Фотоэффект: три закона и уравнение Эйнштейна

Фотоэффект - это вырывание электронов из вещества под действием света. Опыты Александра Столетова 1888-1890 годов дали три эмпирических закона, которые никак не складывались с волновыми представлениями о свете, а в 1905 году Эйнштейн объяснил все три одной строкой. Ниже разобрано, что утверждает каждый закон фотоэффекта, откуда берутся работа выхода и красная граница, как по вольт-амперной характеристике измерить энергию вылетевших электронов и почему волновая теория здесь проваливается. Проще всего начать с калькулятора: подставьте свой металл и свою длину волны и посмотрите, что получается.

Три закона фотоэффекта: формулировки Столетова

Законы фотоэффекта сформулированы как обобщение опыта, без всякой теории, и именно в таком виде их спрашивают на экзамене.

Первый закон (закон Столетова). При неизменной частоте падающего света сила фототока насыщения прямо пропорциональна интенсивности света (световому потоку, падающему на катод). Вдвое ярче лампа - вдвое больше ток насыщения. Ток насыщения здесь не любой ток в цепи, а предельный: такой, при котором до анода долетают уже все вырванные электроны и дальнейший рост напряжения ничего не добавляет. Именно он и служит честной мерой числа выбитых электронов.

Второй закон. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно растёт с частотой света и совершенно не зависит от его интенсивности. Яркий красный свет не делает электроны быстрее, слабый ультрафиолет делает.

Третий закон. Для каждого вещества существует минимальная частота $\nu_0$ (и соответствующая ей максимальная длина волны $\lambda_0$), ниже которой фотоэффект не идёт ни при какой интенсивности и ни при какой длительности освещения. Это и есть красная граница фотоэффекта.

К трём законам обычно добавляют четвёртое наблюдение: фотоэффект безынерционен. Ток появляется одновременно с освещением, задержка не превышает $10^{-9}$ с.

Уравнение Эйнштейна: hν = A + mv²/2

Эйнштейн предположил, что свет поглощается порциями - фотонами с энергией $E = h\nu$. Один электрон поглощает ровно один фотон и тратит полученную энергию на две вещи: на выход из металла и на движение. Отсюда уравнение фотоэффекта:

$h\nu = A + \frac{m v^2_{\max}}{2}$

Здесь $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с - постоянная Планка, $\nu$ - частота света, $A$ - работа выхода, $m v^2_{\max}/2$ - максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. Слово «максимальная» существенно: так вылетает только электрон, забравший фотон у самой поверхности и не потерявший энергию на столкновения по дороге. Остальные выходят медленнее, поэтому в опыте наблюдается целый спектр скоростей с чёткой верхней границей.

Удобная форма записи для расчётов - через длину волны и электронвольты:

$E_{\text{к}} = \frac{hc}{\lambda} - A, \qquad hc \approx 1240 \ \text{эВ} \cdot \text{нм}$

Эта одна формула закрывает все три закона сразу. Интенсивность задаёт число фотонов в секунду, то есть число вылетевших электронов и ток (первый закон), но не энергию каждого. Энергия каждого задаётся частотой, причём линейно, с наклоном $h$ (второй закон). А если $h\nu < A$, разность отрицательна - электрон просто не может выйти, сколько фотонов на него ни лей (третий закон).

Рассчитать для своей задачи

Работа выхода и красная граница фотоэффекта

Работа выхода $A$ - минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы он покинул поверхность металла. Это характеристика вещества и состояния его поверхности, а не света. У цезия $A \approx 1{,}9$ эВ, у натрия $2{,}3$ эВ, у цинка $4{,}0$ эВ, у меди $4{,}7$ эВ, у платины $5{,}3$ эВ.

