Как найти срок окупаемости проекта: PP и DPP

Дано: вложения $IC = 1200$ тыс. руб. в момент $t = 0$, поступления 400, 450, 500 и 600 тыс. руб. в конце первого, второго, третьего и четвёртого года, ставка дисконтирования $r = 10\%$ годовых. Найти: простой срок окупаемости $PP$ и дисконтированный срок окупаемости $DPP$.

Срок окупаемости ищут не по формуле, а по накопленному денежному потоку: считают нарастающий итог и смотрят, в каком году он впервые становится неотрицательным, а долю года внутри этого года добирают линейной интерполяцией. Ответ: PP = 2,70 года (2 года и 8 месяцев), DPP = 3,22 года (3 года и 3 месяца). Калькулятор сверху пересчитывает оба срока под любые вложения, поступления и ставку, ниже - тот же расчёт вручную.

Решение по шагам

Шаг 1. Построить накопленный поток без дисконтирования. Вложения записываем со знаком минус в момент $t = 0$ и прибавляем к ним поступления год за годом:

Знак меняется между вторым и третьим годом: к концу второго года непокрытым остаётся ещё 350 тыс. руб., а к концу третьего накопленный итог уже плюс 150. Значит, окупаемость наступает где-то внутри третьего года.

Шаг 2. Добрать долю года интерполяцией. Предполагаем, что деньги третьего года приходят равномерно, и делим непокрытый остаток на поступление этого года:

$$PP = n + \frac{|C_n|}{CF_{n+1}} = 2 + \frac{350}{500} = 2 + 0{,}70 = 2{,}70 \ \text{года},$$

где $n = 2$ - последний год с отрицательным накопленным итогом, $|C_n| = 350$ - непокрытый остаток на его конец, $CF_{n+1} = 500$ - поступление следующего года. В месяцах это $0{,}70 \cdot 12 = 8{,}4$, то есть 2 года и примерно 8 месяцев.

Шаг 3. Привести поступления к моменту 0. Каждое поступление делим на $(1 + r)^t$; механика приведения подробно разобрана в задаче про дисконтирование денежного потока, здесь берём коэффициенты готовыми:

$$\begin{aligned} PV_1 &= \frac{400}{1{,}1} = 363{,}64, &\quad PV_2 &= \frac{450}{1{,}1^2} = 371{,}90, \\ PV_3 &= \frac{500}{1{,}1^3} = 375{,}66, &\quad PV_4 &= \frac{600}{1{,}1^4} = 409{,}81. \end{aligned}$$

Шаг 4. Построить накопленный дисконтированный поток. Складываем приведённые суммы нарастающим итогом, стартуя с минус 1200:

Теперь знак меняется на год позже - между третьим и четвёртым. Обрати внимание: к концу третьего года непокрытыми остаются всего 88,81 тыс. руб., тогда как без дисконтирования проект к этому моменту уже был в плюсе на 150.

Шаг 5. Найти DPP. Формула та же, но остаток и поступление берутся дисконтированные:

$$DPP = 3 + \frac{88{,}81}{409{,}81} = 3 + 0{,}2167 = 3{,}22 \ \text{года}.$$

Последняя строка таблицы попутно даёт чистую приведённую стоимость: $NPV = 1521{,}00 - 1200 = 321{,}00$ тыс. руб.

Ответ. PP = 2,70 года (2 года и 8 месяцев), DPP = 3,22 года (3 года и 3 месяца), NPV = 321,00 тыс. руб. Дисконтирование сдвигает окупаемость на полгода вправо; оба срока укладываются в горизонт проекта, поэтому по критерию окупаемости он приемлем.

Формула срока окупаемости и откуда она берётся

Формально срок окупаемости - это минимальное число периодов, за которое накопленный поток покрывает вложения:

$$PP = \min\left\{ n : \sum_{t=1}^{n} CF_t \ge IC \right\}, \qquad DPP = \min\left\{ n : \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t} \ge IC \right\}.$$

В таком виде ответ всегда целый: «три года», «четыре года». Дробную часть даёт уже интерполяция из шага 2, и это не строгая математика, а договорённость: мы допускаем, что внутри года деньги приходят равномерным ручейком. Именно поэтому ответ 2,70 корректно округлять до месяцев, но бессмысленно уточнять до дней.

Разница между двумя показателями только в том, чем наполняют накопленный итог. Простой $PP$ складывает рубли разных лет как равные, дисконтированный $DPP$ сначала уценивает каждый будущий рубль множителем $v_t = (1 + r)^{-t}$. Уценённых рублей нужно больше, чтобы набрать ту же 1200, поэтому неравенство всегда одностороннее:

$$DPP \ge PP,$$

причём равенство достигается только при нулевой ставке. В нашей задаче разрыв составил $3{,}22 - 2{,}70 = 0{,}52$ года - примерно полгода платы за время.

Главное ограничение показателя: он игнорирует всё, что происходит после точки окупаемости. Проект, который вернул вложения на третий год и заглох, и проект, который вернул их тогда же и потом десять лет приносил прибыль, по сроку окупаемости неразличимы. Поэтому $PP$ и $DPP$ никогда не используют в одиночку - их смотрят рядом с NPV, внутренней нормой доходности и индексом рентабельности.

