Звуковые волны: характеристики и формулы

Звук в задачах описывают набором из нескольких величин: частота, период, длина волны, скорость, амплитуда давления и интенсивность. Все они связаны между собой жёстко, и если известны любые две, остальные считаются в одну строчку. Ниже разберём каждую характеристику звуковых волн по отдельности и покажем, что за формулами стоит одна простая картинка: бегущие по среде сжатия и разрежения. Сначала покрутите калькулятор: он пересчитывает весь набор величин сразу и рисует профиль волны для выбранной среды.

Звуковая волна как продольные сжатия и разрежения

Звук распространяется потому, что частицы среды могут толкать соседей. Источник (мембрана динамика, струна, голосовые связки) сдвигает прилегающий слой воздуха, тот сжимает следующий, и по среде побежала цепочка чередующихся уплотнений и разрежений. Смещение частиц происходит вдоль направления распространения, поэтому звуковая волна продольная. В этом её отличие от волн на воде или на струне, где частицы ходят поперёк движения волны.

Ключевой момент, который легко упустить: вещество никуда не едет. Каждая частица только колеблется около своего положения равновесия, а вправо движется состояние среды, то есть само распределение уплотнений. Поэтому поперечные волны в газах и жидкостях невозможны, а звук в них переносится исключительно за счёт упругости объёма.

Математически такая картина описывается одномерным волновым уравнением, решения которого и есть бегущие в обе стороны возмущения неизменной формы; строгий вывод разобран в статье про волновое уравнение Даламбера. Для практики важно следствие: пока амплитуда мала, волна бежит без искажения формы, и любой сложный звук можно раскладывать на простые гармонические составляющие.

Рассчитать для своей задачи

Частота, период и длина волны

Частота $f$ - число полных колебаний частицы за секунду, измеряется в герцах. Её задаёт источник, и при переходе звука из одной среды в другую частота не меняется: слой воды колеблется с той же скоростью, с какой его дёргает граница с воздухом. Период $T = 1/f$ - время одного колебания.

Длина волны $\lambda$ - расстояние между соседними сжатиями, то есть пространственный период. За время $T$ волна проходит ровно одну длину волны, откуда и берётся главное соотношение:

$v = \lambda f, \qquad \lambda = \frac{v}{f}.$

Для воздуха при $20^{\circ}\mathrm{C}$ со скоростью $v = 343$ м/с нота ля первой октавы ($f = 440$ Гц) даёт $\lambda = 0{,}78$ м, тон $1$ кГц - $34{,}3$ см, а верхняя граница слуха $20$ кГц - всего $1{,}7$ см. Удобно помнить и производные величины: волновое число $k = 2\pi/\lambda$ и циклическая частота $\omega = 2\pi f$; через них профиль волны записывается компактно. Типовые расчёты этого сорта разобраны в статье про длину волны и скорость распространения.

Амплитуда: смещение частиц и звуковое давление

У звуковой волны две амплитуды, и путать их нельзя. Первая - амплитуда смещения $s_m$: насколько далеко частица отходит от положения равновесия. Вторая - амплитуда звукового давления $\Delta p_m$: насколько давление в точке отличается от атмосферного. Через координату и время они записываются так:

$s(x,t) = s_m\cos(kx - \omega t), \qquad p(x,t) = \Delta p_m\sin(kx - \omega t).$

Разные функции здесь не случайность. Избыточное давление пропорционально сжатию слоя, то есть производной смещения по координате: $p = -B\,\partial s/\partial x$, где $B$ - модуль объёмной упругости. Производная косинуса даёт синус, поэтому давление отстаёт от смещения ровно на четверть длины волны.

Рассчитать для своей задачи

Связь амплитуд следует из той же формулы:

$\Delta p_m = \rho v \omega s_m,$

где $\rho$ - плотность среды, а произведение $\rho v$ называют акустическим импедансом. Отсюда видно, насколько мал реальный размах колебаний: при разговорной громкости в воздухе ($\Delta p_m \approx 0{,}02$ Па, частота $1$ кГц) частицы смещаются на $7{,}7$ нм, а на пороге слышимости - примерно на $11$ пм, то есть в десять раз меньше диаметра атома. Сопоставьте масштабы: атмосферное давление составляет около $10^5$ Па, то есть звуковая добавка при обычном разговоре меняет его лишь на две десятимиллионные доли процента.

Интенсивность и уровень звука

Интенсивность $I$ - энергия, проходящая за секунду через единицу площади, перпендикулярной волне. Для плоской волны она выражается через амплитуду давления:

$I = \frac{\Delta p_m^2}{2\rho v}.$

Квадрат в числителе объясняет, почему вдвое более громкий по давлению звук несёт вчетверо больше энергии. Та же разговорная волна с $\Delta p_m = 0{,}02$ Па даёт $I \approx 0{,}48$ мкВт/м² - ухо работает с фантастически малыми потоками энергии. Для точечного источника в свободном пространстве та же энергия распределяется по сфере площадью $4\pi r^2$, поэтому интенсивность падает как $1/r^2$, а амплитуда давления - как $1/r$: удвоение расстояния ослабляет поток вчетверо.

