Опыт Штерна-Герлаха: как пучок атомов доказал спин электрона

В 1922 году Отто Штерн и Вальтер Герлах пропустили пучок атомов серебра через сильно неоднородное магнитное поле и увидели на детекторе не размытое пятно, а две чёткие полосы. Классическая физика предсказывала непрерывную засветку: магнитные моменты атомов должны были ориентироваться под всеми углами. Вместо этого пучок разделился ровно надвое. Так впервые экспериментально проявилось квантование проекции момента, а позже стало ясно, что за расщеплением стоит спин электрона. Разберём, как устроен опыт, почему получились именно две линии и что это значит для квантовой механики. Если нужно решить конкретную задачу по этой теме, соберите условие в калькуляторе ниже.

Что именно наблюдали Штерн и Герлах

Установка была предельно лаконичной. В печи испарялось серебро, узкая щель вырезала из пара тонкий пучок нейтральных атомов. Пучок пролетал между полюсами электромагнита особой формы: один полюс был заострён, другой - с выемкой, поэтому поле резко менялось по высоте. За магнитом стояла стеклянная пластинка-детектор, на которой осаждалось серебро.

Если бы магнитный момент атома мог иметь любую ориентацию, на пластинке появилась бы одна вытянутая вертикальная полоса с плавным потемнением к краям. Но Штерн и Герлах увидели две раздельные полоски, симметричные относительно исходного направления пучка. Между ними - почти чистый промежуток. Именно эта дискретность, а не сам факт отклонения, оказалась революционной.

Рассчитать для своей задачи

Почему классика предсказывала размытое пятно

Атом серебра в магнитном поле ведёт себя как крошечный магнитик с моментом $\vec{\mu}$. Сила, действующая на него в поле, зависит от неоднородности поля: однородное поле только поворачивает диполь, но не толкает его. Проекция силы вдоль оси $z$ равна

$$F_z = \mu_z \frac{\partial B_z}{\partial z}$$

где $\mu_z$ - проекция магнитного момента на ось поля, а $\partial B_z / \partial z$ - градиент поля. Чем сильнее меняется поле по высоте, тем заметнее отклонение.

Классически вектор $\vec{\mu}$ в пучке ориентирован случайно, поэтому $\mu_z$ непрерывно пробегает все значения от $-\mu$ до $+\mu$. Отклонения тоже должны быть непрерывными - отсюда ожидаемое размытое пятно. Наблюдаемое же расщепление означает, что $\mu_z$ принимает лишь дискретный набор значений. Поле сработало как пространственный анализатор проекции момента.

Пространственное квантование: две, а не бесконечность

Квантовая механика связывает магнитный момент атома с моментом импульса. Проекция момента импульса на выделенную ось квантуется: для квантового числа $j$ она принимает $2j+1$ значений. Соответственно и пучок должен расщепляться на $2j+1$ компонент. Это явление называют пространственным квантованием - оно же стоит за расщеплением спектральных линий в аномальном эффекте Зеемана.

Здесь и кроется тонкость. Для целого орбитального числа $\ell$ число компонент $2\ell+1$ всегда нечётно: 1, 3, 5… Чтобы получить ровно две полосы, нужно $2j+1 = 2$, то есть

$$j = \frac{1}{2}$$

Полуцелый момент не вписывался в орбитальную картину того времени. Эксперимент дал чётное число компонент - сигнал, что у частицы есть собственный момент с полуцелым квантовым числом.

Рассчитать для своей задачи

При чём здесь спин электрона

В 1922 году спина ещё не знали - его ввели Уленбек и Гаудсмит в 1925-м. Поэтому строго говоря, Штерн и Герлах наблюдали квантование, причину которого объяснили позже. Атом серебра в основном состоянии имеет полный орбитальный момент $\ell = 0$: все внутренние оболочки заполнены, а единственный валентный электрон сидит на 5s-уровне. Орбитального вклада нет - момент атома целиком определяется спином этого электрона.

Спин - собственный момент импульса электрона с квантовым числом $s = 1/2$. Его проекция на ось поля принимает два значения:

$$S_z = m_s \hbar, \quad m_s = \pm \frac{1}{2}$$

Магнитный момент электрона связан со спином через гиромагнитное отношение с $g$-фактором, близким к 2:

$$\mu_z = -g_s \frac{e}{2m_e} S_z = \mp \mu_B$$

где $\mu_B$ - магнетон Бора. Два знака проекции дают две силы противоположного направления - и две полосы на детекторе. Так опыт, задуманный для проверки квантования орбитального момента, на деле стал первым прямым наблюдением спина.

