j = i = 1{,}5\%$, и комиссия из расчёта исчезнет.
• Путают годовую и месячную ставку. В формулу аннуитета и в степень подставляют $i = 0{,}015$, а не 0,18; иначе платёж и эффективная ставка вырастут в разы.
• Считают $12j$ эффективной ставкой. Умножение на 12 даёт годовую ставку без наращения (21,91%), а эффективная учитывает наращение и равна $(1 + j)^{12} - 1 = 24{,}25\%$.
• Берут в степень число лет вместо числа периодов. В формуле $(1 + r/m)^m$ показатель равен числу начислений за год, для ежемесячного начисления это 12.

FAQ

Чем эффективная ставка отличается от номинальной? Номинальная ставка записана в договоре и делится на число периодов начисления. Эффективная показывает реальный годовой прирост долга с учётом наращения, а в расширенном смысле и с учётом комиссий. При начислении раз в год и без комиссий они совпадают.

ПСК и эффективная ставка - это одно и то же? Нет. Обе величины выводятся из потока платежей, но ПСК по закону переводится в годовую умножением ставки периода на число периодов, а эффективная ставка возведением в степень. Поэтому при ежемесячных платежах ПСК обычно ниже эффективной ставки того же кредита.

Как посчитать эффективную ставку в Excel? Без комиссии: ЭФФЕКТ(0,18;12) вернёт 0,1956. С комиссией: СТАВКА(12;-27504;294000) даст месячную ставку около 0,01826, после чего годовая ставка считается как $(1 + j)^{12} - 1$. Для платежей в неравные даты подходит ЧИСТВНДОХ.

Почему на коротком кредите комиссия так сильно поднимает ставку? Комиссия фиксирована в рублях, а пользуется заёмщик деньгами недолго. На кредите в 3 месяца те же 2% приходятся на четверть года, поэтому в годовом выражении они весят в несколько раз больше: 35,08% против 24,25% у годового кредита при тех же 18%.

Коротко

1. Месячная ставка: $i = r/12 = 1{,}5\%$.
2. Эффективная ставка без комиссии: $(1 + i)^{12} - 1 = 19{,}56\%$; в общем виде $(1 + r/m)^m - 1$.
3. С комиссией составляется уравнение: полученная сумма 294 000 руб. равна приведённым платежам по 27 504 руб.
4. Подбором и интерполяцией находится фактическая месячная ставка $j \approx 1{,}826\%$.
5. Эффективная ставка с комиссией: $(1 + j)^{12} - 1 = 24{,}25\%$; величина $12j = 21{,}91\%$ соответствует годовой ставке без наращения, как в ПСК.