Как найти равновесные концентрации: пошаговое решение

Дано: реакция $\text{H}_2 + \text{I}_2 \rightleftharpoons 2\text{HI}$, константа равновесия $K_c = 50$, исходные концентрации $[\text{H}_2]_0 = 1{,}0$ моль/л и $[\text{I}_2]_0 = 0{,}5$ моль/л, иодоводорода в начале нет. Найти: равновесные концентрации всех трёх веществ и степень превращения иода.

Решаем через таблицу «было - прореагировало - стало»: убыль реагентов обозначаем через $x$, подставляем в выражение $K_c$ и получаем квадратное уравнение. Ответ: $[\text{H}_2] \approx 0{,}533$, $[\text{I}_2] \approx 0{,}0328$, $[\text{HI}] \approx 0{,}934$ моль/л, иод превратился на 93,4 %. Калькулятор сверху пересчитает состав для другой константы, других исходных концентраций и ещё трёх типовых реакций.

Решение по шагам

Шаг 1. Выражение константы. Записываем $K_c$ по уравнению реакции: продукты в числителе, реагенты в знаменателе, коэффициенты уходят в показатели степеней. Как составлять такое выражение для любой реакции, подробно разобрано в статье о константе химического равновесия, здесь нужен только результат:

$$K_c = \frac{[\text{HI}]^2}{[\text{H}_2]\,[\text{I}_2]} = 50.$$

Шаг 2. Таблица «было - прореагировало - стало». Пусть к моменту равновесия прореагировало $x$ моль/л водорода. По уравнению реакции на каждый моль водорода расходуется ровно моль иода и образуются два моля иодоводорода. Поэтому изменения всех веществ выражаются через одно и то же неизвестное:

Строка «Стало» и есть искомые равновесные концентрации, пока выраженные через $x$.

Шаг 3. Уравнение для x. Подставляем нижнюю строку таблицы в выражение константы:

$$\frac{(2x)^2}{(1{,}0 - x)(0{,}5 - x)} = 50.$$

Раскрываем скобки: $4x^2 = 50\,(0{,}5 - 1{,}5x + x^2) = 25 - 75x + 50x^2$. Переносим всё в одну сторону и получаем квадратное уравнение:

$$46x^2 - 75x + 25 = 0.$$

Шаг 4. Корни и выбор физического. Считаем дискриминант и оба корня:

$$\begin{aligned} D &= 75^2 - 4 \cdot 46 \cdot 25 = 5625 - 4600 = 1025, \qquad \sqrt{D} \approx 32{,}016, \\ x_1 &= \frac{75 - 32{,}016}{92} \approx 0{,}4672, \qquad x_2 = \frac{75 + 32{,}016}{92} \approx 1{,}163. \end{aligned}$$

Иода было всего 0,5 моль/л, значит прореагировать могло меньше этого: допустимый интервал $0 < x < 0{,}5$. Корень $x_2 \approx 1{,}163$ дал бы $[\text{I}_2] = 0{,}5 - 1{,}163 < 0$, поэтому его отбрасываем. Остаётся $x = 0{,}4672$ моль/л.

Шаг 5. Равновесные концентрации и степень превращения. Подставляем $x$ в строку «Стало»:

$$\begin{aligned} [\text{H}_2] &= 1{,}0 - 0{,}4672 = 0{,}5328 \text{ моль/л}, \\ [\text{I}_2] &= 0{,}5 - 0{,}4672 = 0{,}0328 \text{ моль/л}, \\ [\text{HI}] &= 2 \cdot 0{,}4672 = 0{,}9344 \text{ моль/л}. \end{aligned}$$

Степень превращения показывает, какая доля взятого вещества прореагировала: $\alpha(\text{I}_2) = 0{,}4672 / 0{,}5 = 0{,}934$, то есть 93,4 %. Водород взят в двойном избытке и израсходован лишь на $0{,}4672 / 1{,}0 = 46{,}7\%$.

Шаг 6. Проверка. Подставляем найденные концентрации обратно в константу:

$$K_c = \frac{0{,}9344^2}{0{,}5328 \cdot 0{,}0328} = \frac{0{,}8731}{0{,}017476} \approx 49{,}96 \approx 50.$$

Константа сошлась, решение верное.

Ответ. $[\text{H}_2] \approx 0{,}533$ моль/л, $[\text{I}_2] \approx 0{,}0328$ моль/л, $[\text{HI}] \approx 0{,}934$ моль/л; степень превращения иода 93,4 %, водорода 46,7 %.

