Кристаллическая решётка: ОЦК, ГЦК и ГПУ

Большинство металлов в твёрдом состоянии устроены как кристалл: их атомы сидят в узлах строго периодической решётки, и от типа этой решётки зависят прочность, пластичность и плотность материала. В материаловедении чаще всего встречаются три типа кристаллической решётки: объёмноцентрированная кубическая (ОЦК), гранецентрированная кубическая (ГЦК) и гексагональная плотноупакованная (ГПУ). Они различаются тем, сколько атомов приходится на элементарную ячейку, сколько у каждого атома ближайших соседей и насколько плотно заполнено пространство. Ниже разберём геометрию каждой решётки, выведем коэффициент компактности и научимся считать плотность металла. Чтобы сразу увидеть, как тип решётки и атомный радиус влияют на параметр ячейки и плотность, покрутите калькулятор ниже, а затем разберём каждую формулу строго.

Что такое элементарная ячейка

Кристаллическая решётка - это бесконечное периодическое повторение одного и того же мотива в пространстве. Чтобы описать весь кристалл, достаточно задать самый маленький повторяющийся фрагмент - элементарную ячейку. Сдвигая её на векторы трансляции, мы заполняем весь объём без пробелов и наложений. Ключевая характеристика ячейки - параметр решётки $a$ (для кубических) или пара $a$ и $c$ (для гексагональной): это рёбра ячейки в нанометрах.

При подсчёте числа атомов на ячейку важно учитывать, что атомы в вершинах и на гранях делятся между соседними ячейками. Атом в вершине куба принадлежит восьми ячейкам сразу, поэтому вносит вклад $1/8$. Атом на грани делится между двумя ячейками и даёт $1/2$, а атом строго внутри ячейки принадлежит ей целиком и считается за единицу. Эта простая бухгалтерия и даёт разное число атомов $n$ для трёх типов решёток.

Рассчитать для своей задачи

Решётка ОЦК

Объёмноцентрированная кубическая решётка (ОЦК, по-английски BCC) - это куб с атомами в восьми вершинах и одним атомом в центре куба. Восемь вершинных атомов дают $8 \cdot 1/8 = 1$, центральный - ещё $1$, итого $n = 2$ атома на ячейку. Координационное число, то есть количество ближайших соседей у каждого атома, равно $z = 8$.

Атомы в ОЦК касаются вдоль пространственной диагонали куба. Её длина $a\sqrt{3}$ равна четырём радиусам ($4r$), потому что на диагонали умещаются радиус вершинного атома, диаметр центрального и снова радиус вершинного. Отсюда связь параметра решётки и атомного радиуса:

$a\sqrt{3} = 4r \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.$

Так кристаллизуются $\alpha$-железо при комнатной температуре, хром, вольфрам, молибден. Коэффициент компактности этой решётки мы посчитаем ниже.

Решётка ГЦК

Гранецентрированная кубическая решётка (ГЦК, FCC) - это куб с атомами в вершинах и в центрах всех шести граней. Вершины дают $8 \cdot 1/8 = 1$, шесть атомов на гранях - $6 \cdot 1/2 = 3$, итого $n = 4$ атома на ячейку. Координационное число максимально возможное для одинаковых шаров: $z = 12$.

Касание атомов в ГЦК идёт по диагонали грани куба. Её длина $a\sqrt{2}$ равна четырём радиусам, поэтому:

$a\sqrt{2} = 4r \quad\Rightarrow\quad a = 2\sqrt{2}\,r.$

ГЦК - одна из двух плотнейших упаковок шаров. Так устроены медь, алюминий, никель, серебро, золото и $\gamma$-железо (аустенит). Именно высокая координация и плотность упаковки делают эти металлы пластичными: в ГЦК много плоскостей и направлений, по которым легко идёт скольжение дислокаций.

Рассчитать для своей задачи

Решётка ГПУ

Гексагональная плотноупакованная решётка (ГПУ, HCP) описывается не кубом, а гексагональной призмой. На полную ячейку приходится $n = 6$ атомов, координационное число такое же, как у ГЦК: $z = 12$. ГПУ и ГЦК - это два способа уложить шары максимально плотно: они отличаются только порядком чередования плотноупакованных слоёв (ABAB у ГПУ против ABCABC у ГЦК).

В базисной плоскости атомы касаются напрямую, поэтому $a = 2r$. Высота призмы $c$ связана с $a$ идеальным отношением, которое следует из геометрии плотнейшей упаковки:

$\frac{c}{a} = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}633.$

Так кристаллизуются магний, цинк, титан, кобальт, бериллий. У реальных металлов отношение $c/a$ слегка отклоняется от идеального, что заметно влияет на их пластичность: чем дальше от $1{,}633$, тем труднее идёт скольжение.

