Как определить период идентичности: расчёт по решётке

Дано: тетрагональный кристалл, $a = b = 0{,}459$ нм, $c = 0{,}296$ нм, решётка примитивная, направление $[112]$, излучение медного анода $\lambda = 0{,}154$ нм. Найти: период идентичности $I$ вдоль $[112]$ и угол первой слоевой линии на рентгенограмме вращения.

Период идентичности вдоль направления - это длина кратчайшей трансляции решётки, которая лежит на этом направлении, то есть модуль вектора $u\mathbf{a} + v\mathbf{b} + w\mathbf{c}$. Для ортогональных осей модуль раскрывается в квадратичную форму $I = \sqrt{u^2a^2 + v^2b^2 + w^2c^2}$. Ответ: $I = 0{,}8785$ нм $= 878{,}5$ пм, первая слоевая линия выходит под углом $\nu_1 = 10{,}10^\circ$. Калькулятор сверху прогоняет ту же цепочку для любой сингонии и любых индексов, а столбики показывают, как сильно период зависит от выбранного направления.

Решение по шагам

Дано. Сводим условие в таблицу, сразу переводя всё в одни единицы.

Найти: период идентичности $I$ вдоль $[112]$, угол $\nu_1$ первой слоевой линии и её смещение $y_1$ на плёнке.

Шаг 1. Сокращаем индексы на общий делитель. Направление задаётся наименьшими целыми числами: $[224]$ и $[112]$ - одна и та же прямая, но период идентичности считают по несократимой тройке. У чисел 1, 1 и 2 общий делитель равен единице, сокращать нечего, работаем с $[112]$ как есть.

Шаг 2. Записываем вектор трансляции. Идём из узла в начале координат вдоль направления $[112]$: смещаемся на одно ребро по оси $x$, на одно по оси $y$ и на два по оси $z$. Получается вектор

$$\mathbf{R} = 1\cdot\mathbf{a} + 1\cdot\mathbf{b} + 2\cdot\mathbf{c}.$$

Его конец попадает в узел решётки, а промежуточных узлов на отрезке нет - значит, это и есть период идентичности.

Шаг 3. Считаем длину вектора. Оси тетрагональной ячейки взаимно перпендикулярны, поэтому квадрат длины складывается из квадратов проекций:

$$I = \sqrt{u^2a^2 + v^2b^2 + w^2c^2} = \sqrt{2a^2 + 4c^2}.$$

Подставляем числа: $a^2 = 0{,}459^2 = 0{,}210681$ нм², значит $2a^2 = 0{,}421362$ нм². Дальше $c^2 = 0{,}296^2 = 0{,}087616$ нм², отсюда $4c^2 = 0{,}350464$ нм². Сумма равна $0{,}771826$ нм², а корень из неё

$$I = \sqrt{0{,}771826} = 0{,}8785\ \text{нм} = 878{,}5\ \text{пм}.$$

Шаг 4. Проверяем центрирование. Решётка примитивная, лишних узлов внутри ячейки нет, делить период пополам не нужно. Для объёмно- и гранецентрированных решёток этот шаг пропускать нельзя - разбор ниже.

Шаг 5. Находим угол первой слоевой линии. При вращении кристалла вокруг направления $[112]$ дифракционные пятна ложатся на слоевые линии, положение которых задаёт условие Лауэ $I\sin\nu_n = n\lambda$. Для первой линии $n = 1$:

$$\sin\nu_1 = \frac{\lambda}{I} = \frac{0{,}154}{0{,}8785} = 0{,}1753,\qquad \nu_1 = 10{,}10^\circ.$$

На плёнке цилиндрической камеры радиуса $R = 28{,}65$ мм эта линия отстоит от нулевой на $y_1 = R\,\mathrm{tg}\,\nu_1 = 28{,}65 \cdot 0{,}1781 = 5{,}10$ мм.

