Гипотеза де Бройля: длина волны любой частицы

В 1924 году Луи де Бройль защитил диссертацию, в которой предположил невероятное: волновыми свойствами обладает не только свет, но и любая частица вещества. Электрон, протон, атом, пылинка и даже футбольный мяч несут с собой волну, длина которой определяется одной короткой формулой. Через три года эту волну увидели в лаборатории. Ниже калькулятор считает длину волны де Бройля для разных объектов: выберите частицу, подвигайте ползунок скорости и посмотрите, где волна сравнима с размером атома, а где исчезающе мала.

В чём состоит гипотеза де Бройля

К началу 1920-х физики уже свыклись с двойственностью света. Интерференция и дифракция требовали считать свет волной, а фотоэффект и эффект Комптона - потоком частиц-фотонов с энергией $E = h\nu$ и импульсом $p = h/\lambda$. Корпускулярная сторона разобрана подробно в статье про законы фотоэффекта. Свет вёл себя то так, то этак, и это называли корпускулярно-волновым дуализмом (подробнее о корпускулярной стороне - в разборе внешнего и внутреннего фотоэффекта).

Де Бройль рассудил, что природа не станет пользоваться двумя разными наборами правил. Если волна умеет быть частицей, то и частица обязана быть волной. Гипотеза де Бройля утверждает: каждому объекту с импульсом $p$ и энергией $E$ отвечает волновой процесс с длиной волны и частотой

$\lambda = \frac{h}{p}, \qquad \nu = \frac{E}{h},$

где $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с - постоянная Планка. Никакого нового вещества в этой волне нет: современная трактовка говорит, что это волна амплитуды вероятности, квадрат модуля которой даёт плотность вероятности найти частицу в данной точке.

Звучало это настолько смело, что комиссия не решилась оценивать работу сама: Поль Ланжевен отправил текст диссертации Эйнштейну. Тот ответил, что де Бройль «приподнял краешек большой завесы», и именно поддержка Эйнштейна сделала гипотезу предметом обсуждения, а не курьёзом. Степень де Бройлю присудили, а через пять лет он получил за эту идею Нобелевскую премию.

Формула длины волны де Бройля

Проще всего понять, откуда берётся $\lambda = h/p$, если пройти путь де Бройля в обратную сторону. Для фотона энергия и импульс связаны соотношением $E = pc$, а энергия выражается через длину волны: $E = h\nu = hc/\lambda$. Отсюда $p = h/\lambda$, то есть $\lambda = h/p$. Де Бройль просто отказался считать эту формулу привилегией света и распространил её на частицы с массой.

Для нерелятивистской частицы массой $m$, летящей со скоростью $v \ll c$, импульс равен $p = mv$, и формула принимает рабочий вид:

$\lambda = \frac{h}{mv}.$

Если в задаче дана не скорость, а кинетическая энергия $T$, удобно перейти к импульсу через $p = \sqrt{2mT}$:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mT}}.$

Отсюда же получается школьная формула для электрона, разогнанного разностью потенциалов $U$: $T = eU$, поэтому $\lambda = h/\sqrt{2m_e e U}$, что численно даёт $\lambda \approx 1{,}226$ нм$/\sqrt{U}$ при $U$ в вольтах. Этот частный случай со всеми оговорками и релятивистской поправкой разобран отдельно - см. длину волны де Бройля ускоренного электрона.

Целое число волн на орбите: откуда взялся постулат Бора

Настоящая красота гипотезы в том, что она объяснила правило, которое Нильс Бор в 1913 году был вынужден ввести без всякого обоснования. Бор постулировал, что момент импульса электрона в атоме квантуется, и только на таких орбитах электрон не излучает.

Де Бройль показал, что это условие устойчивости волны. Электрон на круговой орбите радиуса $r$ - это волна, замкнутая в кольцо. Обойдя орбиту, она обязана прийти в исходную точку в той же фазе, иначе при каждом следующем обороте волна будет гасить саму себя. Отсюда требование: на длине орбиты укладывается целое число длин волн,

$2\pi r = n\lambda = \frac{nh}{m v}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots$

Перегруппируем множители и получим в точности боровское правило квантования $m v r = n\hbar$, где $\hbar = h/(2\pi)$. Целое число $n$ из этого условия - это главное квантовое число, а картинка со стоячей волной впервые объяснила, почему электрон на разрешённой орбите не излучает и не падает на ядро: устойчивая волна просто не меняется от оборота к обороту. Подробности того, что следует из этого условия для радиусов и энергий, - в разборе первого постулата Бора.

Рассчитать для своей задачи

Почему у мяча волновых свойств не видно

Формула $\lambda = h/p$ не делает исключений: волна есть и у электрона, и у мяча. Вопрос только в числах. Электрон, разогнанный напряжением 100 В, имеет импульс $p \approx 5{,}4 \cdot 10^{-24}$ кг·м/с и длину волны $\lambda \approx 0{,}12$ нм - это масштаб атома и расстояний между атомами в кристалле. Мяч массой 0,1 кг, летящий со скоростью 10 м/с, несёт импульс $p = 1$ кг·м/с, и его длина волны равна $\lambda \approx 6{,}6 \cdot 10^{-34}$ м.

Рассчитать для своей задачи

Разрыв между этими случаями - 23 порядка. Волна мяча более чем в $10^{18}$ раз мельче атомного ядра, и никакой щели или решётки с таким шагом не существует. А волновые эффекты становятся заметны только тогда, когда длина волны сравнима с характерным размером препятствия: шириной щели, периодом решётки, размером отверстия. Именно поэтому дуализм не виден в обычной жизни, хотя формально он есть у каждого тела. Тот же критерий работает и в оптике: дифракция света заметна на щели, сравнимой с длиной волны, и незаметна на дверном проёме (подробный вывод - в статье про условие минимумов при дифракции на щели).

