Дифференцированный платёж: задачи и формулы

Дифференцированный платёж - одна из двух стандартных схем погашения кредита, которую разбирают в курсе финансовой математики и экономики. Её суть: основной долг делится на равные части, а проценты начисляются на убывающий остаток - поэтому каждый следующий платёж меньше предыдущего. Студентам такие задачи встречаются в контрольных по высшей математике, экономике и банковскому делу. Чтобы сразу увидеть, как меняются суммы при разных условиях, воспользуйтесь калькулятором ниже - он строит график платежей и считает переплату мгновенно.

Формула дифференцированного платежа

При дифференцированной схеме основной долг $S$ делится на $n$ равных частей:

$$D = \frac{S}{n}$$

Остаток долга на начало $k$-го месяца:

$$R(k) = S \cdot \left(1 - \frac{k-1}{n}\right) = S - D\,(k-1)$$

Процентная часть $k$-го месяца (при месячной ставке $r_{\text{мес}} = r_{\text{год}} / 12$):

$$P(k) = R(k) \cdot \frac{r_{\text{мес}}}{100}$$

Полный платёж $k$-го месяца:

$$A(k) = D + P(k) = \frac{S}{n} + S\left(1 - \frac{k-1}{n}\right)\cdot\frac{r_{\text{мес}}}{100}$$

Платёж линейно убывает от месяца к месяцу: разница между соседними платежами постоянна и равна $D \cdot r_{\text{мес}} / 100$.

Рассчитать для своей задачи

Пример расчёта задачи по шагам

Условие. Кредит $S = 300\,000$ руб. на $n = 6$ месяцев под $r_{\text{год}} = 18\%$ годовых. Найти дифференцированные платежи за каждый месяц и общую переплату.

Решение.

Месячная ставка: $r_{\text{мес}} = 18 / 12 = 1{,}5\%$.

Ежемесячная доля основного долга: $D = 300\,000 / 6 = 50\,000$ руб.

Составим таблицу:

Суммарная переплата: $4\,500 + 3\,750 + 3\,000 + 2\,250 + 1\,500 + 750 = 15\,750$ руб.

Общая формула для переплаты (сумма убывающей арифметической прогрессии):

$$\text{Переплата} = D \cdot \frac{r_{\text{мес}}}{100} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

Подставляем: $50\,000 \cdot 0{,}015 \cdot \frac{6 \cdot 7}{2} = 750 \cdot 21 = 15\,750$ руб. - совпадает с таблицей.

График платежей и остаток долга

Отличительная черта дифференцированной схемы хорошо видна на графике: платёж убывает линейно, а остаток долга снижается равномерно - каждый месяц тело долга уменьшается на одну и ту же величину $D$.

Рассчитать для своей задачи

Первый платёж всегда максимален, потому что процентная база ещё равна полной сумме кредита. Последний платёж - минимален: проценты начисляются только на оставшуюся долю $S/n$, поэтому он равен $D \cdot (1 + r_{\text{мес}}/100)$.

Как найти первый и последний платёж быстро

Не составляя всю таблицу:

$$A(1) = \frac{S}{n} + S \cdot \frac{r_{\text{мес}}}{100}$$ $$A(n) = \frac{S}{n} + \frac{S}{n} \cdot \frac{r_{\text{мес}}}{100} = \frac{S}{n}\left(1 + \frac{r_{\text{мес}}}{100}\right)$$

Для примера выше: $A(1) = 50\,000 + 300\,000 \cdot 0{,}015 = 54\,500$ руб., $A(6) = 50\,000 \cdot 1{,}015 = 50\,750$ руб.

Разница между первым и последним платежами: $\Delta A = D \cdot (n-1) \cdot r_{\text{мес}}/100 = 50\,000 \cdot 5 \cdot 0{,}015 = 3\,750$ руб. Это же можно посчитать как $A(1) - A(n)$.

Сравнение с аннуитетным платежом

При аннуитетной схеме платёж каждый месяц одинаков. Для того же кредита ($300\,000$ руб., $18\%$, $6$ мес.) аннуитетный платёж:

$$A_{\text{ан}} = S \cdot \frac{r_{\text{мес}} \cdot (1 + r_{\text{мес}})^n}{(1 + r_{\text{мес}})^n - 1}$$ $$A_{\text{ан}} = 300\,000 \cdot \frac{0{,}015 \cdot 1{,}015^6}{1{,}015^6 - 1} \approx 52\,552 \text{ руб.}$$

Суммарная выплата по аннуитету: $52\,552 \times 6 = 315\,312$ руб., переплата $\approx 15\,312$ руб.

Итого по дифференцированной схеме переплата $15\,750$ руб. - чуть больше, чем по аннуитетной ($15\,312$ руб.), но зато нагрузка снижается к концу срока. При длинных сроках (от $3$ лет) разрыв в переплате становится существеннее в пользу дифференцированной схемы, потому что остаток долга убывает быстрее.

