Гексагональная плотнейшая упаковка: ГПУ, c/a и упаковка 0.74

Гексагональная плотнейшая упаковка (ГПУ) - это один из двух способов уложить одинаковые шары в пространстве так, чтобы они занимали максимально возможную долю объёма. Вместе с гранецентрированной кубической упаковкой (ГЦК) она даёт предельную плотность: коэффициент компактности у обеих равен примерно $0{,}74$, а каждый атом касается ровно двенадцати соседей. Различие лишь в порядке чередования слоёв: у ГПУ это последовательность ABAB, у ГЦК - ABCABC. Ниже разберём, откуда берётся коэффициент компактности $0{,}74$, почему координационное число равно $12$, сколько атомов приходится на ячейку и как выводится идеальное отношение $c/a = \sqrt{8/3} \approx 1{,}633$. Чтобы сразу увидеть, как меняются эти величины от типа решётки, покрутите калькулятор ниже: он считает упаковку, число атомов и отношение осей для ГПУ и сравнивает её с ГЦК, ОЦК и простой кубической решёткой.

Как устроена гексагональная плотнейшая упаковка

Представьте, что вы выкладываете шары в один слой так, чтобы каждый касался шести соседей - это плотнейший плоский слой, обозначим его буквой A. Второй слой B кладётся в лунки первого, причём занятыми оказываются не все лунки, а только половина. Третий слой можно положить двумя способами: либо точно над первым (позиция A) - тогда получается чередование ABAB и решётка ГПУ, либо над свободными лунками (новая позиция C) - тогда выходит ABCABC и решётка ГЦК.

Рассчитать для своей задачи

Именно чередование ABAB задаёт гексагональную симметрию: если посмотреть на упаковку сверху, центры атомов образуют правильную гексагональную сетку. Слово «плотнейшая» здесь не фигура речи - доказано, что плотнее одинаковые шары уложить нельзя (гипотеза Кеплера, доказанная в конце XX века). Поэтому ГПУ и ГЦК - это две формы одного и того же предельного результата, отличающиеся только взаимным расположением слоёв.

Координационное число равно 12

Координационное число - это количество ближайших соседей, которых касается каждый атом. В гексагональной плотнейшей упаковке оно равно $12$, и это легко увидеть по слоям. В своём собственном слое центральный атом касается шести соседей по шестиугольнику. Сверху, в слое B, над ним лежат ещё три атома, опирающихся на него как на лунку. Снизу, в таком же слое, - ещё три. Итого $6 + 3 + 3 = 12$.

Рассчитать для своей задачи

Ровно такое же координационное число $12$ имеет и ГЦК - это прямое следствие того, что обе упаковки плотнейшие. Для сравнения: у объёмноцентрированной кубической решётки (ОЦК) координационное число равно $8$, а у простой кубической - всего $6$. Чем больше соседей, тем плотнее упаковка, поэтому именно структуры с координационным числом $12$ достигают максимальной компактности.

Сколько атомов приходится на ячейку

Здесь важно не путать два понятия: примитивную ячейку и привычную «большую» гексагональную ячейку, которую обычно рисуют в учебниках. Примитивная ячейка ГПУ содержит ровно $2$ атома. Но удобнее работать с гексагональной призмой, у которой шестиугольное основание - её и называют элементарной ячейкой ГПУ. Подсчёт атомов в ней ведётся по долям:

• $12$ атомов в вершинах призмы, каждый принадлежит ячейке на $\tfrac{1}{6}$: вклад $12 \cdot \tfrac{1}{6} = 2$;
• $2$ атома в центрах верхнего и нижнего шестиугольных оснований, по $\tfrac{1}{2}$ каждый: вклад $2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1$;
• $3$ атома целиком внутри призмы (в среднем слое): вклад $3$.

В сумме $2 + 1 + 3 = 6$ атомов на гексагональную ячейку. Для сравнения, у ГЦК на кубическую ячейку приходится $4$ атома, у ОЦК - $2$, у простой кубической - $1$. Число атомов в ячейке напрямую входит в формулу коэффициента компактности, поэтому ошибиться в нём - значит получить неверную упаковку.

Коэффициент компактности 0.74

Коэффициент компактности (его ещё называют коэффициентом упаковки или фактором заполнения) - это доля объёма ячейки, занятая самими атомами-шарами:

$\varphi = \frac{n \cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3}{V_{\text{яч}}},$

где $n$ - число атомов в ячейке, $R$ - радиус атома, $V_{\text{яч}}$ - объём ячейки. Для гексагональной плотнейшей упаковки подстановка геометрии ячейки даёт замечательный результат, не зависящий ни от радиуса, ни от размера ячейки:

$\varphi = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 0{,}7405.$

То есть атомы занимают около $74\%$ объёма, а оставшиеся $26\%$ - это пустоты между шарами. Ровно такой же коэффициент $0{,}74$ получается и для ГЦК, что неудивительно: обе упаковки плотнейшие. У ОЦК фактор заполнения равен $\tfrac{\sqrt{3}\,\pi}{8} \approx 0{,}68$, у простой кубической - $\tfrac{\pi}{6} \approx 0{,}52$. Калькулятор выше пересчитывает $\varphi$ для каждого типа решётки и показывает их на одной диаграмме, чтобы разница была наглядной.

