Собственные частоты колебаний струны: формула гармоник

Натянутая струна, закреплённая с двух концов, может колебаться не на любой частоте, а только на строго определённом наборе - это и есть её собственные частоты. Самая низкая из них даёт основной тон, остальные кратны ему и называются гармониками или обертонами. Именно собственные частоты колебаний струны определяют высоту звука гитары, скрипки или рояля. Ниже разберём, откуда берётся дискретный набор частот, как вывести формулу гармоник через длину, натяжение и линейную плотность, что такое узлы и пучности и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть связь параметров и спектра, покрутите калькулятор: он показывает профиль выбранной моды на струне и весь набор гармоник столбиками, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Почему частоты дискретны: стоячие волны

Когда струну выводят из равновесия, по ней в обе стороны бегут поперечные волны. Отражаясь от закреплённых концов, они накладываются друг на друга, и в большинстве случаев гасят сами себя. Но при некоторых частотах прямая и отражённая волны складываются в устойчивую картину - стоячую волну, которая не бежит вдоль струны, а лишь колеблется на месте. Условие устойчивости простое: на концах струна закреплена, значит там смещение всегда равно нулю. Такие неподвижные точки называют узлами, а точки максимального размаха между ними - пучностями.

Рассчитать для своей задачи

Узлы на обоих концах помещаются только тогда, когда на длине струны $L$ укладывается целое число полуволн. Это и есть условие квантования: длина волны может принимать лишь дискретные значения

$\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$

Все остальные частоты затухают, поэтому струна и звучит чистым тоном, а не шумом. Дискретность здесь - прямое следствие граничных условий, а не свойство самого материала.

Формула собственных частот струны

Поперечная волна бежит по струне со скоростью, которая зависит только от натяжения $T$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины):

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.$

Частота связана со скоростью и длиной волны привычным соотношением $f = v / \lambda$. Подставляя дискретные длины волн $\lambda_n = 2L/n$, получаем главную формулу - набор собственных частот колебаний струны:

$f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$

При $n = 1$ это основной тон (первая гармоника):

$f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}},$

а все обертоны кратны ему: $f_n = n\,f_1$. Именно поэтому спектр струны такой «музыкальный» - частоты идут ровными целыми отношениями 1 : 2 : 3, и наше ухо воспринимает их как один звук определённой высоты, а не как набор разрозненных тонов.

Рассчитать для своей задачи

Из формулы сразу видно, как управлять высотой звука. Укоротить струну (прижать лад) - частота вырастет обратно пропорционально длине. Подтянуть колок и увеличить натяжение - частота поднимется как корень из $T$. Взять более толстую, тяжёлую струну (большая $\mu$) - звук станет ниже. Все три рычага и собраны в калькуляторе выше.

Узлы, пучности и профиль моды

Каждой гармонике соответствует своя форма колебаний - мода. Профиль $n$-й моды описывается синусом, обращающимся в ноль на концах:

$y_n(x) = A \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).$

У моды с номером $n$ ровно $n$ полуволн, а значит $n + 1$ узел (включая закреплённые концы) и $n$ пучностей. Узлы расположены равномерно в точках $x = kL/n$, где $k = 0, 1, \dots, n$. Для основного тона ($n = 1$) узлы только на концах, а единственная пучность - в середине. У второй гармоники появляется дополнительный узел ровно посередине струны, у третьей - два внутренних узла, и так далее. В калькуляторе выбор номера моды сразу перерисовывает этот профиль: видно, как с ростом $n$ узлы становятся чаще, а размах между ними - короче.

Связь с длиной волны и скоростью звука

Полезно держать в голове три эквивалентные записи одной и той же физики. Через длину волны: $\lambda_n = 2L/n$. Через скорость волны в струне: $v = \sqrt{T/\mu}$. Через частоту: $f_n = v/\lambda_n$. Эти три формулы - один и тот же закон, записанный относительно разных величин, и в задаче удобно выбирать ту запись, где известны нужные данные.

Важно не путать скорость волны в струне $v = \sqrt{T/\mu}$ со скоростью звука в воздухе (около 340 м/с). Струна задаёт частоту колебаний, а уже эту частоту воздух переносит к уху как звуковую волну со своей, воздушной скоростью. Частота при этом сохраняется - меняется только длина волны в воздухе.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: струна длиной $L = 0{,}65$ м закреплена с двух концов, натянута с силой $T = 80$ Н, её линейная плотность $\mu = 1{,}2$ г/м. Нужно найти скорость волны, основной тон и частоты первых трёх гармоник.