Типовые задачи в учебных программах

В курсе финансовой математики и банковского дела задачи на дифференцированный платёж чаще всего встречаются в трёх форматах.

Задача 1 - найти платёж за конкретный месяц. Нужно найти $A(k)$ при заданных $S$, $n$, $r_{\text{год}}$ и номере месяца $k$. Алгоритм: перевести годовую ставку в месячную, посчитать $D = S/n$, вычислить остаток $R(k) = S(1 - (k-1)/n)$, добавить проценты $P(k) = R(k) \cdot r_{\text{мес}}/100$.

Задача 2 - рассчитать суммарную переплату. Формула $D \cdot r_{\text{мес}}/100 \cdot n(n+1)/2$ позволяет обойтись без полной таблицы. Ответ получается точным, так как сумма арифметической прогрессии $1 + 2 + \dots + n = n(n+1)/2$.

Задача 3 - найти срок кредита или ставку при известной переплате. Здесь задача обратная: из уравнения переплаты выражают неизвестную. Если задана предельная переплата $\Pi$, то $n$ находят из квадратного уравнения $D \cdot r_{\text{мес}}/100 \cdot n(n+1)/2 = \Pi$.

Задачи с переменной ставкой и неполным периодом

Иногда в задачах ставка меняется в середине срока или первый платёж нужно рассчитать за неполный месяц. В таких случаях применяют дневную ставку:

$$r_{\text{день}} = \frac{r_{\text{год}}}{365}$$

Процентная часть за $d$ дней: $P = R \cdot r_{\text{день}} / 100 \cdot d$.

Если в задаче задан срок в днях, а не в месяцах, используют ту же логику: остаток убывает пропорционально выплаченному основному долгу, проценты начисляются на текущий остаток с учётом точного числа дней.

Частые ошибки

• Путают месячную и годовую ставку. При ставке $18\%$ годовых месячная равна $1{,}5\%$, а не $18\%$. Подставлять годовую ставку в месячную формулу - самая частая ошибка в задачах.
• Применяют аннуитетную формулу к дифференцированной схеме. Формулы разные: при дифференцированной схеме используется постоянное тело долга $D = S/n$, аннуитетная формула с геометрической прогрессией здесь не нужна.
• Неверно считают остаток долга. $R(k)$ - остаток на НАЧАЛО $k$-го месяца (до платежа), а не после. Ошибка на один период сдвигает весь расчёт.
• Забывают перевести ставку. Если ставка дана в процентах, при подстановке в формулу её нужно разделить на $100$: $r_{\text{мес}} / 100 = 0{,}015$, а не $1{,}5$.
• Округляют промежуточные результаты. Округление на каждом шаге накапливает погрешность; безопаснее считать до конца в точных дробях и округлять только итоговый ответ.

FAQ

Чем дифференцированный платёж отличается от аннуитетного? При дифференцированной схеме тело долга делится поровну, а проценты начисляются на убывающий остаток - сумма платежа каждый месяц меньше. При аннуитетной схеме платёж всегда одинаков, но в начале срока он состоит преимущественно из процентов, а не из тела долга. Это делает аннуитет удобным для планирования бюджета, тогда как дифференцированная схема выгоднее при досрочном погашении.

Как рассчитать переплату без таблицы? Воспользуйтесь формулой суммы арифметической прогрессии: $\text{Переплата} = D \cdot r_{\text{мес}}/100 \cdot n(n+1)/2$. Здесь $D = S/n$ - ежемесячная доля основного долга, $r_{\text{мес}}$ - месячная ставка в процентах. Для кредита $500\,000$ руб. на $24$ месяца под $18\%$ годовых: $D = 20\,833{,}33$ руб., переплата $= 20\,833{,}33 \cdot 0{,}015 \cdot 25 \cdot 12 / 2 = 93\,750$ руб.

Какой платёж первый, а какой последний? Первый платёж всегда максимален: $A(1) = D + S \cdot r_{\text{мес}}/100$. Последний минимален: $A(n) = D \cdot (1 + r_{\text{мес}}/100)$. Разница между ними равна $D \cdot (n-1) \cdot r_{\text{мес}}/100$.

Коротко

Дифференцированный платёж рассчитывается по двум ключевым формулам: тело долга $D = S/n$ остаётся постоянным, а процентная часть $P(k) = R(k) \cdot r_{\text{мес}}/100$ убывает вместе с остатком долга. Итоговый платёж $k$-го месяца равен $A(k) = D + P(k)$. Переплату можно найти как сумму всех $P(k)$ или через формулу арифметической прогрессии $D \cdot r_{\text{мес}}/100 \cdot n(n+1)/2$. Главные ошибки - перепутать годовую и месячную ставку и применить аннуитетную формулу вместо дифференцированной.