Биения двух близких частот: формула и период

Биения - это медленные периодические нарастания и спады амплитуды, которые возникают при сложении двух колебаний с близкими, но не равными частотами. Если ударить две слегка расстроенные струны, ухо слышит не два тона, а один, громкость которого плавно «качается» вверх-вниз; частота этих качаний равна разности частот струн. Ниже разберём, как из суммы двух волн получается такая пульсация, чему равны частота и период биений, что такое несущая частота и почему при точном совпадении частот биения пропадают. Сначала посмотри короткую анимацию: разность частот плавно растёт, и видно, как редкие биения учащаются. А затем покрути интерактив - задавай частоты сам и следи, как меняются огибающая и период биений.

Рассчитать для своей задачи

Что такое биения

Возьмём два гармонических колебания одинаковой амплитуды $A$, но с разными частотами $f_1$ и $f_2$:

$x_1 = A\cos(2\pi f_1 t), \qquad x_2 = A\cos(2\pi f_2 t).$

Когда частоты сильно различаются, их сумма выглядит как мешанина, и на слух это просто два разных тона. Но если частоты близки - например, 440 и 442 Гц - происходит интересное: колебания то совпадают по фазе и усиливают друг друга, то расходятся и почти полностью гасятся. В результате суммарная амплитуда медленно «дышит», и мы слышим один тон с пульсирующей громкостью. Эта пульсация и есть биения. Их период тем больше, чем ближе частоты, а при точном совпадении $f_1 = f_2$ биения исчезают совсем - амплитуда становится постоянной.

Сумма двух волн: вывод формулы

Чтобы увидеть пульсацию явно, сложим колебания и применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:

$x = x_1 + x_2 = 2A\cos\big(\pi(f_1 - f_2)\,t\big)\cos\big(2\pi f_{ср}\,t\big),$

где введена средняя, или несущая, частота $f_{ср} = \dfrac{f_1 + f_2}{2}$. Эту запись удобно читать как произведение двух множителей с очень разными темпами:

• быстрый множитель $\cos(2\pi f_{ср} t)$ - само колебание на несущей частоте (близкой к обеим исходным);
• медленный множитель $2A\cos\big(\pi(f_1 - f_2)t\big)$ - огибающая, которая плавно меняет амплитуду быстрого колебания.

Именно медленная огибающая и создаёт ощущение «качающейся» громкости. На графике в калькуляторе выше она показана золотым: быстрая волна всегда вписана между верхней и нижней ветвями огибающей.

Частота и период биений

Здесь кроется главная тонкость, на которой спотыкаются студенты. Огибающая меняется по закону $\cos\big(\pi(f_1 - f_2)t\big)$, то есть с частотой $\dfrac{|f_1 - f_2|}{2}$. Но громкость (амплитуда) максимальна и когда огибающая положительна, и когда отрицательна - ухо реагирует на модуль амплитуды. Поэтому всплеск громкости случается дважды за период огибающей, и частота биений вдвое больше:

$f_б = |f_1 - f_2|.$

Период биений - величина, обратная их частоте:

$T_б = \frac{1}{|f_1 - f_2|}.$

Например, для струн 440 и 442 Гц частота биений равна 2 Гц, а период - полсекунды: громкость нарастает и спадает дважды в секунду. Чем ближе частоты, тем реже биения и тем длиннее их период.

Рассчитать для своей задачи

На картинке хорошо видно, что расстояние между двумя соседними «пучностями» огибающей - это и есть период биений $T_б = 1/\Delta f$, где $\Delta f = |f_1 - f_2|$. Между пучностями огибающая проходит через ноль - в эти моменты волны находятся в противофазе и гасят друг друга, амплитуда падает до нуля (узел биений).