Коэффициент компактности

Коэффициент компактности (плотность упаковки) $\eta$ - это доля объёма ячейки, занятая самими атомами-шарами. Считается он одинаково для всех решёток: число атомов на ячейку умножается на объём одного шара и делится на объём ячейки.

$\eta = \frac{n \cdot \dfrac{4}{3}\pi r^3}{V_{яч}}.$

Подставляя $a = 4r/\sqrt{3}$ для ОЦК ($n = 2$) и $a = 2\sqrt{2}\,r$ для ГЦК ($n = 4$), получаем чистые числа без радиуса:

$\eta_{ОЦК} = \frac{\sqrt{3}\,\pi}{8} \approx 0{,}68, \qquad \eta_{ГЦК} = \eta_{ГПУ} = \frac{\pi}{\sqrt{18}} \approx 0{,}74.$

То есть в ОЦК атомы заполняют 68 процентов объёма, а в ГЦК и ГПУ - 74 процента, это теоретический максимум для упаковки одинаковых шаров. Калькулятор выше показывает эти доли на столбцах и подсвечивает выбранный тип решётки, чтобы наглядно сравнить три варианта.

Как посчитать плотность металла

Плотность металла $\rho$ напрямую следует из устройства его кристаллической решётки. В одной ячейке находится $n$ атомов, масса каждого равна $M / N_A$ (молярная масса делённая на число Авогадро), а занимают они объём $V_{яч}$:

$\rho = \frac{n \cdot M}{N_A \cdot V_{яч}}.$

Для кубических решёток $V_{яч} = a^3$, для гексагональной $V_{яч} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2 c$. Это очень мощная формула: зная всего тип решётки, атомный радиус и молярную массу, можно предсказать плотность чистого металла с точностью до процентов. Например, для меди ($n = 4$, $r = 0{,}128$ нм, $M = 63{,}5$ г/моль) расчёт даёт около $8{,}9$ г/см³, что совпадает с табличным значением. Задайте свои $r$ и $M$ в калькуляторе, переключите тип решётки и сразу увидите, как меняется плотность.

Частые ошибки

• Неправильный подсчёт атомов на ячейку. Атом в вершине вносит $1/8$, на грани $1/2$, в центре куба $1$. Если считать каждый видимый атом за целый, число $n$ завышается в разы.
• Путаница диагоналей в ОЦК и ГЦК. В ОЦК атомы касаются по пространственной диагонали ($a\sqrt{3} = 4r$), в ГЦК - по диагонали грани ($a\sqrt{2} = 4r$). Перепутав их, получите неверный параметр решётки.
• Радиус вместо диаметра. На диагонали умещаются именно четыре радиуса, а не два. Частая ошибка - приравнять диагональ к $2r$.
• Градусы и единицы длины. Радиус задают в нанометрах или ангстремах, плотность считают в г/см³. Не переведя нанометры в сантиметры ($1$ нм $= 10^{-7}$ см), получите плотность, ошибочную на много порядков.
• Считать ГПУ менее плотной, чем ГЦК. Коэффициент компактности у них одинаковый ($0{,}74$). Различается только порядок укладки слоёв, а не плотность упаковки.

FAQ

Чем отличается ОЦК от ГЦК решётки? В ОЦК атом сидит в центре куба, всего $n = 2$ атома на ячейку, координационное число $8$, плотность упаковки $0{,}68$. В ГЦК атомы стоят в центрах граней, $n = 4$, координационное число $12$, упаковка $0{,}74$. Поэтому ГЦК-металлы плотнее и обычно пластичнее.

Почему у ГЦК и ГПУ одинаковый коэффициент компактности? Обе решётки представляют собой плотнейшую упаковку одинаковых шаров и заполняют $74$ процента объёма. Разница лишь в чередовании плотноупакованных слоёв: ABAB у ГПУ и ABCABC у ГЦК. Геометрическая плотность от порядка слоёв не зависит.

Как связан атомный радиус с параметром решётки? Через геометрию касания атомов. Для ОЦК $a = 4r/\sqrt{3}$, для ГЦК $a = 2\sqrt{2}\,r$, для ГПУ в базисной плоскости $a = 2r$ при отношении $c/a = 1{,}633$. Зная радиус, сразу находите параметр ячейки.

Коротко

Три типа кристаллической решётки металлов различаются упаковкой: ОЦК даёт $n = 2$ атома на ячейку, координацию $8$ и компактность $0{,}68$; ГЦК - $n = 4$, координацию $12$ и $0{,}74$; ГПУ - $n = 6$, координацию $12$ и те же $0{,}74$. Параметр решётки связан с атомным радиусом через геометрию касания ($a = 4r/\sqrt{3}$ для ОЦК, $a = 2\sqrt{2}\,r$ для ГЦК, $a = 2r$ для ГПУ), а плотность металла считается по формуле $\rho = n M / (N_A V_{яч})$. Этих формул достаточно, чтобы предсказать плотность чистого металла по типу решётки, атомному радиусу и молярной массе.