Как дисконтировать денежный поток: расчёт по шагам

Дано: вложения 500 тыс. руб. в момент $t = 0$, поступления 200, 250 и 300 тыс. руб. в конце первого, второго и третьего года, ставка дисконтирования $r = 12\%$ годовых. Найти: приведённую стоимость каждого поступления и чистую приведённую стоимость проекта.

Дисконтировать поток означает разделить каждый будущий платёж на множитель $(1 + r)^t$, где $t$ - номер года его поступления, и сложить результаты. Ответ: приведённые поступления равны 178,57; 199,30 и 213,53 тыс. руб., их сумма - 591,40 тыс. руб., а NPV = 91,40 тыс. руб. Калькулятор сверху пересчитывает все три года под свои суммы и ставку, ниже - тот же расчёт вручную.

Решение по шагам

Шаг 1. Разложить поток по моментам времени. Вложения относятся к моменту $t = 0$ и записываются со знаком минус, поступления - к концам соответствующих лет:

Шаг 2. Посчитать коэффициенты дисконтирования. Коэффициент дисконтирования показывает, сколько сегодня стоит один рубль, полученный через $t$ лет:

$$v_t = \frac{1}{(1 + r)^t}.$$

При $r = 0{,}12$ получаем:

$$\begin{aligned} v_1 &= \frac{1}{1{,}12} = 0{,}8929, \\ v_2 &= \frac{1}{1{,}12^2} = \frac{1}{1{,}2544} = 0{,}7972, \\ v_3 &= \frac{1}{1{,}12^3} = \frac{1}{1{,}404928} = 0{,}7118. \end{aligned}$$

Коэффициенты убывают: чем дальше платёж, тем сильнее он «уценивается».

Шаг 3. Привести каждое поступление к сегодняшнему дню. Умножаем поток на коэффициент своего года:

$$\begin{aligned} PV_1 &= 200 \cdot 0{,}8929 = 178{,}57, \\ PV_2 &= 250 \cdot 0{,}7972 = 199{,}30, \\ PV_3 &= 300 \cdot 0{,}7118 = 213{,}53. \end{aligned}$$

Обратите внимание на третий год: номинально он самый крупный, 300 тыс. руб., но после приведения даёт всего 213,53 тыс. руб. - почти на треть меньше.

Шаг 4. Сложить приведённые поступления. Сумма и есть приведённая стоимость всего притока:

$$PV = 178{,}57 + 199{,}30 + 213{,}53 = 591{,}40 \ \text{тыс. руб.}$$

Шаг 5. Вычесть вложения. Затраты сделаны сегодня, дисконтировать их не нужно - их коэффициент равен единице:

$$NPV = 591{,}40 - 500 = 91{,}40 \ \text{тыс. руб.}$$

Сведём расчёт в таблицу - именно в таком виде его обычно и требуют сдать:

Ответ. Приведённые поступления: 178,57; 199,30 и 213,53 тыс. руб.; приведённая стоимость притока 591,40 тыс. руб.; NPV = 91,40 тыс. руб. Проект окупает вложения с учётом стоимости денег во времени, значит, по критерию NPV его принимают.

Формула дисконтирования и откуда она берётся

Дисконтирование - операция, обратная наращению по сложному проценту. Если положить сумму $PV$ под ставку $r$, то через $t$ лет она вырастет до $FV = PV \cdot (1 + r)^t$. Выразив отсюда $PV$, получаем формулу приведения:

$$PV = \frac{FV}{(1 + r)^t} = FV \cdot v_t.$$

Смысл такой: приведённая стоимость - это сумма, которую нужно вложить сегодня под ставку $r$, чтобы к моменту $t$ получить ровно ожидаемый платёж. Поэтому 213,53 тыс. руб. и 300 тыс. руб. через три года при ставке 12% - это одни и те же деньги, просто в разных точках времени. Механика наращения подробно разобрана в материале про сложные проценты по вкладу.

Для потока платежей формула применяется к каждому элементу отдельно, а результаты складываются:

$$PV = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t}, \qquad NPV = -CF_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t}.$$

Разница между $PV$ и $NPV$ только в начальных вложениях: первая величина отвечает на вопрос «сколько стоит приток», вторая - «сколько стоит проект целиком». Теория метода и разбор его допущений - в статьях про метод дисконтированных денежных потоков и чистую приведённую стоимость.

Если платежи одинаковые: коэффициент аннуитета

Когда поток состоит из равных сумм $A$, каждый год отдельно считать не нужно - сумма геометрической прогрессии сворачивается в коэффициент аннуитета:

$$a_{n;r} = \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}, \qquad PV = A \cdot a_{n;r}.$$

Проверим на близком примере. Пусть те же 750 тыс. руб. приходят не как 200, 250 и 300, а равными долями по 250 тыс. руб. в год. Тогда

$$a_{3;0{,}12} = \frac{1 - 1{,}12^{-3}}{0{,}12} = \frac{1 - 0{,}7118}{0{,}12} = 2{,}4018,$$

и приведённая стоимость равна $250 \cdot 2{,}4018 = 600{,}46$ тыс. руб. против 591,40 тыс. руб. в исходной задаче. Итоговая сумма одинаковая, но равномерный поток дороже: деньги приходят в среднем раньше. Это и есть главный практический вывод дисконтирования - важен не только размер потока, но и его распределение во времени.

