Эффект Шоттки: снижение барьера и ток эмиссии

В 1914 году немецкий физик Вальтер Шоттки, анализируя ток термоэлектронной эмиссии из раскалённого катода, обнаружил странность: при включении внешнего ускоряющего поля ток рос быстрее, чем предсказывала классическая формула эмиссии. Объяснение оказалось элегантным - внешнее электрическое поле понижает потенциальный барьер на границе металл-вакуум, и электронам становится легче его преодолеть. Это явление назвали эффектом Шоттки, а позже то же имя закрепилось за родственным барьером на контакте металла с полупроводником. Сегодня эффект Шоттки лежит в основе расчёта вакуумных приборов, автоэлектронной эмиссии и работы быстрых диодов Шоттки в силовой и высокочастотной электронике.

В чём суть эффекта Шоттки

Чтобы вырвать электрон из металла в вакуум, нужно совершить работу выхода $\Phi$ - преодолеть потенциальный барьер на поверхности. Когда электрон уже вылетел и находится на расстоянии $x$ от поверхности, он индуцирует в металле заряд изображения $+e$, который притягивает его обратно с силой, равной силе притяжения к фиктивному заряду на расстоянии $x$ по другую сторону поверхности. Эта сила изображения и формирует барьер.

Если приложить внешнее ускоряющее поле $E$, оно тянет электрон прочь от поверхности. Суммарная потенциальная энергия электрона складывается из энергии силы изображения и энергии во внешнем поле:

$$U(x) = -\frac{e^2}{16 \pi \varepsilon_0 x} - eEx$$

Эта функция имеет максимум на некотором расстоянии $x_m$ от поверхности - именно высота этого максимума и есть эффективный барьер. Внешнее поле «срезает» вершину барьера, понижая её. В этом и состоит эффект Шоттки: реальная работа выхода в присутствии поля меньше «нулевой» $\Phi_0$.

Формула снижения барьера

Найдём максимум $U(x)$, приравняв производную нулю. Получаем положение вершины $x_m = \sqrt{e / (16 \pi \varepsilon_0 E)}$ и величину понижения барьера:

$$\Delta \Phi = e \sqrt{\frac{eE}{4 \pi \varepsilon_0}}$$

Эффективная работа выхода тогда $\Phi_{eff} = \Phi_0 - \Delta\Phi$. Видно, что снижение растёт как корень из напряжённости поля $\sqrt{E}$ - это характерный «шоттковский» признак. Численно при поле $E = 10^7$ В/м понижение составляет около $0{,}12$ эВ - заметная доля от работы выхода в несколько эВ. Чтобы быстро прикинуть, насколько ваше поле понизит барьер и как изменится ток эмиссии, удобно собрать запрос в форме ниже - она же подставит нужные константы и покажет промежуточные шаги.

Ток термоэлектронной эмиссии и закон Ричардсона

Плотность тока термоэлектронной эмиссии без поля описывается законом Ричардсона-Дешмана:

$$j = A T^2 \exp\!\left(-\frac{\Phi_0}{k_B T}\right)$$

где $A \approx 1{,}2 \cdot 10^6$ А/(м²·К²) - постоянная Ричардсона, $T$ - температура катода, $k_B$ - постоянная Больцмана. Эффект Шоттки модифицирует эту формулу, заменяя $\Phi_0$ на пониженный барьер $\Phi_0 - \Delta\Phi$:

$$j(E) = A T^2 \exp\!\left(-\frac{\Phi_0 - \Delta\Phi}{k_B T}\right) = j_0 \exp\!\left(\frac{\Delta\Phi}{k_B T}\right)$$

Подставляя $\Delta\Phi \propto \sqrt{E}$, получаем, что логарифм тока линейно растёт с $\sqrt{E}$:

$$\ln j = \ln j_0 + \frac{e}{k_B T}\sqrt{\frac{eE}{4\pi\varepsilon_0}}$$

График $\ln j$ от $\sqrt{E}$ - прямая линия, и её называют прямой Шоттки. По наклону этой прямой экспериментально определяют постоянную Ричардсона и проверяют, что механизм эмиссии действительно термоэлектронный, а не автоэлектронный (туннельный).

Барьер Шоттки на контакте металл-полупроводник

То же имя носит и совсем другая, но родственная конструкция - барьер Шоттки на границе металла и полупроводника. При контакте уровни Ферми металла и полупроводника выравниваются, зоны полупроводника изгибаются, и на границе возникает потенциальный барьер. В идеальной модели Шоттки-Мотта его высота для полупроводника $n$-типа равна разности работы выхода металла $\Phi_M$ и электронного сродства полупроводника $\chi_S$:

$$\Phi_B = \Phi_M - \chi_S$$

Барьер выпрямляет ток: при прямом смещении он понижается и ток течёт легко, при обратном - растёт и ток почти не идёт. Это и есть выпрямляющий контакт. Если же $\Phi_M < \chi_S$ (для $n$-типа), барьера нет и контакт получается омическим - линейным, невыпрямляющим. На практике из-за поверхностных состояний и закрепления уровня Ферми (Fermi level pinning) реальная высота $\Phi_B$ слабо зависит от металла и определяется свойствами поверхности полупроводника - это отклонение от идеального правила Шоттки-Мотта. Здесь полезно сравнить с тем, как работает p-n переход в полупроводнике: там барьер создают примеси, а не контакт с металлом.