Ответ: $I = 0{,}8785$ нм $= 878{,}5$ пм; первая слоевая линия выходит под углом $\nu_1 = 10{,}10^\circ$ и смещена на плёнке на 5,10 мм.

Формула и откуда она берётся

Любой узел решётки получается из начала координат трансляцией $\mathbf{R} = u\mathbf{a} + v\mathbf{b} + w\mathbf{c}$ с целыми $u$, $v$, $w$. Если тройка индексов несократима, то ближайший узел на прямой лежит ровно на конце этого вектора, и период идентичности равен его модулю. Отсюда общая формула для любой сингонии:

$$I = \sqrt{u^2a^2 + v^2b^2 + w^2c^2 + 2uv\,ab\cos\gamma + 2vw\,bc\cos\alpha + 2uw\,ac\cos\beta}.$$

В кубической, тетрагональной и ромбической сингониях все три косинуса обращаются в нуль, и остаётся сумма трёх квадратов. В кубической решётке формула сворачивается совсем коротко: $I = a\sqrt{u^2+v^2+w^2}$ - период зависит только от индексов, а сам параметр ячейки выносится за корень. Как связаны период ячейки и её тип, разбирает задача про период решётки по плотности; там же показано, как выйти на $a$ из рентгеновской плотности, если он не дан.

В гексагональной решётке угол между осями $a$ и $b$ равен $120^\circ$, косинус даёт $-1/2$, и квадратичная форма принимает вид $I = \sqrt{(u^2+v^2-uv)a^2 + w^2c^2}$. Для магния с $a = 0{,}321$ нм и $c = 0{,}521$ нм период вдоль $[110]$ равен 321,0 пм, а вдоль $[111]$ - 612,0 пм. Названия и соотношения осей для каждой сингонии собраны в разборе кубической сингонии.

Центрированные решётки: когда период вдвое короче

Формула с трансляциями молчаливо предполагает, что узлы стоят только в вершинах ячейки. В объёмноцентрированной решётке к ним добавляется узел в центре куба, в гранецентрированной - узлы в центрах граней, и такой узел может оказаться ровно на середине нашего отрезка. Тогда истинный период идентичности вдвое меньше посчитанной трансляции.

Правило простое. Для ОЦК-решётки центральный узел $(\tfrac12\,\tfrac12\,\tfrac12)$ лежит на прямой $[uvw]$, когда все три индекса нечётные. У железа с $a = 0{,}287$ нм пространственная диагональ равна $a\sqrt{3} = 497{,}1$ пм, но период идентичности вдоль $[111]$ составляет только 248,6 пм. Для ГЦК-решётки узлы в центрах граней попадают на прямую, когда нечётных индексов ровно два: у меди с $a = 0{,}3615$ нм период вдоль $[110]$ равен 255,6 пм вместо 511,2 пм. Типы плотных упаковок и их узлы разобраны в статье про решётки ОЦК, ГЦК и ГПУ, а определить тип ячейки по исходным данным помогает разбор о типе кристаллической решётки.

Именно поэтому в калькуляторе стоит отдельная группа чипов «решётка Браве»: переключение на объёмноцентрированную при нечётных индексах мгновенно укорачивает столбик вдвое.

Обратная задача: период идентичности из рентгенограммы вращения

На практике чаще решают обратную задачу: период неизвестен, а слоевые линии на плёнке измерены. Порядок действий зеркальный. Сначала по смещению линии от нулевой находят угол: $\mathrm{tg}\,\nu_n = y_n/R$. Затем из условия Лауэ достают период: $I = n\lambda/\sin\nu_n$.

Проверим на своих же числах. Измеренное смещение $y_1 = 5{,}10$ мм при $R = 28{,}65$ мм даёт $\mathrm{tg}\,\nu_1 = 0{,}1780$, то есть $\nu_1 = 10{,}09^\circ$ и $\sin\nu_1 = 0{,}1753$. Отсюда $I = 0{,}154/0{,}1753 = 0{,}879$ нм - совпало с прямым расчётом, расхождение в третьем знаке набежало на округлениях.