Оценка расщепления: что считать в задаче

Чтобы оценить разнос полос, удобно идти от силы к смещению. Атом массой $m$ летит со скоростью $v$ сквозь магнит длиной $L$, испытывая поперечное ускорение $a = F_z / m$. За время пролёта $t = L/v$ он смещается на

$$\Delta z = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{\mu_z (\partial B_z / \partial z) L^2}{2 m v^2}$$

Полное расстояние между двумя полосами - удвоенное смещение, поскольку проекции $\pm \mu_B$ дают симметричные отклонения. Тепловую скорость берут из условия $\tfrac{1}{2} m v^2 \approx \tfrac{3}{2} k_B T$ для температуры печи $T$. Подставив $\mu_z = \mu_B$, градиент поля и геометрию установки, получают разнос порядка долей миллиметра - как раз то, что измерили в оригинале. Калькулятор в начале статьи помогает собрать такую задачу аккуратно: с какими данными и в каком порядке выражать величины.

Почему именно нейтральные атомы серебра

Выбор серебра не случаен. Во-первых, атом электрически нейтрален - значит, на него не действует сила Лоренца, которая для заряда в магнитном поле забила бы тонкий эффект отклонения дипольного момента. Во-вторых, серебро легко испаряется и даёт чёткий след на пластинке. В-третьих, его электронная конфигурация с одним валентным электроном и нулевым орбитальным моментом делает картину максимально чистой: расщепление определяется только спином.

Любопытная деталь из истории: полосы серебра проявились отчётливо отчасти благодаря дешёвым сигарам Штерна - сера из табачного дыма превратила тонкий налёт серебра в хорошо заметный сульфид. Удача, но опыт от этого не перестал быть строгим.

Частые ошибки

• Путают однородное и неоднородное поле. Отклоняет пучок именно градиент $\partial B_z / \partial z$. В однородном поле момент только прецессирует, смещения нет.
• Считают, что расщепление вызвано орбитальным моментом. У серебра в основном состоянии $\ell = 0$; две полосы - это сигнатура спина $s = 1/2$, а не орбиты.
• Забывают про нейтральность атома. Будь атом заряжен, доминировала бы сила Лоренца и эффект момента утонул бы в круговом движении.
• Ожидают нечётное число полос. Для спина $1/2$ компонент ровно $2s+1 = 2$. Нечётные картины (3, 5…) дают целые моменты, а не спин электрона.
• Смешивают момент импульса и магнитный момент. Они связаны гиромагнитным отношением с $g$-фактором, а не равны друг другу.

FAQ

Почему пучок расщепился именно на две части, а не на три или пять? Потому что момент атома серебра определяется спином единственного валентного электрона, а спин равен $1/2$. Число проекций равно $2s+1 = 2$, отсюда ровно две полосы. Нечётные картины соответствовали бы целому моменту.

Чем опыт Штерна-Герлаха отличается от опыта по эффекту Зеемана? Эффект Зеемана наблюдают по расщеплению спектральных линий в магнитном поле - это косвенное проявление квантования уровней энергии. Штерн и Герлах увидели квантование напрямую, как пространственное разделение пучка частиц. О том, как квантуются сами уровни, из которых складываются эти линии, - в разборе энергии уровней атома водорода.

Доказывает ли опыт существование спина? Сам опыт 1922 года доказал квантование проекции магнитного момента. Что причина именно в спине, стало ясно после 1925 года, когда у серебра обосновали нулевой орбитальный момент и приписали расщепление собственному моменту электрона.

Коротко

Опыт Штерна-Герлаха пропустил пучок нейтральных атомов серебра через неоднородное магнитное поле и обнаружил расщепление не в размытое пятно, как предсказывала классика, а в две чёткие полосы. Дискретность доказала пространственное квантование проекции момента, а чётное число компонент - наличие у частицы полуцелого момента. Поскольку у серебра орбитальный момент равен нулю, расщепление определяется спином валентного электрона с $s = 1/2$ и проекциями $m_s = \pm 1/2$. Так опыт стал первым прямым наблюдением спина электрона.