Диод Шоттки и его особенности

Прибор на основе выпрямляющего контакта металл-полупроводник называется диодом Шоттки. Его вольт-амперная характеристика описывается тем же диодным уравнением, что и $p$-$n$ диод:

$$I = I_s \left[\exp\!\left(\frac{eV}{n k_B T}\right) - 1\right]$$

но обратный ток насыщения $I_s$ задаётся термоэлектронной эмиссией через барьер $\Phi_B$ и оказывается на несколько порядков больше, чем у обычного диода. Отсюда два ключевых свойства диода Шоттки:

• Низкое прямое падение напряжения - $0{,}15{-}0{,}45$ В против $0{,}6{-}0{,}7$ В у кремниевого $p$-$n$ диода. Меньше потери, выше КПД в источниках питания.
• Высокая скорость - ток несут только основные носители (электроны в $n$-типе), нет накопления неосновных носителей и нет времени их рассасывания. Поэтому диод Шоттки переключается за пикосекунды и работает на гигагерцовых частотах.

Платой за это служит сравнительно большой обратный ток утечки и низкое допустимое обратное напряжение. Диоды Шоттки незаменимы в импульсных источниках питания, выпрямителях высокой частоты, защите от переполюсовки и в СВЧ-детекторах.

Эффект Шоттки и автоэлектронная эмиссия

Важно не путать эффект Шоттки с автоэлектронной (полевой) эмиссией. Эффект Шоттки лишь понижает барьер, который электроны преодолевают за счёт тепловой энергии - это по-прежнему термоэлектронная эмиссия. При очень сильных полях ($\sim 10^9$ В/м) барьер становится не только ниже, но и узким, и электроны начинают туннелировать сквозь него даже при низкой температуре. Это уже другой механизм, описываемый формулой Фаулера-Нордгейма, где ток зависит от поля экспоненциально, а не через множитель $\exp(\sqrt{E})$. Эффект Шоттки - промежуточная область умеренных полей, где барьер понижен, но ещё не «прозрачен».

Частые ошибки

• Путают два значения термина «барьер Шоттки». Одно - понижение барьера металл-вакуум внешним полем (эмиссия). Другое - барьер на контакте металл-полупроводник (диод). Это связанные, но разные явления; нужно по контексту понимать, о чём речь.
• Считают, что снижение барьера пропорционально полю $E$. Нет - оно пропорционально $\sqrt{E}$. Именно поэтому прямая Шоттки строится в координатах $\ln j$ от $\sqrt{E}$, а не от $E$.
• Применяют закон Ричардсона с пониженным барьером при больших полях. При полях $\sim 10^9$ В/м доминирует туннелирование (автоэмиссия по Фаулеру-Нордгейму), и термоэлектронная формула с поправкой Шоттки уже неприменима.
• Считают высоту барьера Шоттки строго по формуле $\Phi_B = \Phi_M - \chi_S$. В реальных контактах поверхностные состояния закрепляют уровень Ферми, и зависимость от металла оказывается гораздо слабее идеальной.
• Путают диод Шоттки с обычным $p$-$n$ диодом. У диода Шоттки ток несут основные носители, нет инжекции неосновных - отсюда высокая скорость и низкое прямое падение, но и больший обратный ток.

FAQ

Чем эффект Шоттки отличается от автоэлектронной эмиссии? Эффект Шоттки понижает потенциальный барьер внешним полем, но электроны всё равно преодолевают его за счёт тепловой энергии - это термоэлектронная эмиссия с поправкой. Автоэлектронная (полевая) эмиссия - это туннелирование сквозь узкий барьер при очень сильных полях, оно идёт даже при нулевой температуре и описывается формулой Фаулера-Нордгейма.

Почему понижение барьера зависит от $\sqrt{E}$, а не от $E$? Потому что барьер формирует сила изображения с потенциалом $\propto 1/x$, а внешнее поле даёт линейный по $x$ вклад $-eEx$. Максимум суммы этих двух членов смещается и понижается как корень из поля: $\Delta\Phi = e\sqrt{eE/(4\pi\varepsilon_0)}$.

Почему у диода Шоттки прямое падение меньше, чем у кремниевого? Ток в диоде Шоттки определяется термоэлектронной эмиссией через барьер $\Phi_B$, а не диффузией неосновных носителей через $p$-$n$ переход. Барьер $\Phi_B$ для типичных металлов на кремнии меньше ширины запрещённой зоны, поэтому ток заметной величины течёт уже при $0{,}2{-}0{,}4$ В.

Коротко

Эффект Шоттки - понижение потенциального барьера на поверхности проводника внешним электрическим полем за счёт силы изображения; величина понижения $\Delta\Phi = e\sqrt{eE/(4\pi\varepsilon_0)}$ растёт как $\sqrt{E}$. Из-за этого ток термоэлектронной эмиссии (закон Ричардсона $j = A T^2 e^{-\Phi_0/k_BT}$) усиливается множителем $\exp(\Delta\Phi/k_BT)$, а график $\ln j$ от $\sqrt{E}$ даёт прямую Шоттки. То же имя носит барьер Шоттки на контакте металл-полупроводник: в идеале $\Phi_B = \Phi_M - \chi_S$, на практике его искажают поверхностные состояния. На этом барьере работает диод Шоттки - быстрый, с низким прямым падением $0{,}15{-}0{,}45$ В, потому что ток несут основные носители без инжекции неосновных. От автоэлектронной (туннельной) эмиссии эффект Шоттки отличается тем, что барьер лишь понижается, но преодолевается тепловой энергией.