Подчеркнём важную мысль: коэффициент компактности не зависит от радиуса атома. Если увеличить все шары вдвое, во столько же раз вырастет и ячейка, а их отношение останется тем же. Поэтому $0{,}74$ - это чисто геометрическая константа плотнейшей упаковки.

Отношение c/a равно корню из 8/3

У гексагональной ячейки два независимых параметра: $a$ - сторона шестиугольного основания (она же равна расстоянию между центрами соприкасающихся атомов в слое, то есть $a = 2R$) и $c$ - высота призмы, равная удвоенному расстоянию между соседними слоями. Для идеальной плотнейшей упаковки эти параметры связаны жёстким соотношением. Центр атома верхнего слоя сидит над центром треугольной лунки нижнего, и расстояние между слоями находится из прямоугольного треугольника:

$\frac{c}{a} = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}633.$

Это идеальное отношение осей. У реальных металлов с ГПУ-решёткой оно слегка отклоняется: у магния $c/a \approx 1{,}624$, у цинка - около $1{,}856$, у кадмия - $1{,}886$. Чем сильнее отклонение от $1{,}633$, тем заметнее структура отходит от модели идеальных шаров. Если же подставить именно $c/a = \sqrt{8/3}$, упаковка в точности даёт коэффициент компактности $0{,}74$.

Чем ГПУ отличается от ГЦК

Раз у ГПУ и ГЦК одинаковые коэффициент компактности $0{,}74$ и координационное число $12$, возникает вопрос: в чём же разница? Только в порядке слоёв. У ГПУ последовательность ABAB, у ГЦК - ABCABC. Из-за этого у ГПУ симметрия гексагональная (одна выделенная ось $c$), а у ГЦК - кубическая (все направления равноправны). На свойства это влияет напрямую: ГПУ-металлы (магний, цинк, титан, кобальт) часто более анизотропны и хуже деформируются, чем ГЦК-металлы (медь, алюминий, никель), у которых больше плоскостей скольжения. Подробнее про кубический вариант плотнейшей укладки - в разборе гранецентрированной кубической решётки.

Частые ошибки

• Считают, что у ГПУ упаковка плотнее, чем у ГЦК. Нет, у обеих коэффициент компактности одинаков и равен $0{,}74$. Различается только чередование слоёв, а не плотность.
• Берут число атомов примитивной ячейки вместо гексагональной. В формулу компактности для гексагональной призмы нужно подставлять $n = 6$, а не $2$. Примитивная ячейка содержит $2$ атома, но её объём в три раза меньше.
• Забывают, что $a = 2R$. В плотнейшем слое соседние атомы касаются, поэтому сторона основания равна двум радиусам. Если перепутать $a$ и $R$, объём ячейки выйдет ошибочным.
• Подставляют произвольное $c/a$. Коэффициент $0{,}74$ получается только при идеальном отношении $c/a = \sqrt{8/3}$. Для реального металла с другим $c/a$ упаковка будет чуть меньше предельной.
• Путают координационное число с числом атомов в ячейке. Координационное число $12$ - это соседи одного атома, а число атомов в ячейке $6$ - совсем другая величина.

FAQ

Чему равен коэффициент компактности гексагональной плотнейшей упаковки? Он равен $\varphi = \pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}74$, то есть атомы занимают около $74\%$ объёма. Ровно такой же коэффициент имеет гранецентрированная кубическая упаковка - обе они плотнейшие.

Почему координационное число ГПУ равно 12? Каждый атом касается шести соседей в своём плотнейшем слое, трёх в слое сверху и трёх в слое снизу: $6 + 3 + 3 = 12$. Это максимально возможное число касаний одинаковых шаров.

Откуда берётся отношение c/a, равное корню из 8/3? Атом верхнего слоя ложится в треугольную лунку нижнего. Из геометрии правильного тетраэдра, образованного четырьмя касающимися шарами, расстояние между слоями даёт $c/a = \sqrt{8/3} \approx 1{,}633$ для идеальной упаковки.

Коротко

Гексагональная плотнейшая упаковка (ГПУ) - это плотнейшая укладка одинаковых шаров с чередованием слоёв ABAB. Её коэффициент компактности равен $\varphi = \pi/(3\sqrt{2}) \approx 0{,}74$, координационное число равно $12$, на гексагональную ячейку приходится $6$ атомов, а идеальное отношение осей составляет $c/a = \sqrt{8/3} \approx 1{,}633$. По плотности и числу соседей ГПУ полностью совпадает с ГЦК и отличается от неё лишь порядком чередования плотнейших слоёв.