Именно из-за огромного диапазона (от $10^{-12}$ до $1$ Вт/м²) громкость на практике выражают логарифмически, в децибелах, отсчитывая от опорного давления $p_0 = 20$ мкПа. Формулы и правила сложения источников разобраны отдельно в статье про уровень звукового давления в децибелах. Отдельная характеристика волны - потери энергии при распространении и на границах, о них подробнее в разборе коэффициента поглощения звука.

Высота и тембр: что из характеристик слышит ухо

Физическим величинам соответствуют субъективные ощущения. Частоте отвечает высота звука: чем выше $f$, тем выше воспринимаемый тон. Амплитуде давления - громкость, но зависимость нелинейная и разная для разных частот.

Третье ощущение, тембр, не сводится ни к одной характеристике по отдельности. Реальный звук инструмента или голоса не синусоида: помимо основного тона в нём присутствуют обертоны, частоты которых кратны основной. Набор их амплитуд и создаёт узнаваемую окраску, из-за которой скрипка и флейта на одной ноте звучат по-разному. Подробнее эта тема разобрана в статьях про тембр инструмента и собственные частоты струны. Заметное акустическое явление даёт и сложение двух близких частот, порождающее биения.

Инфразвук и ультразвук

Слышимый диапазон человека условно занимает от $16$ до $20\,000$ Гц, причём верхняя граница с возрастом опускается до $12$-$15$ кГц. Колебания ниже $16$ Гц называют инфразвуком: он слабо поглощается и распространяется на километры, его излучают штормы, землетрясения и крупные механизмы. Колебания выше $20$ кГц - ультразвук.

Инфразвук опасен тем, что его частоты попадают в диапазон собственных колебаний внутренних органов и крупных строительных конструкций: при достаточной интенсивности это даёт резонанс, который человек не слышит, но ощущает как тревогу и вибрацию. Практическую ценность ультразвуку даёт короткая длина волны: разрешающая способность любого акустического метода ограничена величиной $\lambda$. При $2$ МГц в мягких тканях $\lambda$ составляет доли миллиметра, что и позволяет видеть детали на УЗИ и находить трещины в металле. Как устроены излучатели таких частот, показано в разборе магнитострикционного излучателя ультразвука.

Скорость звука в газе, жидкости и твёрдом теле

Скорость звука - характеристика не волны, а среды: она определяется её упругостью и плотностью. Общий вид один и тот же, меняется только модуль упругости:

$v_{\text{газ}} = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}, \qquad v_{\text{жидк}} = \sqrt{\frac{K}{\rho}}, \qquad v_{\text{тв}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}.$

В газе скорость зависит от температуры, но не от давления, и растёт примерно на $0{,}6$ м/с на каждый градус: при $0^{\circ}\mathrm{C}$ в воздухе это $331$ м/с, при $20^{\circ}\mathrm{C}$ - $343$ м/с. Вывод формулы для газа разобран в статье про скорость звука в газе.

Рассчитать для своей задачи

Жидкости и твёрдые тела плотнее газов, но их упругость растёт намного сильнее, поэтому звук в них быстрее: в воде $1482$ м/с, в стали около $5100$ м/с. Частота при переходе через границу сохраняется, значит вместе со скоростью в столько же раз меняется и длина волны: тон $1$ кГц имеет в воздухе $34$ см, в воде $1{,}5$ м, а в стали $5{,}1$ м.

Частые ошибки

• Считать, что вещество движется вместе с волной. Частицы колеблются около своих мест; переносятся энергия и состояние среды, а не воздух.
• Менять частоту при переходе в другую среду. Частоту задаёт источник, она сохраняется; меняются скорость и длина волны.
• Путать амплитуду смещения с амплитудой давления. Это разные величины, связанные множителем $\rho v \omega$ и сдвинутые по фазе на $90^\circ$.
• Забывать квадрат в интенсивности. Рост амплитуды давления вдвое даёт вчетверо большую интенсивность, а не вдвое.
• Считать скорость звука в газе зависящей от давления. В формуле стоит температура: при изотермическом сжатии плотность и давление растут согласованно, и $v$ не меняется.

FAQ

Чем отличается звуковая волна от электромагнитной? Звуковая волна продольная и требует среды: в вакууме её нет. Электромагнитная поперечная, распространяется и в вакууме, а её скорость на шесть порядков больше.

Как найти длину волны, если известна только частота? Нужна ещё скорость звука в среде: $\lambda = v/f$. Для воздуха при комнатной температуре берут $343$ м/с, для воды $1482$ м/с, для стали около $5100$ м/с.

Почему низкие звуки слышно из-за стены, а высокие нет? Поглощение растёт с частотой, а длинная волна низких тонов легко огибает препятствия за счёт дифракции. Басовая волна $50$ Гц имеет длину около $7$ м, и перегородка для неё не преграда.

Коротко

Характеристики звуковых волн образуют связанный набор. Частота и период ($T = 1/f$) задаются источником, длина волны и скорость связаны соотношением $v = \lambda f$, причём скорость определяется средой: $343$ м/с в воздухе, $1482$ м/с в воде, около $5100$ м/с в стали. Амплитуда описывается двумя величинами - смещением $s_m$ и давлением $\Delta p_m = \rho v \omega s_m$, сдвинутыми по фазе на четверть длины волны, а энергетическая характеристика $I = \Delta p_m^2/(2\rho v)$ растёт как квадрат давления. Высоте отвечает частота, громкости - амплитуда, тембру - набор обертонов.