Тембр инструмента: обертоны, спектр и окраска звука

Одну и ту же ноту флейта, скрипка и труба берут на одной высоте и могут играть с одинаковой громкостью, но спутать их невозможно. Различает инструменты тембр - окраска звука, которая складывается из набора обертонов, из того, как звук начинается и гаснет, и из резонансов корпуса. В отличие от высоты и громкости тембр не сводится к одному числу: это многомерный признак, и в учебных задачах его просят описать через спектр и подкрепить расчётом. Ниже разберём, из чего физически складывается тембр инструмента, как считается спектральный центроид и какими словами описывать окраску в анализе произведения. Собрать звук из гармоник и посмотреть, что получится, можно прямо в калькуляторе ниже.

Что такое тембр инструмента

Тембр - это качество слухового ощущения, по которому слушатель отличает друг от друга два звука одинаковой высоты, громкости и длительности. Определение построено «от противного»: тембр - всё то, что осталось, когда три остальных параметра уравнены. Отсюда и практическое следствие: тембр нельзя отложить по одной шкале, как высоту в герцах, поэтому его описывают либо набором физических характеристик (спектр, огибающая, форманты), либо словарём субъективных признаков: яркий, тёплый, глухой, звонкий, носовой, матовый.

Важно, что каждому субъективному эпитету соответствует измеримая величина. «Яркий» - это высокий спектральный центроид, то есть много сильных высоких обертонов. «Полый», «гнусавый» - провал в чётных гармониках. «Резкий» - крутая атака в первые миллисекунды. Учебная работа выигрывает ровно тогда, когда каждое слово из первого списка подкреплено величиной из второго.

Обертоны: спектр как паспорт звука

Звук музыкального инструмента при установившемся звучании почти периодичен, а любое периодическое колебание раскладывается в ряд Фурье - сумму простых гармонических колебаний:

$x(t) = \sum_{n=1}^{N} A_n \sin(2\pi n f_1 t + \varphi_n), \qquad f_n = n f_1.$

Здесь $f_1$ - основной тон, он и определяет воспринимаемую высоту ноты, а составляющие с номерами $n \ge 2$ - обертоны (гармоники). Их частоты кратны основной, а вот амплитуды $A_n$ у каждого инструмента свои. Именно набор относительных амплитуд и есть паспорт тембра: у флейты уже третья гармоника еле слышна, у скрипки заметны десять, у трубы верхние обертоны почти не уступают основному тону.

Фазы $\varphi_n$ на окраску влияют слабо: слух раскладывает звук на частотные составляющие и почти не чувствует их сдвига по времени (это утверждение известно как закон Ома - Гельмгольца). Поэтому в задачах спектр обычно задают только амплитудами, а форму волны считают вторичной: две совершенно разные на вид волны с одинаковым набором $A_n$ звучат одинаково.

Рассчитать для своей задачи

Удобная учебная модель спада - степенной закон $A_n = 1/n^{p}$. Показатель $p$ и есть «регулятор окраски»: при $p \approx 2{,}5$ остаётся почти чистый тон (флейта), при $p \approx 1$ звук насыщенный (скрипка), при $p < 1$ - резкий и яркий (труба). Калькулятор выше строит спектр и форму волны именно по этой модели.

Спектральный центроид: чем измеряют яркость

Чтобы не описывать спектр словами, вводят одно число - спектральный центроид, «центр тяжести» спектра по частоте:

$C = \frac{\sum_n f_n A_n}{\sum_n A_n}.$

Возьмём основной тон $f_1 = 220$ Гц и амплитуды $1;\ 0{,}50;\ 0{,}33;\ 0{,}25$ (то есть $p = 1$). Тогда числитель равен $220 + 220 + 220 + 220 = 880$, знаменатель $2{,}08$, и центроид $C \approx 422$ Гц, примерно 1,9 основного тона. Если оставить только первую гармонику, центроид совпадёт с основным тоном; если добавить сильные верхние обертоны, он уползёт вверх - и звук субъективно станет ярче.

Центроид удобно приводить не в герцах, а в номерах гармоник ($C / f_1$): такая величина не зависит от высоты ноты и сравнивает именно окраску. Ещё одна полезная метрика - доля энергии основного тона $A_1^2 / \sum A_n^2$: у флейты она близка к 90 процентам, у трубы падает до 20–30.

Атака и огибающая: тембр во времени

Спектр описывает установившееся звучание, но узнаём мы инструмент в первую очередь по началу звука. Огибающая амплитуды делится на фазы: атака (нарастание), спад, поддержка и затухание. У трубы или клавесина атака занимает единицы миллисекунд, у струнных со смычком - десятые доли секунды, и это различие слышно раньше, чем успевает установиться спектр.