Опыт Дэвиссона и Джермера: волну увидели

Гипотеза оставалась смелой догадкой до 1927 года, когда Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер направили пучок медленных электронов на монокристалл никеля. Помог случай: из-за аварии вакуумной установки образец пришлось долго отжигать, мелкие зёрна никеля срослись в крупные кристаллы, и картина рассеяния резко изменилась. Если электроны - только шарики, рассеяние должно быть плавным по всем углам. Вместо этого детектор показал резкий максимум при угле $\varphi \approx 50^\circ$ для электронов, разогнанных напряжением 54 В.

Рассчитать для своей задачи

Дальше работает обычная формула дифракционной решётки: максимум первого порядка возникает при $d \sin\varphi = \lambda$. Расстояние между атомами на поверхности никеля $d = 0{,}215$ нм, поэтому из опыта следует $\lambda = 0{,}215 \cdot \sin 50^\circ \approx 0{,}165$ нм. Гипотеза де Бройля для 54 В предсказывает $\lambda = 1{,}226/\sqrt{54} \approx 0{,}167$ нм. Совпадение с точностью около процента и стало прямым доказательством волновых свойств электрона. В том же году Джордж Томсон получил дифракционные кольца, пропуская электроны через тонкую поликристаллическую фольгу; в 1937 году оба эксперимента отметили Нобелевской премией. Разбор самого условия максимумов - в статье про формулу главных максимумов дифракционной решётки.

Где гипотеза де Бройля работает сегодня

Волны вещества давно перестали быть диковинкой и стали рабочим инструментом.

• Электронная микроскопия. При ускоряющем напряжении 100 кВ длина волны электрона около 4 пм (с релятивистской поправкой 3,7 пм) - в сотню тысяч раз меньше длины волны видимого света, поэтому электронный микроскоп различает отдельные атомные плоскости.
• Нейтронография. У теплового нейтрона при комнатной температуре $\lambda \approx 0{,}15$ нм, как раз под межатомные расстояния. Нейтроны рассеиваются на ядрах, поэтому видят лёгкие атомы, которые почти невидимы для рентгена.
• Интерференция молекул. В 1999 году группа Антона Цайлингера получила интерференционную картину для молекул фуллерена $C_{60}$ с длиной волны около 2,8 пм. Сегодня опыт повторён для молекул из сотен атомов.
• Квантовая механика в целом. Волна де Бройля - это плоская волна, простейшее решение уравнения Шрёдингера для свободной частицы. Из неё же следует соотношение неопределённостей: локализовать частицу в области $\Delta x$ можно только набором волн с разбросом импульсов $\Delta p \gtrsim \hbar/\Delta x$.

Частые ошибки

• Подставляют релятивистскую скорость в $\lambda = h/(mv)$. При $v$, сравнимой со скоростью света, импульс равен $p = \gamma m v$, и формулу нужно брать через релятивистскую связь энергии и импульса. Для электрона заметная поправка начинается уже с десятков киловольт.
• Путают кинетическую и полную энергию. В формуле $\lambda = h/\sqrt{2mT}$ стоит именно кинетическая энергия. Подстановка полной энергии (с энергией покоя) даёт ответ, промахивающийся на порядки.
• Смешивают длину волны де Бройля с комптоновской. Комптоновская длина $\lambda_C = h/(mc)$ - константа частицы, она не зависит от скорости, тогда как $\lambda = h/p$ меняется с каждым изменением импульса.
• Считают волну де Бройля колебанием самой частицы или среды. Это не механическая волна: колеблется амплитуда вероятности, а не вещество.
• Теряют единицы. Массу берут в граммах, энергию в электронвольтах, а постоянную Планка в системе СИ. Перед подстановкой всё переводится в килограммы, джоули и метры.

FAQ

Чему равна длина волны де Бройля для электрона? Она зависит от импульса. Для электрона, разогнанного напряжением $U$ вольт, удобна формула $\lambda \approx 1{,}226$ нм$/\sqrt{U}$: при 100 В получается 0,12 нм, при 54 В - 0,167 нм, при 10 кВ - около 12 пм. Для теплового электрона при комнатной температуре длина волны порядка 6 нм.

Почему волновые свойства не проявляются у макроскопических тел? Потому что их импульс огромен по атомным меркам, а длина волны обратно пропорциональна импульсу. У мяча она составляет $10^{-34}$ м - на 23 порядка меньше размера атома. Дифракция и интерференция требуют препятствия, сравнимого с длиной волны, а такого препятствия в природе нет.

Как гипотеза де Бройля связана с постулатами Бора? Она превращает постулат в следствие. Требование «на орбите укладывается целое число длин волн» $2\pi r = n\lambda$ после подстановки $\lambda = h/(mv)$ даёт правило квантования момента импульса $mvr = n\hbar$, которое Бор в своих постулатах вводил как отдельное допущение.

Коротко

Гипотеза де Бройля переносит корпускулярно-волновой дуализм со света на вещество: любой частице с импульсом $p$ отвечает волна длиной $\lambda = h/p$, а для нерелятивистского движения $\lambda = h/(mv) = h/\sqrt{2mT}$. У электрона при 100 В эта длина равна 0,12 нм, то есть порядка размера атома, и потому наблюдается в дифракции на кристалле; у мяча она на 23 порядка меньше и принципиально недоступна измерению. Гипотеза объяснила квантование орбит Бора как условие замкнутости стоячей волны, была подтверждена опытом Дэвиссона и Джермера и стала отправной точкой волновой механики.