Как определить число делений клетки: пошаговое решение

Дано: концентрация при посеве $N_0 = 5{,}0 \cdot 10^4$ КОЕ/мл, концентрация при высеве $N = 2{,}4 \cdot 10^8$ КОЕ/мл, время роста $t = 6$ ч $= 360$ мин, культура всё это время находится в логарифмической фазе. Найти: число делений клетки $n$ и время одной генерации $g$.

Число делений считают не подсчётом клеток под микроскопом, а через логарифмы: за каждое деление численность удваивается, поэтому во сколько раз выросла культура, во столько же раз работает двойка в степени $n$. Ответ: $n \approx 12{,}2$ деления, время генерации $g \approx 29{,}4$ мин, скорость размножения 2,04 генерации в час. Калькулятор сверху пересчитает эти же величины под твои концентрации и время, ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Шаг 1. Привести время к одним единицам. Время генерации у бактерий принято выражать в минутах, поэтому сразу переводим: $t = 6$ ч $= 6 \cdot 60 = 360$ мин. Если этого не сделать, в конце получится «29,4 часа» вместо минут, и ответ развалится по порядку величины.

Шаг 2. Взять десятичные логарифмы обеих концентраций. Считаем отдельно логарифм конечной и начальной численности, это удобно тем, что мантисса и порядок разделяются:

$$\lg N = \lg (2{,}4 \cdot 10^8) = \lg 2{,}4 + 8 = 0{,}380 + 8 = 8{,}380$$ $$\lg N_0 = \lg (5{,}0 \cdot 10^4) = \lg 5{,}0 + 4 = 0{,}699 + 4 = 4{,}699$$

Шаг 3. Найти число делений. Подставляем в рабочую формулу, где $\lg 2 = 0{,}301$:

$$n = \frac{\lg N - \lg N_0}{\lg 2} = \frac{8{,}380 - 4{,}699}{0{,}301} = \frac{3{,}681}{0{,}301} = 12{,}23$$

Шаг 4. Найти время одной генерации. Делим всё время роста на число делений, которые в него уложились:

$$g = \frac{t}{n} = \frac{360}{12{,}23} = 29{,}4 \text{ мин}$$

Шаг 5. Проверить ответ обратной подстановкой. Хорошая привычка: подставить найденное $n$ обратно и посмотреть, получится ли исходная концентрация. Здесь $2^{12{,}23} = 4800$, а $5{,}0 \cdot 10^4 \cdot 4800 = 2{,}4 \cdot 10^8$ КОЕ/мл, то есть сходится с условием.

Ответ: за 6 часов клетка поделилась примерно 12,2 раза, время одной генерации 29,4 минуты, скорость размножения 2,04 генерации в час.

Такой результат типичен для кишечной палочки на богатой среде: справочное время генерации у неё 20-30 минут. Если в задаче получилось 3 минуты или 15 часов, ошибка почти наверняка в единицах времени или в порядке концентрации.

Формула числа делений и откуда в ней логарифм

Бактерия размножается бинарным делением: одна клетка даёт две, две дают четыре, и так далее. После $n$ делений из $N_0$ клеток получится

$$N = N_0 \cdot 2^{\,n}$$

Это обычная геометрическая прогрессия со знаменателем 2, тот же экспоненциальный закон, что описывает модель Мальтуса. Нам нужно вытащить $n$ из показателя степени, а для этого и существует логарифм: логарифмируем обе части по основанию 10, выносим показатель вперёд и делим.

$$\lg N = \lg N_0 + n \lg 2 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{\lg N - \lg N_0}{\lg 2}$$

Основание логарифма роли не играет: можно взять натуральный, можно двоичный, лишь бы числитель и знаменатель были в одной системе. Десятичный удобнее тем, что концентрации в микробиологии и так записывают в виде $a \cdot 10^k$ и логарифм считается почти устно. Механика вынесения показателя за знак логарифма разобрана в материале про логарифмические уравнения.

Здесь важно не путать понятия. Число делений $n$ в микробиологии называют числом генераций, и относится оно ко всей популяции: это среднее число удвоений, которое пережила культура. Отдельная клетка целым числом делений не отчитывается, поэтому дробное значение 12,23 никого не смущает. Клеточный цикл конкретной клетки с профазой и цитокинезом - это другая тема, различия митоза и мейоза разобраны в отдельной статье.

Время генерации, число генераций в час и удельная скорость роста

Из одного значения $n$ вытягивается сразу несколько характеристик роста, и в контрольных обычно просят две-три из них. Все они связаны между собой и считаются в два действия:

Величина $v$ - это просто обратное время генерации, приведённое к часу: $v = 60/g = 60/29{,}4 = 2{,}04$. Удельная скорость роста $\mu$ нужна там, где рост описывают дифференциальным уравнением, а не пересчётом удвоений; она отличается от $v$ множителем $\ln 2 \approx 0{,}693$.