Откуда берётся таблица и почему корень всегда один

Таблица «было - прореагировало - стало» (в англоязычных учебниках её называют ICE-таблицей) - это просто материальный баланс. Концентрации веществ меняются не независимо, а строго в пропорции коэффициентов уравнения: если водорода ушло $x$, то иода ушло тоже $x$, а иодоводорода появилось $2x$. Поэтому вместо трёх неизвестных остаётся одно, и одного уравнения константы хватает, чтобы его найти.

Общее правило записи: для вещества с коэффициентом $\nu$ изменение равно $\nu x$, у реагентов со знаком минус, у продуктов со знаком плюс. Равновесная концентрация равна исходной плюс изменение:

$$c_i = c_{i,0} + \nu_i x.$$

Почему из двух корней квадратного уравнения годится ровно один? Представь отношение $Q(x) = (2x)^2 / \big((1 - x)(0{,}5 - x)\big)$ как функцию от $x$. При $x = 0$ оно равно нулю, потому что продуктов ещё нет. По мере роста $x$ числитель растёт, знаменатель падает, и при $x \to 0{,}5$ отношение уходит в бесконечность: иод заканчивается. Функция на этом интервале монотонна, поэтому значение 50 она принимает ровно в одной точке. Второй корень уравнения - артефакт алгебры, он лежит там, где концентрация становится отрицательной.

Отсюда практическое правило: ещё до решения уравнения выпиши интервал, в котором может лежать $x$. Нижняя граница - ноль (если продукт был в смеси с самого начала, то минус его исходная концентрация, делённая на коэффициент). Верхняя - наименьшее из отношений $c_{i,0} / |\nu_i|$ по реагентам. Корень вне интервала отбрасывается без обсуждений.

Обратный ход: от степени превращения к концентрациям и Kc

Часто задачу дают наоборот: константа неизвестна, зато сказано, какая доля реагента превратилась. Тогда $x$ находится сразу, без уравнения, а $K_c$ становится ответом. Таблица та же, меняется только порядок действий.

Пример: реакция $\text{CO} + \text{H}_2\text{O} \rightleftharpoons \text{CO}_2 + \text{H}_2$, исходно $[\text{CO}]_0 = 1{,}0$ и $[\text{H}_2\text{O}]_0 = 3{,}0$ моль/л, к равновесию превратилось 75 % угарного газа. Прореагировало $x = 0{,}75 \cdot 1{,}0 = 0{,}75$ моль/л, поэтому

$$[\text{CO}] = 0{,}25, \quad [\text{H}_2\text{O}] = 2{,}25, \quad [\text{CO}_2] = [\text{H}_2] = 0{,}75 \text{ моль/л},$$ $$K_c = \frac{0{,}75 \cdot 0{,}75}{0{,}25 \cdot 2{,}25} = \frac{0{,}5625}{0{,}5625} = 1.$$

У этой реакции при $K_c = 1$ есть приятная особенность и в прямой задаче: число молей газов слева и справа одинаково, поэтому квадратичные члены сокращаются. Уравнение $x^2 = (1 - x)(3 - x)$ превращается в линейное $4x - 3 = 0$, откуда $x = 0{,}75$, и дискриминант не нужен.

Обратный ход годится и как проверка основной задачи. Если переключить калькулятор в режим «Степень превращения», он возьмёт найденную долю водорода 46,72 % и восстановит по ней константу, близкую к 50. Заметь, насколько чувствителен ответ: округли степень превращения до 46,7 %, и $K_c$ получится около 49,6. Равновесная концентрация иода очень мала, и любая погрешность в ней заметно меняет знаменатель.

Если исходно есть продукт, K мала или уравнение не квадратное

В смеси сразу есть продукт. Тогда сначала реши, куда пойдёт реакция: посчитай отношение $Q$ по исходным концентрациям и сравни с $K_c$. Если $Q < K_c$, реакция идёт вправо и $x > 0$; если $Q > K_c$, она идёт влево. Удобнее сразу записать таблицу в сторону обратной реакции. Например, из чистого иодоводорода с $[\text{HI}]_0 = 1{,}0$ моль/л при той же константе: $[\text{H}_2] = [\text{I}_2] = y$, $[\text{HI}] = 1{,}0 - 2y$. Уравнение $(1 - 2y)^2 / y^2 = 50$ решается извлечением корня из обеих частей: $(1 - 2y)/y = \sqrt{50} \approx 7{,}071$, откуда $y \approx 0{,}110$ моль/л и $[\text{HI}] \approx 0{,}780$ моль/л.