Полезная прикидка: число слоевых линий по одну сторону от нулевой равно целой части отношения $I/\lambda$. У нас $0{,}8785/0{,}154 = 5{,}70$, значит на снимке ждём пять слоевых линий сверху и пять снизу. Чем длиннее период вдоль оси вращения, тем гуще линии; если же период короче длины волны, не появится ни одной.

Частые ошибки

• Считают период по несокращённым индексам. Для $[224]$ формула даёт удвоенное значение: направление то же самое, а период получается чужой. Первым делом делим тройку на общий делитель.
• Забывают про центрирующие узлы. Для ОЦК вдоль $[111]$ и для ГЦК вдоль $[110]$ ответ ровно вдвое меньше длины трансляции по вершинам. Это самая частая ошибка в контрольных по кристаллографии.
• Путают период идентичности с параметром решётки. Параметр $a$ - это ребро ячейки, период идентичности - расстояние между ближайшими узлами вдоль заданного направления; совпадают они только для $[100]$ в примитивной решётке.
• Путают индексы направления и индексы плоскости. В квадратичную форму периода идут именно $[uvw]$; тройка $(hkl)$ работает в формуле межплоскостного расстояния и даёт другой ответ.
• Берут косинусы углов наугад в гексагональной решётке. Угол между $a$ и $b$ равен $120^\circ$, а не $60^\circ$, поэтому в форме стоит минус: $u^2+v^2-uv$.
• Смешивают единицы. Ангстремы, нанометры и пикометры в одной формуле дают ошибку в три порядка. Длину волны и рёбра ячейки приводим к одной мере до подстановки.

FAQ

Чем период идентичности отличается от параметра решётки? Параметр решётки - длина ребра элементарной ячейки, их всего три ($a$, $b$, $c$). Период идентичности задаётся для конкретного направления и принимает своё значение для каждой тройки $[uvw]$. Для направления $[100]$ примитивной решётки они совпадают, для всех остальных - нет.

Зачем период идентичности нужен на практике? Он напрямую измеряется по рентгенограмме вращения: расстояния между слоевыми линиями дают период вдоль оси вращения. Сняв кристалл в трёх взаимно перпендикулярных установках, получают все три ребра ячейки, не прибегая к полному структурному анализу.

Может ли период идентичности быть меньше параметра решётки? Да, в центрированных решётках. В ОЦК вдоль $[111]$ период равен $a\sqrt{3}/2 \approx 0{,}87a$, а в ГЦК вдоль $[110]$ - $a/\sqrt{2} \approx 0{,}71a$. Оба значения меньше ребра ячейки.

Что даёт формула Лауэ в методе вращения? Она связывает период идентичности вдоль оси вращения, длину волны и угол выхода дифрагированного луча: $I\sin\nu_n = n\lambda$. Номер $n$ - это номер слоевой линии, поэтому по её положению на плёнке период восстанавливается одним действием.

Коротко

1. Сократи индексы направления на общий делитель: период считают по несократимой тройке $[uvw]$.
2. Подставь индексы в квадратичную форму. Для ортогональных осей $I = \sqrt{u^2a^2 + v^2b^2 + w^2c^2}$, для гексагональной - $I = \sqrt{(u^2+v^2-uv)a^2 + w^2c^2}$.
3. Проверь тип решётки Браве: для ОЦК при всех нечётных индексах и для ГЦК при двух нечётных период делится пополам.
4. Свяжи ответ с рентгенограммой вращения через условие Лауэ $I\sin\nu_n = n\lambda$; число слоевых линий по одну сторону равно целой части $I/\lambda$.
5. В разобранной задаче $I = 0{,}8785$ нм $= 878{,}5$ пм, первая слоевая линия под углом $10{,}10^\circ$ и на 5,10 мм от нулевой.