Схема Бернулли: формула, условия и приближения

Схема Бернулли - это модель серии из $n$ одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых возможны ровно два исхода: успех с вероятностью $p$ и неудача с вероятностью $q = 1 - p$. По этой схеме считают что угодно: сколько бракованных деталей попадётся в партии, сколько раз стрелок попадёт в мишень, сколько клиентов из обзвона согласятся на встречу. Главный результат схемы - формула Бернулли для вероятности ровно $k$ успехов, а главная практическая трудность - сообразить, выполняются ли условия схемы и не пора ли заменить точный расчёт предельной теоремой. Калькулятор ниже считает всё сразу: точную вероятность, оба классических приближения и процент, на который каждое из них промахивается при ваших $n$ и $p$.

Три условия схемы Бернулли

Схема независимых испытаний держится на трёх требованиях, и нарушение любого из них делает формулу Бернулли неприменимой.

Первое: число испытаний $n$ фиксировано заранее. Мы не бросаем монету «до первого герба» - такая постановка даёт геометрическое распределение, а не биномиальное.

Второе: в каждом испытании только два взаимоисключающих исхода. Всё, что не «успех», объединяется в «неудачу», поэтому $p + q = 1$. Если исходов три и больше, нужна полиномиальная схема.

Третье, самое уязвимое: испытания независимы, а вероятность успеха $p$ одна и та же во всех испытаниях. Независимость означает, что результат одного испытания не меняет вероятность успеха в следующем. Классический контрпример - выбор деталей из ящика без возвращения: после каждой вынутой детали доля брака в остатке меняется, и здесь работает не схема Бернулли, а гипергеометрическое распределение. На практике, если партия велика, а выборка мала (скажем, 10 деталей из 10 000), изменением $p$ пренебрегают и считают по Бернулли.

Формула Бернулли: откуда берутся сочетания

Возьмём конкретный сценарий: успех случился в первом и четвёртом испытаниях из шести, остальные закончились неудачей. Раз испытания независимы, вероятность такой цепочки - произведение вероятностей: $p \cdot q \cdot q \cdot p \cdot q \cdot q = p^2 q^4$. Важно, что от порядка эта величина не зависит: любая цепочка ровно с двумя успехами имеет ту же вероятность $p^2 q^4$.

Значит, остаётся сосчитать, сколько таких цепочек. Это ровно число способов выбрать два номера испытаний из шести, то есть число сочетаний $C_6^2 = 15$. Складывая вероятности 15 несовместных исходов, получаем общую формулу Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k\, p^k\, q^{n-k}, \qquad C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \qquad q = 1 - p.$

Вся конструкция читается по частям: $p^k q^{n-k}$ - вероятность одной подходящей цепочки, $C_n^k$ - сколько их. Тот же приём подсчёта благоприятных комбинаций разобран в статье про вероятность через сочетания.

Разбор задачи: 10 деталей и вероятность брака 0,1

Дано: $n = 10$ независимых проверок, вероятность брака в каждой $p = 0{,}1$, значит $q = 0{,}9$. Найти вероятность того, что бракованных деталей окажется ровно две.

Подставляем в формулу: $C_{10}^{2} = \dfrac{10 \cdot 9}{2} = 45$, дальше $p^2 = 0{,}01$ и $q^8 = 0{,}9^8 \approx 0{,}4305$. Перемножаем:

$P_{10}(2) = 45 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}4305 \approx 0{,}1937.$

Ответ: примерно 0,194, то есть почти 19 % партий из десяти деталей содержат ровно два брака. Эти же числа стоят в калькуляторе по умолчанию, так что расчёт можно сверить построчно.

Полезная самопроверка: посчитайте вероятности для всех $k$ от 0 до 10 и сложите их - должна получиться единица. Если сумма отличается, где-то потеряны сочетания или перепутаны степени. В нашем примере первые три значения равны 0,3487, 0,3874 и 0,1937, и уже они дают 0,93 - остальные восемь исходов забирают меньше семи процентов вероятности.

Биномиальное распределение: среднее np и разброс npq

Если посчитать $P_n(k)$ для всех $k$ от 0 до $n$, получится биномиальное распределение - набор вероятностей, сумма которых равна единице (это бином Ньютона для $(p + q)^n$). У него два ключевых числа: математическое ожидание $M(X) = np$ и дисперсия $D(X) = npq$, откуда стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{npq}$. Для нашей партии деталей $M(X) = 1$ и $\sigma \approx 0{,}95$: в среднем один брак на десяток, разброс порядка одной детали.

Самый высокий столбик распределения стоит рядом со средним, но не обязан совпадать с ним: как его найти точно, разобрано в статье про наивероятнейшее число успехов.

Рассчитать для своей задачи

Само распределение при малых $n$ заметно несимметрично: при $p < 0{,}5$ длинный хвост уходит вправо, при $p > 0{,}5$ - влево, и только с ростом числа испытаний перекос сглаживается. Обратите внимание на счётчик $npq$ в кадре: пока испытаний мало, он меньше единицы и нормальная кривая заметно расходится со столбиками; к $n = 60$ расхождение уже неразличимо глазом. Этот счётчик и есть критерий применимости приближения, к которому мы вернёмся ниже.

Хотя бы один успех: приём с противоположным событием

Формулировка «хотя бы один успех» встречается в задачах чаще всего, и считать её суммой $P_n(1) + P_n(2) + \dots + P_n(n)$ не нужно. Проще перейти к противоположному событию «ни одного успеха», вероятность которого равна $q^n$:

$P(X \ge 1) = 1 - q^n.$

Для партии из десяти деталей с $p = 0{,}1$ получаем $1 - 0{,}9^{10} \approx 0{,}6513$: хотя бы один брак встречается почти в двух партиях из трёх. Тем же приёмом считают «не менее двух» (вычитаем из единицы $P_n(0) + P_n(1)$) и «не более трёх» (складываем четыре первых слагаемых). В калькуляторе вероятность хотя бы одного успеха выводится отдельным показателем.