Если поступления одинаковые: оценка в одну строку

Когда поток ровный и каждый год приносит одну и ту же сумму $A$, строить таблицу незачем - простой срок окупаемости считается делением:

$$PP = \frac{IC}{A}.$$

Тот же приём иногда применяют и к неравномерному потоку, подставляя среднегодовое поступление. В нашей задаче среднее равно $1950 / 4 = 487{,}5$ тыс. руб., и оценка даёт $1200 / 487{,}5 = 2{,}46$ года против точных 2,70. Ошибка почти в три месяца, и она системная: поток нарастает, значит, ранние годы приносят меньше среднего, и настоящая окупаемость наступает позже оценки. При убывающем потоке ошибка меняет знак. Пользоваться средним стоит только для прикидки, а в контрольной работе - строить накопленный итог.

Для равномерного потока есть и аккуратная формула дисконтированного срока. Она получается из условия, что коэффициент аннуитета за $DPP$ лет покрывает вложения:

$$DPP = -\frac{\ln\!\left(1 - \dfrac{IC \cdot r}{A}\right)}{\ln(1 + r)}.$$

Здесь же видно условие существования: если $A \le IC \cdot r$, логарифм не определён - поступления не покрывают даже проценты, и проект не окупится никогда, сколько лет ни добавляй.

Как ставка растягивает окупаемость и когда проект приемлем

Ставка дисконтирования - единственный параметр, который в этой задаче двигает $DPP$ при неизменном потоке. Пересчитаем наш проект для трёх значений:

Рост нелинейный и ускоряется к концу: при 20% окупаемость почти упирается в четвёртый год. Порог видно точно - это ставка, при которой NPV за весь горизонт обращается в ноль, то есть IRR проекта, здесь примерно 21,0%. При $r > 21\%$ накопленный дисконтированный поток не дотягивает до нуля за четыре года, и $DPP$ не существует. Отсюда удобное правило самопроверки: DPP укладывается в горизонт тогда и только тогда, когда NPV положителен. Наш NPV равен 321 тыс. руб., значит, конечный DPP обязан был найтись - и нашёлся.

Вывод о приемлемости делают сравнением с нормативом. Норматив задаёт инвестор или внутренний регламент компании: скажем, «проект принимается, если окупается за 4 года». Наши 3,22 года меньше четырёх, критерий выполнен. Если норматива в условии нет, ориентиром служит срок жизни проекта или период, на который взяты заёмные деньги: окупаемость позже возврата кредита означает кассовый разрыв, даже когда NPV положителен. Развёрнутая оценка на тех же потоках строится методом дисконтированных денежных потоков.

Частые ошибки

• Делят вложения на сумму всех поступлений. $1200 / 1950 = 0{,}62$ - это доля, а не годы. Окупаемость ищут по накопленному итогу, а делением считают только при строго равномерном потоке.
• Берут для интерполяции не тот год. В дробь идёт остаток на конец последнего отрицательного года и поступление следующего года. Поделив 350 на 450 (поступление того же года), получишь 2,78 вместо 2,70.
• Дисконтируют вложения момента 0. Их коэффициент равен единице, делить 1200 на 1,1 не нужно - иначе DPP выйдет заниженным.
• Считают DPP по накопленному номинальному потоку. Дисконтировать нужно и остаток, и поступление в знаменателе: 88,81 и 409,81, а не 150 и 600.
• Ставку подставляют в процентах. В множитель идёт $r = 0{,}1$, а не 10. Коэффициент $1{,}1^{-t}$ превращается в $11^{-t}$, и накопленный поток никогда не выходит в плюс.
• Считают проект неокупаемым, потому что знак не поменялся. Сначала проверь NPV: если он положителен, срок существует и просто выходит за построенную часть таблицы - надо продлить горизонт.

FAQ

Чем PP отличается от DPP и какой из них писать в ответе? Простой $PP$ складывает поступления как есть, дисконтированный $DPP$ - после приведения к моменту 0, поэтому $DPP$ всегда больше. Если в условии дана ставка дисконтирования, считать нужно оба и выносить в ответ оба: ставку дали не просто так.

Что делать, если накопленный поток меняет знак дважды? Так бывает, когда в середине проекта запланированы новые вложения. По определению берут первый момент выхода в плюс, но в пояснении обязательно отмечают повторный уход в минус: показатель в такой ситуации вводит в заблуждение, и решение принимают по NPV.

Нужно ли учитывать амортизацию и налоги? Амортизация - не денежный расход, в поток она не входит; в $CF_t$ ставят чистую прибыль плюс амортизацию. Налог на прибыль, наоборот, реальный отток, и поток берут после налога. Если в условии дана выручка, а не денежный поток, эти поправки делают до построения таблицы.

Можно ли считать срок окупаемости по месяцам или кварталам? Да, и это точнее интерполяции. Поток разбивают на периоды нужной длины, ставку приводят к периоду ($r_{\text{кв}} = r_{\text{год}} / 4$ при простом пересчёте), а накопленный итог строят по кварталам. Ответ получится сразу в кварталах, и допущение о равномерности внутри года не понадобится.

Коротко

1. Записать вложения со знаком минус в момент $t = 0$ и построить накопленный поток по годам: -1200, -800, -350, 150, 750.
2. Найти последний год с отрицательным итогом ($n = 2$, остаток 350) и добрать долю года: $PP = 2 + 350 / 500 = 2{,}70$ года.
3. Продисконтировать поступления по ставке 10%: 363,64; 371,90; 375,66 и 409,81 тыс. руб.
4. Построить накопленный дисконтированный итог (-836,36; -464,46; -88,81; 321,00) и интерполировать: $DPP = 3 + 88{,}81 / 409{,}81 = 3{,}22$ года.
5. Ответ: PP = 2,70 года, DPP = 3,22 года, NPV = 321,00 тыс. руб.; при нормативе 4 года проект принимается.