Красная граница получается из условия $h\nu_0 = A$, то есть когда фотона хватает ровно на выход и ничего не остаётся на движение:

$\nu_0 = \frac{A}{h}, \qquad \lambda_0 = \frac{hc}{A}$

Для цинка $\lambda_0 = 1240 / 4{,}0 \approx 310$ нм, то есть $\nu_0 \approx 9{,}67 \cdot 10^{14}$ Гц. Видимый свет с длиной волны 400-700 нм цинк не «пробивает» вообще, нужен ультрафиолет. У цезия граница сдвинута к 650 нм, поэтому цезиевые фотокатоды работают и в видимом диапазоне. Обратите внимание на направление неравенств: фотоэффект идёт при $\nu \ge \nu_0$, но при $\lambda \le \lambda_0$ - длина волны и частота связаны обратно, и именно здесь чаще всего путаются.

Если поглощённый фотон не вырывает электрон наружу, а лишь перебрасывает его в зону проводимости внутри вещества, речь идёт уже о другом явлении: разбор различий - в статье про внешний и внутренний фотоэффект. Полезно держать под рукой и базовые соотношения для самого кванта света: энергия, импульс и масса фотона. Обратный ход этой же мысли - перенести волновые свойства с света на вещество - сделал де Бройль: см. гипотезу де Бройля.

Вольт-амперная характеристика и задерживающее напряжение

Опыт ставят так: фотоэлемент с катодом и анодом, между ними подаётся напряжение $U$, измеряется фототок $I$. При большом положительном $U$ все вырванные электроны долетают до анода, и ток выходит на насыщение - его величина и есть та, о которой говорит первый закон. Если поменять полярность, поле начнёт тормозить электроны, и при некотором отрицательном напряжении $-U_{\text{з}}$ даже самые быстрые не долетят. Это задерживающее (запирающее) напряжение, и оно прямо измеряет максимальную кинетическую энергию:

$e U_{\text{з}} = \frac{m v^2_{\max}}{2} = h\nu - A$

Рассчитать для своей задачи

Сам плавный подъём кривой между запирающим напряжением и насыщением объясняется разбросом электронов по скоростям и по направлениям вылета: при небольшом ускоряющем поле до анода добираются не все, а по мере роста напряжения поле подбирает и тех, кто вылетел под неудобным углом или с малой скоростью. Ровно поэтому участок насыщения на графике горизонтальный, а участок запирания упирается в одну точку для любой яркости.

Отсюда классический лабораторный приём: измерив $U_{\text{з}}$ для двух разных длин волн, из двух уравнений находят и постоянную Планка, и работу выхода катода. Наклон прямой $U_{\text{з}}(\nu)$ равен $h/e$, а точка пересечения с осью частот даёт $\nu_0$. Именно этот эксперимент Милликен проделал в 1914-1916 годах, пытаясь опровергнуть гипотезу Эйнштейна, и вместо опровержения получил значение $h$ с точностью около одного процента.

Почему волновая теория не объясняет фотоэффект

В волновой картине энергия распределена по фронту волны непрерывно, и электрон должен накапливать её постепенно. Оцените порядок: пусть на металл падает свет интенсивностью 1 Вт/м², а «приёмная площадка» атома имеет радиус порядка $10^{-10}$ м, то есть площадь около $3 \cdot 10^{-20}$ м². Мощность, приходящаяся на такой атом, равна $3 \cdot 10^{-20}$ Вт, а набрать надо $A = 4$ эВ $= 6{,}4 \cdot 10^{-19}$ Дж.

Рассчитать для своей задачи

Получается около 20 секунд ожидания перед появлением первого электрона - а в опыте ток идёт немедленно. Столь же безнадёжны для волновой теории и два других пункта: она предсказывает рост энергии электронов с интенсивностью (чего нет) и никак не объясняет само существование порога по частоте (слабый ультрафиолет работает, мощный красный свет не работает никогда). Квантовая гипотеза снимает все три возражения разом, потому что акт поглощения локален: один фотон - один электрон, и решает не общий поток энергии, а порция.

Разбор задачи: цинк под ультрафиолетом 250 нм

На цинковую пластину ($A = 4{,}0$ эВ) падает ультрафиолет с $\lambda = 250$ нм. Найти максимальную кинетическую энергию и скорость фотоэлектронов, а также задерживающее напряжение.

