Радиус сходимости: формулы Коши-Адамара и Даламбера

У степенного ряда $\sum a_n (x - x_0)^n$ есть удивительное свойство: точки, в которых он сходится, никогда не разбросаны по оси как попало. Они всегда заполняют промежуток, симметричный относительно центра $x_0$, и у этого промежутка есть половина ширины, своё число $R$. Это и есть радиус сходимости: внутри ряд сходится абсолютно, снаружи расходится, а на самой границе возможно всё. Калькулятор ниже собирает ряд из трёх параметров и сразу показывает, куда уезжает интервал и что происходит на его концах.

Что такое радиус сходимости

Возьмём степенной ряд с центром в точке $x_0$:

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \dots$

В точке $x = x_0$ он сходится всегда: там все слагаемые, кроме нулевого, обращаются в ноль. Вопрос в том, как далеко от центра можно отойти, чтобы сходимость сохранилась. Радиусом сходимости называют число

$R = \sup \{\, |x - x_0| : \text{ряд сходится в точке } x \,\},$

то есть точную верхнюю грань расстояний до центра по всем точкам сходимости. Значение $R$ может быть нулём, любым положительным числом или бесконечностью. Интервал $(x_0 - R,\ x_0 + R)$ называют интервалом сходимости, а множество всех точек, где ряд сходится (интервал плюс, возможно, один или два его конца), называют областью сходимости. Эти три понятия постоянно путают, хотя различие простое: радиус это число, интервал это открытый промежуток, область сходимости это интервал с уже проверенными концами.

Слово «радиус» пришло из комплексного анализа, и оно точнее, чем кажется. Если разрешить переменной быть комплексной, множество сходимости превращается в настоящий круг $|z - z_0| < R$ с центром в $z_0$, а вещественный интервал это всего лишь его диаметр, высеченный числовой прямой. Отсюда же берутся неожиданные на первый взгляд ответы: у ряда для функции $\dfrac{1}{1 + x^2}$ радиус равен единице, хотя на вещественной прямой у этой функции нет ни одной особой точки. Особенности $z = \pm i$ лежат в комплексной плоскости ровно на расстоянии 1 от нуля и обрезают круг сходимости.

Теорема Абеля: почему получается именно интервал

Симметрия области сходимости не случайна, она следует из теоремы Абеля. Формулировка такая: если степенной ряд сходится в некоторой точке $x_1 \ne x_0$, то он сходится абсолютно во всех точках $x$, для которых $|x - x_0| < |x_1 - x_0|$.

Доказательство укладывается в две строчки идеи. Из сходимости в точке $x_1$ следует, что слагаемые $a_n (x_1 - x_0)^n$ стремятся к нулю, значит, они ограничены: $|a_n (x_1 - x_0)^n| \le M$. Тогда для более близкой точки $x$

$|a_n (x - x_0)^n| = |a_n (x_1 - x_0)^n| \cdot q^n \le M q^n, \qquad q = \left| \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \right| < 1,$

и ряд мажорируется убывающей геометрической прогрессией. Обратное следствие столь же важно: если ряд расходится в точке $x_2$, то он расходится и во всех точках, лежащих дальше от центра. Получается, что сходимость наследуется внутрь, а расходимость наружу, и разделяет их ровно одна граница на расстоянии $R$ от центра.

Из той же оценки геометрической прогрессией следует более сильное утверждение, которым пользуются дальше по курсу: на любом отрезке $[x_0 - r,\ x_0 + r]$ со строго меньшим радиусом $r < R$ ряд сходится равномерно. Именно равномерность разрешает почленно интегрировать и дифференцировать степенной ряд, а также гарантирует, что сумма ряда внутри интервала непрерывна. На всём открытом интервале равномерной сходимости, вообще говоря, уже нет, поэтому оговорка про строго меньший радиус обязательна.