Если деньги приходят не в конце года

Стандартное допущение задач: платёж относится к концу периода, поэтому в знаменателе стоит целая степень. Реальные поступления идут в течение всего года, и оценщики часто применяют правило середины года, подставляя $t - 0{,}5$:

$$PV = \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^{\,t - 0{,}5}}.$$

Для нашего потока это даёт 625,88 тыс. руб. приведённого притока и NPV 125,88 тыс. руб. - оценка вырастает почти на 35 тыс. руб. только из-за смены соглашения о моменте платежа. В калькуляторе сверху этот режим переключается чипом, разницу видно сразу на графике.

Второй случай - платежи чаще раза в год. Тогда ставку приводят к длине периода: при номинальной годовой ставке $j$ и $m$ начислениях в год периодическая ставка равна $r_{\text{пер}} = j / m$, а показатель степени считается в периодах, а не в годах. Для полугодовых платежей при $j = 14\%$ это $r_{\text{пер}} = 7\%$ и шесть периодов за три года.

Проверка ответа и выбор ставки

Первая проверка - грубая оценка сверху и снизу. Приведённая стоимость притока обязана быть меньше номинальной суммы поступлений (591,40 против 750) и больше самой дальней суммы, поделённой на максимальный множитель. Если получилось больше номинала, ставку по ошибке применили со знаком «плюс» в числителе.

Вторая проверка - ставка безубыточности. Найдём $r$, при которой NPV обращается в ноль: для нашего потока это примерно 21,6% - внутренняя норма доходности. Раз она заметно выше 12%, положительный NPV закономерен, и запас прочности у проекта приличный.

Саму ставку дисконтирования в учебной задаче обычно дают готовой. Если её нужно обосновать, берут стоимость капитала компании, доходность альтернативного вложения того же риска или ставку по кредиту, за счёт которого финансируется проект. Главное правило согласования: номинальные потоки (с инфляцией) дисконтируют по номинальной ставке, реальные - по реальной.

Частые ошибки

• Дисконтируют начальные вложения. Затраты момента $t = 0$ уже выражены в сегодняшних деньгах, их коэффициент равен единице. Деление 500 на 1,12 занижает NPV на ровном месте.
• Путают номер года со степенью. Поступление конца первого года делится на $1{,}12^1$, а не на $1{,}12^0$ и не на $1{,}12^2$. Сдвиг на один период меняет ответ на десятки процентов.
• Ставку подставляют в процентах. В формулу идёт коэффициент 0,12, а не число 12. Знаменатель $(1 + 12)^t$ даёт приведённую стоимость около нуля - верный признак этой ошибки.
• Складывают недисконтированные потоки, а потом делят сумму на один множитель. Так можно делать, только если все платежи приходятся на один момент времени; в общем случае каждый год приводится своим коэффициентом.
• Округляют коэффициенты до двух знаков. При $v_3 = 0{,}71$ вместо 0,7118 третий год теряет полтора рубля на каждую тысячу; в длинных потоках погрешность накапливается. Держите четыре знака.
• Смешивают периодичность ставки и потоков. Годовая ставка с квартальными платежами требует пересчёта: либо ставка приводится к кварталу, либо потоки агрегируются по годам.

FAQ

Чем дисконтирование отличается от наращения? Это одна и та же операция в разные стороны. Наращение переносит сумму вперёд по времени, умножая на $(1 + r)^t$, дисконтирование возвращает её назад, деля на тот же множитель. Коэффициент дисконтирования $v_t$ - величина, обратная коэффициенту наращения.

Нужно ли дисконтировать отрицательные потоки? Да, по тем же правилам. Если в середине проекта запланированы новые вложения, они приводятся коэффициентом своего года и уменьшают NPV. Знак минус просто переносится через формулу.

Что делать, если ставка меняется по годам? Перемножать коэффициенты последовательно: для второго года знаменатель равен $(1 + r_1)(1 + r_2)$, а не $(1 + r_2)^2$. Общая формула со степенью - частный случай постоянной ставки.

Как посчитать поток, который длится бесконечно? Для постоянного платежа $A$ приведённая стоимость вечной ренты равна $A / r$, а при росте потока со скоростью $g$ - $A / (r - g)$. По этой формуле в оценке бизнеса считают терминальную стоимость.

Коротко

1. Разложить поток по моментам времени и записать вложения со знаком минус в момент $t = 0$.
2. Посчитать коэффициенты дисконтирования $v_t = 1 / (1 + r)^t$ с точностью до четырёх знаков: 0,8929; 0,7972; 0,7118 при ставке 12%.
3. Умножить каждое поступление на коэффициент своего года: 178,57; 199,30 и 213,53 тыс. руб.
4. Сложить приведённые поступления: 591,40 тыс. руб. приведённого притока.
5. Вычесть недисконтированные вложения и получить ответ: NPV = 91,40 тыс. руб., проект принимается.