Энергия фотона: $E = hc/\lambda = 1240 / 250 = 4{,}96$ эВ. Она больше работы выхода, значит фотоэффект идёт. Кинетическая энергия: $E_{\text{к}} = 4{,}96 - 4{,}0 = 0{,}96$ эВ. Задерживающее напряжение численно равно энергии в электронвольтах: $U_{\text{з}} = 0{,}96$ В. Скорость находим из $E_{\text{к}} = m v^2 / 2$, переведя энергию в джоули: $v = \sqrt{2 \cdot 0{,}96 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} / 9{,}1 \cdot 10^{-31}} \approx 5{,}8 \cdot 10^5$ м/с. Это меньше процента от скорости света, так что классическая формула кинетической энергии здесь законна.

Полезная проверка ответа: сравните длину волны с красной границей ещё до вычислений. Для цинка $\lambda_0 \approx 310$ нм, а у нас 250 нм, то есть свет заведомо короче границы и фотоэффект обязан идти. Если бы в условии стояло, скажем, 400 нм, вычислять было бы нечего: энергия фотона $3{,}1$ эВ меньше работы выхода, и правильный ответ звучит как «фотоэффекта нет», а не как отрицательная кинетическая энергия.

Частые ошибки

• Путают $\lambda_0$ и $\nu_0$ в неравенстве. Фотоэффект идёт при $\nu \ge \nu_0$ и при $\lambda \le \lambda_0$. Запись «фотоэффект при $\lambda \ge \lambda_0$» встречается в работах постоянно и сразу обнуляет решение.
• Считают, что интенсивность влияет на скорость электронов. Она влияет только на их число, то есть на ток насыщения. Задерживающее напряжение при удвоении яркости не меняется ни на вольт.
• Забывают перевести электронвольты в джоули перед подстановкой в $m v^2 / 2$. Один эВ равен $1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Дж, и без этого множителя скорость выходит абсурдной.
• Берут работу выхода в джоулях, а энергию фотона в электронвольтах. Единицы в уравнении Эйнштейна должны быть одинаковыми у всех трёх членов.
• Используют среднюю кинетическую энергию вместо максимальной. В уравнение входит именно максимум: электроны из глубины металла теряют часть энергии и вылетают медленнее.

FAQ

Зависит ли фотоэффект от интенсивности света? Зависит, но только количеством электронов. Интенсивность определяет число падающих фотонов в секунду, а значит ток насыщения (первый закон). Энергия и скорость каждого отдельного электрона задаются частотой и работой выхода, к интенсивности они равнодушны.

Почему фотоэффект называют безынерционным? Потому что между началом освещения и появлением тока проходит меньше $10^{-9}$ с. Электрону не нужно ничего накапливать: он либо поглощает фотон достаточной энергии и выходит сразу, либо не выходит вовсе. Волновая модель на том же месте требует секунд.

Что показывает наклон графика $E_{\text{к}}(\nu)$? Ровно постоянную Планка. Прямая описывается уравнением $E_{\text{к}} = h\nu - A$: её наклон равен $h$ и одинаков для всех металлов, а точка пересечения с осью частот равна $\nu_0$ и у каждого вещества своя. Параллельность этих прямых для разных катодов и есть главное экспериментальное подтверждение квантовой гипотезы.

Коротко

Три закона фотоэффекта: ток насыщения пропорционален интенсивности, максимальная энергия электронов линейна по частоте и не зависит от интенсивности, а ниже красной границы $\nu_0 = A/h$ эффекта нет вовсе. Все три следуют из уравнения Эйнштейна $h\nu = A + m v^2_{\max}/2$: фотон отдаёт энергию целиком одному электрону, часть уходит на работу выхода, остаток становится кинетической энергией и измеряется задерживающим напряжением $U_{\text{з}} = (h\nu - A)/e$. Для цинка с $A = 4{,}0$ эВ и света 250 нм это даёт 0,96 эВ, 0,96 В и скорость $5{,}8 \cdot 10^5$ м/с.