Рассчитать для своей задачи

Формула Коши-Адамара

Универсальный способ вычислить радиус по коэффициентам даёт формула Коши-Адамара:

$\frac{1}{R} = \varlimsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|},$

где $\varlimsup$ это верхний предел (предел наибольшей частичной последовательности). Соглашения на краях естественные: если верхний предел равен нулю, то $R = \infty$; если он бесконечен, то $R = 0$.

Главное достоинство формулы в том, что она работает всегда: верхний предел существует у любой ограниченной сверху последовательности, а если $\sqrt[n]{|a_n|}$ неограничена, то $R = 0$. Никаких условий на поведение коэффициентов не нужно, поэтому именно Коши-Адамар входит в доказательство основной теоремы о степенных рядах.

Проверим на сквозном примере этой статьи. Пусть

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x - 1)^n}{n \cdot 2^n}, \qquad a_n = \frac{1}{n \cdot 2^n}.$

Тогда $\sqrt[n]{|a_n|} = \dfrac{1}{2 \sqrt[n]{n}}$, а поскольку $\sqrt[n]{n} \to 1$, верхний предел равен $\tfrac12$ и обычный предел с ним совпадает. Значит, $R = 2$.

Случай, где без верхнего предела не обойтись, выглядит так: пусть $a_n = 2^n$ при чётных номерах и $a_n = 3^n$ при нечётных. Последовательность $\sqrt[n]{|a_n|}$ бесконечно долго прыгает между двумя значениями, обычного предела у неё нет, а верхний предел равен 3. Формула Коши-Адамара спокойно выдаёт $R = 1/3$, и это честный ответ: за более крупный из двух наборов коэффициентов и цепляется расходимость.

Формула Даламбера и когда она удобнее

Если коэффициенты не обращаются в ноль и отношение соседних имеет предел, радиус считают проще:

$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|.$

Для того же ряда:

$\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{(n+1) \cdot 2^{n+1}}{n \cdot 2^n} = 2 \cdot \frac{n+1}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{} 2.$

Ответ тот же, $R = 2$, и это не совпадение: когда предел Даламбера существует, он обязан совпадать с величиной, которую даёт Коши-Адамар. Разница только в области применимости. Формула Даламбера экономит силы на факториалах и степенях, где отношение красиво сокращается, но молчит, если предел не существует, и неприменима к рядам с нулевыми коэффициентами. Практическое правило простое: увидели факториал, биномиальный коэффициент или произведение вида $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots$, берите Даламбера, там всё сократится за одну строчку. Увидели корень степени $n$, показатель, зависящий от $n$, или коэффициенты, заданные по-разному для чётных и нечётных номеров, берите Коши-Адамара.

Рассчитать для своей задачи

На графике видно и вторую практическую деталь: сходимость последовательности из формулы Коши-Адамара медленная. На двадцатом шаге корень всё ещё даёт около $2{,}35$ вместо $2$, потому что $\sqrt[n]{n}$ убывает лениво. Численно подбирать радиус по нескольким первым членам бессмысленно, предел надо считать аналитически.

Пример целиком: интервал и проверка обоих концов

Радиус $R = 2$ и центр $x_0 = 1$ дают интервал сходимости $(-1,\ 3)$. Внутри него всё уже доказано теоремой Абеля, но концы остаются открытым вопросом: и признак Даламбера, и радикальный признак Коши в граничных точках дают ровно единицу и не работают. Поэтому в каждый конец подставляют значение и исследуют получившийся числовой ряд отдельно.

При $x = 3$ множитель $(x - 1)^n$ превращается в $2^n$ и сокращается со знаменателем:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.$

Это гармонический ряд, он расходится, поэтому точка $x = 3$ в ответ не входит. Подробный разбор порога для рядов вида $1/n^p$ есть в статье про обобщённый гармонический ряд.

При $x = -1$ получается $(-2)^n$, и после сокращения остаётся знакочередующийся ряд:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}.$

Модули убывают монотонно и стремятся к нулю, так что по признаку Лейбница ряд сходится, хотя и условно: ряд из модулей это всё тот же гармонический. Итог: область сходимости равна $[-1,\ 3)$, левый конец включён, правый нет. Такая несимметричность на концах абсолютно нормальна и как раз показывает, почему их нельзя проверять «по аналогии» друг с другом. Разобранный от начала до конца типовой вариант такой задачи есть в разделе задач: как найти область сходимости ряда.