Сначала переведём линейную плотность в систему СИ: $\mu = 1{,}2$ г/м $= 1{,}2 \cdot 10^{-3}$ кг/м. Теперь скорость поперечной волны в струне:

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{80}{1{,}2 \cdot 10^{-3}}} \approx 258\ \text{м/с}.$

Основной тон находим по формуле первой гармоники:

$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{258}{2 \cdot 0{,}65} \approx 198{,}6\ \text{Гц}.$

Остальные гармоники кратны основному тону, поэтому их можно получить простым умножением:

$f_2 = 2 f_1 \approx 397\ \text{Гц}, \qquad f_3 = 3 f_1 \approx 596\ \text{Гц}.$

Проверка единиц: под корнем стоит Н/(кг/м) $=$ (кг·м/с²)/(кг/м) $=$ м²/с², корень даёт м/с - скорость, как и должно быть. Если ваш ответ для $v$ выходит в сотни тысяч, почти наверняка $\mu$ осталась в граммах на метр. Эту же цепочку - перевод единиц, скорость, основной тон, обертоны - калькулятор выше собирает автоматически, оставляя вам контроль над формулами.

Чем гармоники струны отличаются от труб и мембран

Закреплённая с двух концов струна даёт полный целочисленный ряд гармоник $f_n = n f_1$ - присутствуют и чётные, и нечётные обертоны. У открытой с двух концов или закрытой с одного конца трубы набор обертонов другой (у закрытой трубы выпадают чётные гармоники), а у двумерной мембраны барабана собственные частоты вообще не кратны основному тону - они выражаются через нули функций Бесселя и звучат не как музыкальный тон, а как удар. Поэтому именно одномерная струна с её ровным рядом $1 : 2 : 3$ - простейший и самый «певучий» колебательный объект, с которого начинают изучать собственные частоты. Тот же подход разложения на моды лежит в основе волнового уравнения и метода Даламбера.

Частые ошибки

• Линейная плотность в граммах на метр. Формула $v = \sqrt{T/\mu}$ требует СИ: $\mu$ в кг/м. Забыли поделить на 1000 - скорость и частоты завышены примерно в 32 раза.
• Деление на $L$ вместо $2L$. В знаменателе основного тона стоит именно удвоенная длина: $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{T/\mu}$, потому что на основной моде укладывается полволны, а не целая.
• Линейный счёт частоты от натяжения. Частота растёт как корень из натяжения, а не пропорционально ему: чтобы поднять тон вдвое, натяжение нужно увеличить в четыре раза.
• Путаница узлов и пучностей. Узлы - неподвижные точки (на концах их всегда минимум два), пучности - точки максимального размаха между узлами. У $n$-й моды $n + 1$ узел и $n$ пучностей.
• Скорость волны в струне приравнивают к скорости звука в воздухе. Это разные величины: $v = \sqrt{T/\mu}$ относится к струне, 340 м/с - к воздуху. В формулу гармоник подставляют первую.

FAQ

Как найти основной тон струны, если известны длина, натяжение и линейная плотность? Подставьте данные в формулу $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{T/\mu}$, переведя $L$ в метры, а $\mu$ в кг/м. Например, при $L = 0{,}65$ м, $T = 80$ Н и $\mu = 1{,}2 \cdot 10^{-3}$ кг/м основной тон получается около 199 Гц. Остальные гармоники - просто $n f_1$.

Сколько узлов и пучностей у n-й гармоники струны? У моды с номером $n$ ровно $n + 1$ узел (считая два закреплённых конца) и $n$ пучностей. То есть у основного тона два узла на концах и одна пучность в середине, у второй гармоники - три узла и две пучности, и так по нарастающей.

Почему частоты струны кратны основному тону? Потому что длины волн квантуются как $\lambda_n = 2L/n$, а частота $f_n = v/\lambda_n$ при постоянной скорости волны $v$ оказывается пропорциональна $n$. В итоге $f_n = n f_1$ - целочисленный ряд, который ухо слышит как один музыкальный звук с обертонами.

Коротко

Собственные частоты колебаний струны, закреплённой с двух концов, образуют дискретный ряд $f_n = \dfrac{n}{2L}\sqrt{T/\mu}$, где основной тон $f_1$ задаётся длиной, натяжением и линейной плотностью, а обертоны кратны ему: $f_n = n f_1$. Каждой гармонике отвечает стоячая волна с $n$ полуволнами, $n + 1$ узлом и $n$ пучностями, а длины волн квантуются условием $\lambda_n = 2L/n$. Высотой звука управляют три рычага: короче струна и больше натяжение - выше тон, тяжелее струна - ниже.