Почему возникают биения: набег фазы

Откуда берётся медленная пульсация, если обе исходные волны колеблются быстро и равномерно? Дело в накоплении разности фаз. У волны с большей частотой фаза набегает чуть быстрее, поэтому со временем сдвиг между колебаниями плавно растёт. Когда волны синфазны, их гребни совпадают, амплитуды складываются - это пучность, громкий момент. Через время волны успевают разойтись на полпериода, оказываются в противофазе, гребень одной попадает на впадину другой - это узел, тихий момент. Затем фазы снова сходятся, и цикл повторяется.

Рассчитать для своей задачи

Полный цикл «синфаза → противофаза → синфаза» как раз и занимает один период биений. Поэтому скорость набега фазы - то есть разность частот - напрямую задаёт частоту биений. Если разложить сигнал на спектральные составляющие, биения это интерференция двух близких спектральных линий во времени; о разложении сложных сигналов по частотам - в статье про явление Гиббса и ряд Фурье.

Где применяют биения

Биения - не просто акустический курьёз, а рабочий инструмент:

• Настройка музыкальных инструментов. Настройщик сравнивает звук струны с эталоном (камертоном или соседней струной) и слушает биения. Чем медленнее биения, тем точнее совпадение; когда они исчезают, частоты сравнялись. Это очень чувствительный метод: разницу в доли герца человек различает на слух.
• Радиотехника (гетеродинирование). В супергетеродинном приёмнике принятый сигнал смешивают с колебанием местного генератора. На выходе появляются биения - сигнал разностной частоты, который удобнее усиливать и обрабатывать.
• Измерение малых расстройств. Биения позволяют измерить крошечную разность частот, измерив легко наблюдаемый период $T_б$, тогда как прямое сравнение быстрых колебаний потребовало бы куда более точной аппаратуры.

Частые ошибки

• Считать частоту биений равной $\Delta f/2$. Огибающая меняется с частотой $\Delta f/2$, но всплеск громкости приходится на каждый максимум модуля огибающей, то есть дважды за период. Частота биений равна именно $|f_1 - f_2|$.
• Путать несущую и частоту биений. Несущая $f_{ср} = (f_1+f_2)/2$ - это быстрое колебание внутри огибающей (сам слышимый тон). Частота биений $|f_1-f_2|$ - это медленная пульсация громкости. Это два совершенно разных темпа.
• Ждать биений при сильно разных частотах. Биения слышны и наглядны, только когда частоты близки. При большой разнице огибающая колеблется так же быстро, как несущая, и отдельной «пульсации громкости» уже не воспринимается.
• Брать частоту биений со знаком. Частота биений зависит от модуля разности: $|f_1 - f_2|$. Неважно, какая из частот больше, результат один и тот же.

FAQ

Чему равна частота биений двух камертонов 440 и 443 Гц? Частоте, равной модулю разности: $|440 - 443| = 3$ Гц. Громкость будет нарастать и спадать три раза в секунду, период биений составит $1/3 \approx 0{,}33$ с.

Почему при настройке инструмента добиваются исчезновения биений? Период биений $T_б = 1/|f_1 - f_2|$ растёт по мере сближения частот, а когда $f_1 = f_2$, биения пропадают совсем. Полное исчезновение биений означает точное совпадение частот, поэтому это удобный и чувствительный критерий настройки.

Чем биения отличаются от обычной интерференции? Это интерференция во времени, а не в пространстве. При сложении двух близких частот максимумы и минимумы суммарной амплитуды чередуются во времени (биения); при пространственной интерференции волн - в разных точках пространства.

Коротко

Биения возникают при сложении двух колебаний с близкими частотами: сумма раскладывается на быструю несущую $f_{ср} = (f_1+f_2)/2$ и медленную огибающую, из-за чего амплитуда периодически пульсирует. Частота биений равна модулю разности частот $f_б = |f_1 - f_2|$, а период - $T_б = 1/|f_1 - f_2|$. Причина пульсаций - плавный набег разности фаз: волны попеременно складываются (пучность) и гасятся (узел). При точном совпадении частот биения исчезают, что используют для тонкой настройки инструментов и в радиотехнике.