Крайние случаи: радиус ноль и бесконечность

Два вырожденных значения радиуса встречаются в задачах постоянно, и оба легко считаются по Даламберу.

Если $a_n = n!$, то $\left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \dfrac{1}{n+1} \to 0$, то есть $R = 0$. Ряд $\sum n!\, x^n$ сходится только в своём центре, и никакой окрестности сходимости у него нет: факториал растёт быстрее любой геометрической прогрессии. Такие ряды не бесполезны, их изучают как формальные или асимптотические, но суммой функции они не задают: подставить в них сколько-нибудь отличное от центра число нельзя.

Если $a_n = \dfrac{1}{n!}$, то отношение равно $n + 1 \to \infty$ и $R = \infty$. Ряд $\sum \dfrac{x^n}{n!}$ сходится на всей числовой прямой, и это не экзотика, а разложение экспоненты. Разложения синуса и косинуса устроены так же.

Рассчитать для своей задачи

Промежуточный случай на средней строке рисунка это геометрический ряд $\sum x^n$ с $R = 1$: оба его конца выпадают, потому что в точках $\pm 1$ слагаемые не стремятся к нулю.

Частые ошибки

• Путают радиус и интервал. Радиус это одно число, полуширина. Ответ «радиус сходимости равен $(-1,\ 3)$» неверен, правильно $R = 2$.
• Не проверяют концы. Интервал сходимости найден, но область сходимости без исследования двух числовых рядов не получена. Это самая частая потеря баллов.
• Применяют Даламбера к рядам с пропусками. Для $\sum \dfrac{x^{2n}}{4^n}$ половина коэффициентов нулевая, отношение $a_n / a_{n+1}$ не определено. Нужна замена $y = x^2$ или формула Коши-Адамара с верхним пределом.
• Берут обычный предел вместо верхнего. Если $\sqrt[n]{|a_n|}$ колеблется между двумя значениями, предела нет, а верхний предел есть, и радиус определяется именно им, то есть большим из значений.
• Забывают сдвиг центра. При $x_0 \ne 0$ интервал это $(x_0 - R,\ x_0 + R)$, а не $(-R,\ R)$. Проверка простая: центр обязан лежать ровно посередине.

FAQ

Чем радиус сходимости отличается от области сходимости? Радиус это число $R$, интервал сходимости это открытый промежуток $(x_0 - R,\ x_0 + R)$, а область сходимости это множество всех точек, где ряд сходится, то есть интервал плюс те концы, которые прошли отдельную проверку. В ответе к задаче обычно требуют именно область.

Что делать, если предел в формуле Даламбера не существует? Переходить к формуле Коши-Адамара: верхний предел определён всегда. Типичный пример, где Даламбер бессилен, это ряд с коэффициентами, зависящими от чётности номера, или ряд с пропущенными степенями.

Меняется ли радиус при дифференцировании и интегрировании ряда? Нет, радиус у продифференцированного и проинтегрированного ряда тот же самый, меняться может только поведение на концах. Почему так происходит, разобрано в статье про почленное дифференцирование степенного ряда.

Коротко

Радиус сходимости $R$ это полуширина симметричного относительно центра промежутка, внутри которого степенной ряд сходится абсолютно, а снаружи расходится. Существование такой границы гарантирует теорема Абеля. Вычисляют $R$ по формуле Коши-Адамара $1/R = \varlimsup \sqrt[n]{|a_n|}$, которая работает всегда, или по более удобной формуле Даламбера $R = \lim |a_n / a_{n+1}|$, когда предел существует. Дальше остаётся дописать интервал $(x_0 - R,\ x_0 + R)$ и проверить оба конца подстановкой: для ряда $\sum (x-1)^n / (n \cdot 2^n)$ с $R = 2$ левый конец сходится условно, правый расходится, и область сходимости равна $[-1,\ 3)$.