Как рассчитать доходность облигации: решение по шагам

Дано: номинал $N = 1000$ руб., купонная ставка $c = 8\%$ годовых с выплатой раз в год, цена покупки $P = 940$ руб., до погашения $n = 3$ года. Найти: текущую доходность и доходность к погашению.

Доходность облигации считают в три приёма: сначала переводят купонную ставку в рубли, потом делят годовой купон на цену покупки (текущая доходность), а затем ищут ставку, которая уравнивает цену с приведённой суммой всех будущих выплат - доходность к погашению. Ответ: текущая доходность 8,51%, доходность к погашению 10,43% годовых (приближённая формула даёт 10,31%). Калькулятор сверху пересчитывает обе величины под свои номинал, купон, цену и срок, а график показывает, как цена облигации падает с ростом требуемой доходности.

Решение по шагам

Шаг 1. Перевести купонную ставку в рубли. Купонная ставка всегда начисляется на номинал, а не на цену покупки:

$$C = N \cdot c = 1000 \cdot 0{,}08 = 80 \ \text{руб. в год.}$$

За три года держатель получит три купона по 80 руб. и в конце - номинал 1000 руб. Итого поток из трёх платежей: 80, 80 и 1080 руб.

Шаг 2. Найти текущую доходность. Она отвечает на вопрос «сколько процентов годовых приносит купон на вложенные деньги»:

$$Y_{\text{тек}} = \frac{C}{P} = \frac{80}{940} = 0{,}0851 = 8{,}51\%.$$

Текущая доходность выше купонной ставки, потому что облигация куплена с дисконтом: те же 80 руб. приходятся на 940 вложенных рублей, а не на 1000.

Шаг 3. Оценить доходность к погашению приближённо. Текущая доходность не учитывает, что при погашении вернут 1000 руб., а заплачено 940 - эти 60 руб. дисконта тоже доход. Приближённая формула распределяет их равномерно по годам и делит на среднюю вложенную сумму:

$$Y_{\text{пог}} \approx \frac{C + \dfrac{N - P}{n}}{\dfrac{N + P}{2}} = \frac{80 + \dfrac{60}{3}}{\dfrac{1940}{2}} = \frac{100}{970} = 0{,}1031 = 10{,}31\%.$$

Шаг 4. Уточнить доходность подбором. Точное значение - это корень уравнения цены, то есть ставка $y$, при которой приведённые выплаты дают ровно 940 руб.:

$$940 = \frac{80}{1 + y} + \frac{80}{(1 + y)^2} + \frac{1080}{(1 + y)^3}.$$

Подставляем два пробных значения. При $y = 10\%$ правая часть равна 950,26 руб., при $y = 11\%$ - 926,69 руб. Наша цена 940 руб. лежит между ними, значит, и ответ лежит между 10% и 11%. Линейная интерполяция:

$$y \approx 10 + \frac{950{,}26 - 940}{950{,}26 - 926{,}69} \cdot 1 = 10 + \frac{10{,}26}{23{,}57} = 10{,}44\%.$$

Шаг 5. Проверить ответ. Дисконтируем поток по ставке 10,43% и смотрим, сойдётся ли цена:

Сумма приведённых выплат 940,02 руб. совпадает с ценой покупки с точностью до копеек, значит, ставка найдена верно. Механика самого приведения разобрана отдельно в задаче про то, как дисконтировать денежный поток.

Ответ. Годовой купон 80 руб.; текущая доходность 8,51%; доходность к погашению 10,43% годовых, приближённая оценка по формуле - 10,31%.

Формула доходности и откуда она берётся

У одной облигации есть три разные доходности, и путаница между ними - главный источник неверных ответов. Купонная доходность 8% считается к номиналу и от цены не зависит вообще: она записана в условиях выпуска. Текущая доходность 8,51% считается к цене покупки и учитывает только купоны. Доходность к погашению 10,43% учитывает и купоны, и возврат номинала, и время, когда каждая выплата придёт.

Общая формула цены облигации - это сумма дисконтированных выплат:

$$P = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1 + y)^t} + \frac{N}{(1 + y)^n}.$$

Доходность к погашению $y$ - единственная неизвестная в этом уравнении, поэтому её и ищут подбором: аналитически степенное уравнение третьей степени решать никто не будет. По смыслу $y$ - это внутренняя норма доходности вложения в облигацию, тот же самый показатель, что и IRR инвестиционного проекта, только денежный поток известен заранее и почти не содержит риска.

Отсюда следует правило-подсказка, которым удобно проверять любой ответ: если облигация куплена дешевле номинала, то купонная доходность меньше текущей, а текущая меньше доходности к погашению ($8\% < 8{,}51\% < 10{,}43\%$). Если куплена дороже номинала - неравенства разворачиваются. Если цена равна номиналу, все три величины совпадают и равны купонной ставке.

