Первый постулат Бора: стационарные орбиты атома

Первый постулат Бора - это утверждение, с которого в 1913 году началась квантовая теория атома: электрон в атоме движется не по любым, а только по особым стационарным орбитам и, находясь на них, энергию не излучает. Этим постулатом Бор разом снял главное противоречие планетарной модели: по классической электродинамике вращающийся, а значит ускоренный, электрон обязан непрерывно излучать и за доли наносекунды упасть на ядро, но реальные атомы устойчивы. Ниже разберём, что такое стационарная орбита, как работает правило квантования момента импульса, как из него получить радиус орбиты, скорость электрона и энергию уровня, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как номер орбиты задаёт её размер, покрутите калькулятор ниже: выбираете $n$, а он показывает орбиту в масштабе и считает все её характеристики.

Что такое стационарная орбита

Стационарная орбита - это разрешённая орбита электрона, на которой атом обладает строго фиксированной энергией и не излучает. Ключевое слово здесь именно «стационарная»: состояние не меняется со временем, поэтому нет и излучения. Это прямой разрыв с классической физикой, и в этом вся смелость постулата. По законам Максвелла любой заряд, движущийся с ускорением, излучает электромагнитные волны, теряет энергию и должен по спирали свалиться на ядро. Бор просто запретил это для выделенного набора орбит, постулировав их устойчивость как новый закон природы, не выводимый из классики.

Важно понимать, что стационарность - это утверждение об атоме как целом. Электрон по-прежнему движется и обладает ускорением, но атом в стационарном состоянии не отдаёт энергию наружу. Излучение появляется только при переходе между разными стационарными состояниями (это уже третий постулат), а пока электрон остаётся на своей орбите, атом «молчит».

Рассчитать для своей задачи

Правило квантования момента импульса

Стационарны не все орбиты подряд, а только те, что удовлетворяют условию квантования. Бор постулировал, что момент импульса электрона может принимать лишь значения, кратные приведённой постоянной Планка $\hbar = h/2\pi$:

$m v r = n \hbar, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$

Здесь $m$ - масса электрона, $v$ - его скорость, $r$ - радиус орбиты, а $n$ - главное квантовое число, целое и положительное. Именно эта дискретность отбирает разрешённые орбиты из непрерывного классического множества: классике безразличен радиус, а правило Бора оставляет только те значения, при которых момент импульса равен целому числу $\hbar$. Поэтому на первой орбите $L_1 = \hbar$, на второй $L_2 = 2\hbar$, на третьей $L_3 = 3\hbar$ и так далее - момент импульса растёт строго порциями.

Рассчитать для своей задачи

Это условие удобно держать в голове в самой компактной форме: $L_n = n\hbar$. Если в задаче спрашивают момент импульса электрона на $n$-й стационарной орбите, ответ получается мгновенно - это просто $n$ умножить на $\hbar \approx 1{,}05 \cdot 10^{-34}$ Дж·с, без всяких радиусов и скоростей.

Радиус стационарной орбиты

Чтобы получить из правила квантования конкретный радиус, нужно добавить второе уравнение - динамическое. На круговой орбите роль центростремительной силы играет кулоновское притяжение электрона к ядру:

$\frac{m v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2}.$

Из этого равенства и условия $m v r = n\hbar$ исключаем скорость и получаем радиус $n$-й орбиты атома водорода:

$r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\, n^2 = n^2 a_0,$

где $a_0 = 0{,}0529$ нм - боровский радиус, то есть радиус самой первой, основной орбиты ($n = 1$). Главный вывод формулы: радиус растёт пропорционально квадрату номера орбиты. Вторая орбита вчетверо больше первой, третья - в девять раз, четвёртая - в шестнадцать. Орбиты не равноотстоящие, они стремительно расходятся, и это хорошо видно на правом графике в калькуляторе выше.

Скорость электрона и энергия уровня

Зная радиус, легко найти скорость. Из условия квантования $v = n\hbar / (m r_n)$, и после подстановки $r_n = n^2 a_0$ скорость на $n$-й орбите оказывается равной:

$v_n = \frac{v_1}{n}, \qquad v_1 = 2{,}18 \cdot 10^6\ \text{м/с}.$

То есть с ростом номера орбиты электрон движется медленнее: на второй орбите вдвое медленнее, чем на первой, на третьей - втрое. Радиус растёт как $n^2$, скорость падает как $1/n$, поэтому период обращения $T_n = 2\pi r_n / v_n$ увеличивается как $n^3$ - далёкие орбиты электрон обходит заметно дольше.