Константа очень мала. Если превращение заведомо ничтожно, в знаменателе можно заменить $c_0 - x$ на $c_0$. Приближение допустимо, пока $x$ не больше 5 % от $c_0$, и это надо проверить после решения. Для разложения $\text{PCl}_5 \rightleftharpoons \text{PCl}_3 + \text{Cl}_2$ при $K_c = 0{,}042$ моль/л и $[\text{PCl}_5]_0 = 1{,}0$ моль/л приближение даёт $x \approx \sqrt{0{,}042} \approx 0{,}205$. Точное уравнение $x^2 + 0{,}042x - 0{,}042 = 0$ даёт $x \approx 0{,}185$: превращение 18,5 %, так что упрощать было нельзя. Тот же приём с порогом 5 % используют для слабых кислот, где таблица сводится к закону разбавления Оствальда.

Уравнение выше второй степени. Для синтеза аммиака $\text{N}_2 + 3\text{H}_2 \rightleftharpoons 2\text{NH}_3$ таблица даёт $K_c = (2x)^2 / \big((a - x)(b - 3x)^3\big)$, а это уравнение четвёртой степени. Его решают численно: подбором или делением отрезка пополам на интервале допустимых $x$. Работает это благодаря той же монотонности отношения $Q(x)$.

Даны моли и объём. Сначала переведи всё в концентрации делением на объём сосуда. Для реакций, где число молей газов не меняется (как у иодоводорода), объём в константе сокращается. В общем случае подстановка молей вместо концентраций даёт неверный ответ.

Частые ошибки

• Коэффициент не переносят в таблицу. Для $2\text{HI}$ изменение равно $+2x$, а не $+x$, и в числителе стоит $(2x)^2 = 4x^2$. Если записать просто $x^2$, уравнение станет другим и ответ уедет в разы.
• Берут не тот корень. Корень $x_2 \approx 1{,}163$ формально удовлетворяет уравнению, но даёт отрицательную концентрацию иода. Интервал $0 < x < 0{,}5$ выписывают до решения.
• Подставляют исходные концентрации в Kc. Константа связывает только равновесные концентрации, числа из строки «было» в её выражение не попадают никогда.
• Округляют x слишком рано. Концентрация иода получается как разность близких чисел $0{,}5 - 0{,}4672$. Округли $x$ до 0,47, и выйдет $[\text{I}_2] = 0{,}03$ вместо 0,0328, а проверка даст константу около 56 вместо 50. Держи четыре значащие цифры до конца.
• Путают степень превращения с долей в смеси. Степень превращения считается от исходного количества этого же вещества, $\alpha = x / c_0$, а не от суммы концентраций всех газов после равновесия.
• Подставляют моли вместо концентраций в реакциях, где число молей газов меняется, например у $\text{PCl}_5$ или $\text{N}_2\text{O}_4$. Там объём в константе не сокращается.

FAQ

Что такое таблица «было - прореагировало - стало»? Это запись материального баланса реакции в три строки: исходные концентрации, их изменение через одно неизвестное $x$ с учётом коэффициентов и итоговые равновесные концентрации. Нижняя строка подставляется в выражение константы, и задача сводится к одному уравнению с одним неизвестным.

Какой корень квадратного уравнения выбрать? Тот, при котором все концентрации в строке «стало» неотрицательны. Для реакции без исходного продукта это корень на интервале от нуля до наименьшего из отношений $c_0 / |\nu|$ по реагентам, и такой корень всегда один.

Что делать, если Kc дана при другой температуре? Сначала пересчитать константу на нужную температуру по уравнению Вант-Гоффа, для этого понадобится энтальпия реакции. Как это делается и в какую сторону меняется константа у экзо- и эндотермических реакций, разобрано в статье о влиянии температуры на константу равновесия.

Можно ли обойтись без квадратного уравнения? Можно, если обе части уравнения - точные квадраты: при равных исходных концентрациях водорода и иода или при старте из чистого иодоводорода достаточно извлечь корень. Ещё один частный случай - $K_c = 1$ при одинаковом числе молей газов слева и справа, тогда квадратичные члены сокращаются.

Коротко

1. Записать выражение константы через равновесные концентрации: $K_c = [\text{HI}]^2 / ([\text{H}_2][\text{I}_2])$.
2. Составить таблицу «было - прореагировало - стало», выразив все изменения через одно $x$ с учётом коэффициентов.
3. Подставить строку «стало» в $K_c$ и решить уравнение, здесь это $46x^2 - 75x + 25 = 0$.
4. Оставить корень, при котором все концентрации положительны: $x = 0{,}4672$ моль/л, корень 1,163 отброшен.
5. Ответ примера: $[\text{H}_2] \approx 0{,}533$, $[\text{I}_2] \approx 0{,}0328$, $[\text{HI}] \approx 0{,}934$ моль/л, степень превращения иода 93,4 %; проверка подстановкой возвращает $K_c \approx 50$.