Теорема Пуассона: когда успехи редкие

При больших $n$ считать $C_n^k$ вручную тяжело, и на помощь приходят предельные теоремы. Первая из них работает, когда испытаний много, а успех редок: $n$ велико, $p$ мало, а произведение $\lambda = np$ остаётся умеренным (практическое правило - $n \ge 30$ и $np \le 10$). Тогда

$P_n(k) \approx \frac{\lambda^k}{k!}\,e^{-\lambda}, \qquad \lambda = np.$

Рассчитать для своей задачи

Проверим на числах: $n = 200$, $p = 0{,}02$, $\lambda = 4$, ищем ровно три бракованных изделия. Точная формула даёт 0,19635, формула Пуассона - 0,19537; расхождение 0,001, то есть полпроцента. На нижней панели видно, что максимальная разность по всем $k$ составляет всего 0,002 - при таких параметрах приближение практически бесплатное. Подробнее о самом предельном законе и его свойствах - в статье про распределение Пуассона.

Локальная теорема Муавра-Лапласа: критерий npq больше 9

Когда успех не редкий, а испытаний много, работает другое приближение - нормальное. Локальная теорема Муавра-Лапласа утверждает:

$P_n(k) \approx \frac{\varphi(x)}{\sqrt{npq}}, \qquad x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}, \qquad \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}.$

Рассчитать для своей задачи

Рабочий критерий применимости - $npq > 9$ (у некоторых авторов $npq \ge 10$). При $n = 100$ и $p = 0{,}4$ имеем $npq = 24$, условие выполнено с запасом: точное значение $P_{100}(40) = 0{,}08122$, приближение даёт 0,08143, ошибка 0,26 %. Масштаб задаёт $\sigma = \sqrt{npq} \approx 4{,}9$ - именно на такие отклонения от $np = 40$ приходится основная масса вероятности.

Если же нужна вероятность попадания $k$ в целый диапазон, локальную теорему заменяют интегральной, с функцией Лапласа $\Phi(x)$. А вот при $npq < 9$ нормальное приближение ощутимо врёт: в нашей задаче про десять деталей $npq = 0{,}9$, и оно даёт 0,241 вместо 0,194 - ошибка почти четверть.

Частые ошибки

• Применять схему к выборке без возвращения. Если партия небольшая и детали не возвращают, вероятность успеха меняется от испытания к испытанию, и нужно гипергеометрическое распределение, а не формула Бернулли.
• Путать $k$ и $n - k$ в показателях. В формуле $p$ возводится в степень числа успехов, а $q$ - в степень числа неудач. Перестановка показателей даёт правдоподобное, но неверное число.
• Забывать биномиальный коэффициент. Ответ $p^k q^{n-k}$ - это вероятность одной конкретной цепочки исходов, а не события «ровно $k$ успехов».
• Суммировать вероятности вместо перехода к противоположному событию. «Хотя бы один» почти всегда быстрее считать как $1 - q^n$.
• Брать приближение без проверки критерия. Пуассон требует малого $p$ при большом $n$, Муавр-Лаплас - условия $npq > 9$. При малых $n$ оба дают ошибку в десятки процентов, тогда как точная формула считается за один шаг.

FAQ

Чем схема Бернулли отличается от биномиального распределения? Схема Бернулли - это описание эксперимента (сколько испытаний, какие исходы, какая вероятность), а биномиальное распределение - закон распределения случайной величины «число успехов» в этом эксперименте. Формула Бернулли как раз и задаёт вероятности этого закона.

Как найти вероятность, что успехов будет не менее $m$? Складывать $P_n(k)$ от $k = m$ до $k = n$ либо вычесть из единицы сумму первых $m$ слагаемых - берут тот вариант, где слагаемых меньше. При больших $n$ такие суммы считают через интегральную теорему Муавра-Лапласа с функцией Лапласа.

Что делать, если вероятность успеха меняется от испытания к испытанию? Схема Бернулли не подходит: используют схему Пуассона для разнородных испытаний (там вероятности $p_1, p_2, \dots, p_n$ различны) или считают через производящую функцию. Формула $C_n^k p^k q^{n-k}$ здесь даст неверный ответ. Отдельный случай - выборка без возвращения из небольшой совокупности: там вероятность меняется из-за самой процедуры отбора, и ответ даёт гипергеометрическое распределение.

Какое приближение выбрать, если подходят оба? Такое бывает при больших $n$ и умеренном $p$: например, $n = 500$ и $p = 0{,}02$ дают $\lambda = 10$ и $npq = 9{,}8$. Тогда считают любым и сравнивают с точным значением, а на экзамене ориентируются на формулировку задачи: слова «редкое событие», «малая доля брака» намекают на Пуассона, а вопрос про интервал значений $k$ - на теоремы Муавра-Лапласа.

Коротко

Схема Бернулли - серия из $n$ независимых испытаний с двумя исходами и постоянной вероятностью успеха $p$; вероятность ровно $k$ успехов равна $C_n^k p^k q^{n-k}$, где биномиальный коэффициент считает подходящие цепочки исходов, а произведение степеней - вероятность одной из них. Число успехов распределено биномиально с $M(X) = np$ и $D(X) = npq$, вероятность хотя бы одного успеха удобнее считать как $1 - q^n$. При больших $n$ точный расчёт заменяют приближениями: формулой Пуассона для редких событий с $\lambda = np$ и локальной теоремой Муавра-Лапласа при $npq > 9$, но каждое из них требует проверки своего критерия.