Полная энергия электрона на стационарной орбите складывается из кинетической и потенциальной и для атома водорода равна:

$E_n = -\frac{13{,}6}{n^2}\ \text{эВ}.$

Знак «минус» означает, что электрон связан с ядром: чтобы оторвать его с основного уровня и ионизовать атом, нужно сообщить ровно $13{,}6$ эВ. Хотя энергия уровней - это уже результат всей модели, а не только первого постулата, в задачах её удобно считать рядом с радиусом и скоростью: все три величины следуют из одной и той же стационарной орбиты с номером $n$.

Чем первый постулат отличается от второго и третьего

Постулатов у Бора три, и их легко перепутать. Первый постулат - о существовании стационарных орбит и устойчивости атома: на этих орбитах электрон не излучает. Правило квантования $m v r = n\hbar$ часто выделяют как отдельный, второй постулат (или считают частью первого) - оно отбирает, какие именно орбиты стационарны. Третий постулат, правило частот, описывает излучение: фотон вылетает только при переходе между орбитами, и его энергия равна разности уровней $h\nu = E_{n_2} - E_{n_1}$.

Связь между уровнями и наблюдаемым спектром - это уже тема постулатов Бора и решения задач на спектральные линии. В этой же статье мы держимся первого постулата: сама орбита, её радиус, скорость и момент импульса. Если в условии задачи спрашивают про линию спектра или длину волны - это переход, то есть третий постулат, а если про размер орбиты или момент импульса - это первый.

Частые ошибки

• Считать, что электрон вообще не движется. Стационарность относится к атому, а не к электрону. Электрон движется и ускоряется, просто атом в этом состоянии не излучает энергию.
• Путать $\hbar$ и $h$. В правиле квантования стоит приведённая постоянная $\hbar = h/2\pi$, а не сама $h$. Подстановка $h$ вместо $\hbar$ завышает момент импульса в $2\pi$ раз.
• Линейный рост радиуса. Радиус растёт как $n^2$, а не как $n$. Третья орбита больше первой в девять раз, а не в три.
• Скорость растёт с номером. Наоборот: $v_n = v_1/n$, на далёких орбитах электрон медленнее. С ростом $n$ скорость убывает, а период растёт.
• Применять формулу $r_n = n^2 a_0$ к любому атому. В таком виде она верна только для водорода и водородоподобных ионов; для них в знаменателе появляется заряд ядра $Z$.

FAQ

Почему электрон на стационарной орбите не излучает, хотя движется с ускорением? Это и есть содержание первого постулата: Бор постулировал устойчивость стационарных орбит как новый закон, не выводимый из классической электродинамики. Классика требует излучения и падения на ядро, но опыт показывает, что атомы устойчивы, поэтому для выделенных орбит излучение просто запрещено.

Чему равен момент импульса электрона на $n$-й стационарной орбите? Ровно $n\hbar$, то есть $n$ умножить на приведённую постоянную Планка. Это прямое следствие правила квантования $m v r = n\hbar$: на первой орбите момент равен $\hbar$, на второй $2\hbar$, на третьей $3\hbar$.

Как найти радиус второй или третьей орбиты водорода? По формуле $r_n = n^2 a_0$ с боровским радиусом $a_0 = 0{,}0529$ нм. Для $n = 2$ радиус равен $4 a_0 \approx 0{,}212$ нм, для $n = 3$ это $9 a_0 \approx 0{,}476$ нм. Калькулятор выше показывает обе орбиты в масштабе.

Коротко

Первый постулат Бора утверждает, что электрон в атоме движется по стационарным орбитам и на них не излучает, чем спасает планетарную модель от классической катастрофы. Разрешённые орбиты отбирает правило квантования момента импульса $m v r = n\hbar$, из которого для водорода следуют радиус $r_n = n^2 a_0$, скорость $v_n = v_1/n$ и энергия $E_n = -13{,}6/n^2$ эВ. Момент импульса на $n$-й орбите равен $n\hbar$, радиус растёт как квадрат номера, а скорость убывает обратно пропорционально ему.