Рассчитать для своей задачи

Классический эксперимент музыкальной акустики: если у записи фортепианной ноты вырезать первые сто миллисекунд, инструмент перестаёт узнаваться и звучит как орган или духовая. Поэтому в описании тембра атаку обязательно называют отдельно от спектра - это независимое измерение окраски.

Форманты: что добавляет корпус инструмента

Струна или воздушный столб задают набор гармоник, но наружу звук выходит через корпус, а корпус - резонатор. Он усиливает одни полосы частот и гасит другие независимо от того, какая нота играется. Такие устойчивые области усиления называют формантами.

Ближайшая понятная аналогия - гласные звуки речи. Мы узнаём «а» и «и» независимо от того, на какой высоте человек говорит или поёт: положение формант задаёт не связки, а форма полостей рта. Корпус инструмента работает так же - он придаёт звуку узнаваемый «гласный» оттенок.

У скрипки это резонанс воздуха в корпусе около 270–300 Гц и резонансы дерева в области 400–600 Гц; они и делают звучание узнаваемым на любой ноте. Именно поэтому тембр инструмента нельзя описать одной таблицей амплитуд: у реального инструмента $A_n$ меняются от ноты к ноте, потому что обертоны попадают то в форманту, то мимо неё.

Рассчитать для своей задачи

Почему кларнет звучит полым

Кларнет в низком регистре ведёт себя как труба, закрытая с одного конца. В такой трубе укладываются только нечётные гармоники: $f_n = (2k-1) f_1$. Чётные обертоны подавлены, спектр становится «дырявым», и слух читает это как полый, чуть гнусавый тембр. У флейты труба открыта с обоих концов, поэтому ряд гармоник полный, а окраска мягкая и округлая. Переключите в калькуляторе состав спектра на нечётные гармоники - форма волны сразу приблизится к прямоугольной, характерной для кларнета.

Как описывать тембр в учебной работе

Рабочая схема ответа - четыре оси. Первая: яркость, то есть спектральный центроид и скорость спада обертонов. Вторая: густота - сколько гармоник заметно и есть ли провалы (чётные, нечётные). Третья: атака и огибающая. Четвёртая: форманты и роль корпуса. Каждый пункт формулируется словом и подтверждается числом или ссылкой на спектр.

Пример готовой формулировки: «В экспозиции тему ведёт гобой: спектр насыщенный, центроид держится около четвёртой гармоники, атака мягкая, выраженная носовая форманта в средней области придаёт звучанию характерную остроту». Здесь каждое слово опирается на измеримый признак, и такую фразу уже можно защищать на семинаре.

Отдельно стоит следить за терминами: динамические оттенки (форте, пиано) относятся к громкости, а не к окраске, и измеряются через уровень звукового давления в децибелах. Слова «яркий» и «громкий» в анализе смешивать нельзя.

Частые ошибки

• Путают тембр с высотой. Высоту задаёт основной тон $f_1$, тембр - относительные амплитуды $A_n$. Изменение ноты не меняет тембр инструмента.
• Считают обертоны негармоническими. У струнных и духовых частоты обертонов кратны основной; неточно кратные составляющие характерны для колоколов и мембран, а не для оркестровых инструментов.
• Забывают про атаку. Описание тембра только по спектру теряет самый узнаваемый признак - начало звука.
• Приписывают фазам решающую роль. Сдвиг фаз меняет форму волны, но почти не меняет окраску.
• Смешивают тембр и динамику. Форте и пиано - про громкость; яркость и плотность - про спектр.

FAQ

Чем обертон отличается от гармоники? Гармоники нумеруют от основного тона: первая гармоника - сам основной тон. Обертоны нумеруют от следующей составляющей: первый обертон равен второй гармонике. В расчётах удобнее гармоники, в музыковедческих текстах чаще встречаются обертоны.

Можно ли измерить тембр одним числом? Полностью - нет, но спектральный центроид $C$ описывает яркость и в задачах служит основной количественной характеристикой окраски. Дополняют его долей энергии основного тона и временем атаки.

Почему один и тот же инструмент звучит по-разному на разных нотах? Из-за формант: резонансы корпуса закреплены за частотами, а не за номерами гармоник, поэтому при смене ноты обертоны попадают в разные области усиления, и окраска слегка меняется.

Коротко

Тембр инструмента - это окраска звука при равных высоте, громкости и длительности. Физически он складывается из набора относительных амплитуд гармоник $A_n$ (спектр), временной огибающей с фазой атаки и формант корпуса. Яркость окраски измеряют спектральным центроидом $C = \sum f_n A_n / \sum A_n$: чем он выше относительно основного тона, тем звук резче. Крутой спад спектра даёт мягкий тон флейты, пологий - яркий тон трубы, а провал чётных гармоник - полую окраску кларнета.