Если купон платится дважды в год

Российские выпуски чаще платят купон раз в полгода или раз в квартал, и тогда считать нужно по периодам, а не по годам. Возьмём ту же облигацию: номинал 1000 руб., ставка 8% годовых, цена 940 руб., 3 года, но купон 40 руб. каждые полгода. Периодов становится шесть, и уравнение цены записывается через полугодовую ставку $y_{\text{п}}$:

$$940 = \sum_{t=1}^{6} \frac{40}{(1 + y_{\text{п}})^t} + \frac{1000}{(1 + y_{\text{п}})^6}.$$

Подбор даёт $y_{\text{п}} = 5{,}19\%$ за полугодие. Дальше есть два способа перевести это в годовое выражение, и оба встречаются в задачах. Номинальная годовая доходность получается простым умножением: $5{,}19 \cdot 2 = 10{,}38\%$. Эффективная учитывает реинвестирование первого купона:

$$y_{\text{эф}} = (1 + 0{,}0519)^2 - 1 = 0{,}1065 = 10{,}65\%.$$

Эффективная доходность выше годовой из исходной задачи (10,43%), хотя денег выплачено столько же: часть купона приходит на полгода раньше и успевает поработать. Всегда уточняй в условии, какое годовое выражение требуется - расхождение в четверть процента целиком объясняется этим соглашением.

Облигация с премией и обратная задача

Если та же облигация куплена не за 940, а за 1060 руб., то есть с премией к номиналу, картина переворачивается. Текущая доходность падает до $80 / 1060 = 7{,}55\%$, а доходность к погашению - до 5,77%: при погашении вернут 1000 руб., то есть на 60 руб. меньше уплаченного, и этот убыток съедает часть купонного дохода. Приближённая формула даёт здесь 5,83% - она снова завышает результат примерно на одну десятую процента.

Часто задачу разворачивают: доходность задана, найти цену. Тогда никакого подбора не нужно, достаточно подставить ставку в формулу цены. Например, при требуемой доходности 11% годовых справедливая цена нашей облигации равна 926,69 руб., при 12% - 903,93 руб., а при 8% ровно 1000 руб. Это и есть кривая на графике в калькуляторе сверху: чем выше требуемая доходность, тем меньше инвестор готов заплатить за один и тот же поток выплат.

Частые ошибки

• Купон считают от цены покупки. Купон всегда начисляется на номинал: 8% от 1000 руб., а не от 940. Ошибка занижает купон до 75,20 руб. и портит все три доходности сразу.
• Текущую доходность выдают за доходность к погашению. 8,51% - это только купонная часть. Дисконт 60 руб., который вернётся при погашении, в текущей доходности не учтён, поэтому она всегда ниже YTM у облигаций с дисконтом.
• В приближённой формуле берут не ту базу. В знаменателе стоит средняя между номиналом и ценой, $(1000 + 940) / 2 = 970$, а не цена покупки и не номинал по отдельности.
• Приближённое значение подают как точное. Формула среднего даёт 10,31% против 10,43% - расхождение больше одной десятой процента, и на длинных сроках оно растёт. Если в задаче сказано «найти YTM», приближение нужно уточнить подбором.
• Полугодовую ставку не переводят в годовую. Ответ 5,19% за период - это не доходность облигации. Нужно указать, номинальная это годовая ставка (10,38%) или эффективная (10,65%).
• Забывают номинал в последнем периоде. В третьем году дисконтируется не 80, а 1080 руб. Без номинала уравнение цены не имеет разумного корня, и подбор уводит ставку в отрицательную область.

FAQ

Чем доходность к погашению отличается от купонной ставки? Купонная ставка фиксирована при выпуске и всегда считается от номинала, она не меняется вместе с рыночной ценой. Доходность к погашению пересчитывается на каждую новую цену: чем дешевле куплена облигация, тем выше её YTM. Совпадают они только тогда, когда цена равна номиналу.

Почему приближённая формула завышает ответ? Она считает, что дисконт 60 руб. возвращается равными долями по 20 руб. в год, хотя на самом деле вся сумма приходит только при погашении. Более ранний доход по этой логике «стоит» дороже, поэтому оценка получается смещённой. Направление смещения зависит от знака дисконта: у облигаций с премией формула, наоборот, завышает доходность.

Нужно ли учитывать накопленный купонный доход? Да, если облигация покупается между купонными датами. В уравнение цены подставляют полную (грязную) цену - котировку плюс НКД, иначе доходность окажется завышенной. В учебных задачах покупку почти всегда относят к купонной дате, и НКД равен нулю.

Как посчитать доходность с учётом налога и инфляции? Налог вычитают из купона и из дисконта до подстановки в формулу: например, при ставке 13% чистый купон равен 69,60 руб. Реальную доходность получают из номинальной по формуле Фишера, приближённо - вычитанием инфляции; подробнее - в разборе эффекта Фишера.

Коротко

1. Перевести купонную ставку в рубли: $C = N \cdot c = 1000 \cdot 0{,}08 = 80$ руб. в год.
2. Текущая доходность - годовой купон, делённый на цену покупки: $80 / 940 = 8{,}51\%$.
3. Приближённая доходность к погашению: $(80 + 60/3) / 970 = 10{,}31\%$ годовых.
4. Точное значение искать подбором из уравнения цены: при 10% цена 950,26 руб., при 11% - 926,69 руб., интерполяция даёт 10,43% годовых.
5. Проверка: дисконтирование потока 80, 80 и 1080 руб. по ставке 10,43% возвращает 940,02 руб., то есть цену покупки.