Обрати внимание: формула работает только в логарифмической фазе. В лаг-фазе клетки перестраивают ферментный аппарат и почти не делятся, в стационарной фазе прирост уравновешивается отмиранием, и расчёт по двум крайним точкам даст заниженное $n$. Поведение культуры на выходе из экспоненты описывает уже логистическая модель Ферхюльста.

Как меняется расчёт при других данных

Дано время генерации, найти число делений. Обратная задача решается делением: $n = t/g$. При $g = 25$ мин за 4 часа культура успеет $n = 240/25 = 9{,}6$ деления, а численность вырастет в $2^{9{,}6} \approx 776$ раз.

Оба высева сделаны не от нуля. Если первый высев взят через 3 часа после засева, а второй через 9 часов, то $t$ - это интервал между высевами, то есть 6 часов, а не 9. Начало отсчёта роли не играет: формула работает с любыми двумя точками экспоненциальной фазы.

Данные в оптической плотности. Оптическая плотность пропорциональна концентрации клеток, поэтому в формулу её можно подставлять напрямую вместо КОЕ/мл: коэффициент пропорциональности сокращается в разности логарифмов. Рост с 0,08 до 1,28 за 3 часа даёт ровно 4 деления и $g = 45$ мин.

Данные уже в логарифмах. В протоколах численность часто пишут как $\lg N = 8{,}38$. Тогда шаг 2 пропускается: разность логарифмов берётся прямо из таблицы. Готовить саму среду и считать её объём приходится до посева, этот расчёт разобран в задаче про объём питательной среды.

Частые ошибки

• Делят концентрации, а не логарифмы. Выражение $\lg(N/N_0)$ и $\lg N / \lg N_0$ - разные вещи: первое равно 3,681, второе 1,78. Разность логарифмов равна логарифму частного, а не частному логарифмов.
• Забывают разделить на $\lg 2$. Без деления получается не число делений, а десятичный логарифм кратности роста. У новичков это даёт «3,7 деления» вместо 12,2.
• Смешивают часы и минуты. Логарифмы считают по концентрациям, а время подставляют в исходных часах, и время генерации выходит в часах при ожидаемых минутах.
• Округляют $n$ до целого раньше времени. Округлив 12,23 до 12, получишь $g = 30$ мин вместо 29,4: расхождение небольшое, но при 20-30 делениях оно уже заметно. Округляют только финальный ответ.
• Считают по точкам из разных фаз роста. Если первый высев сделан в лаг-фазе, формула усреднит период покоя вместе с экспонентой и завысит время генерации.
• Путают КОЕ/мл и общее число клеток. Колониеобразующая единица может быть цепочкой или парой клеток, поэтому чашечный метод систематически занижает численность. Для расчёта $n$ это не критично, если оба высева сделаны одним методом.

FAQ

Почему число делений получилось дробным? Потому что оно относится к популяции, а не к одной клетке. В культуре одновременно есть клетки на разных стадиях цикла, деления не синхронны, и 12,23 означает, что в среднем каждая клетка исходного посева удвоилась чуть больше двенадцати раз.

Можно ли считать через натуральный логарифм? Да, результат тот же: $n = \ln(N/N_0)/\ln 2$. Проверим на примере: $\ln 4800 = 8{,}476$, делим на $0{,}693$ и получаем те же 12,23. Важно только не смешивать основания в числителе и знаменателе.

Чем время генерации отличается от времени удвоения? Для бинарного деления это одно и то же: за одну генерацию численность удваивается. Термин «время удвоения» чаще применяют к клеточным культурам эукариот, «время генерации» - к бактериям, но формула $g = t/n$ общая.

Какое время генерации считается нормальным? У кишечной палочки на богатой среде 20-30 минут, у большинства сапрофитов 1-3 часа, у микобактерии туберкулёза около 18-24 часов. Ориентируйся на порядок: если у мезофильной культуры вышло меньше 15 минут, ищи ошибку в данных. Условия культивирования тоже влияют, для анаэробов они разобраны в материале про методы культивирования.

Коротко

1. Перевести время роста в минуты: $t = 6$ ч $= 360$ мин.
2. Взять десятичные логарифмы концентраций: $\lg N = 8{,}380$, $\lg N_0 = 4{,}699$.
3. Разделить их разность на $\lg 2 = 0{,}301$: $n = 3{,}681 / 0{,}301 = 12{,}23$ деления.
4. Найти время генерации делением: $g = 360 / 12{,}23 = 29{,}4$ мин, отсюда 2,04 генерации в час.
5. Проверить обратной подстановкой в $N = N_0 \cdot 2^{\,n}$: $2^{12{,}23} = 4800$, что даёт исходные $2{,}4 \cdot 10^8$ КОЕ/мл.