Длина волны де Бройля ускоренного электрона

Когда электрон проходит ускоряющую разность потенциалов, он набирает кинетическую энергию и начинает вести себя как волна с вполне определённой длиной. Эта длина волны де Бройля настолько мала, что электрон «видит» атомную решётку кристалла так же, как видимый свет различает миллиметровую линейку, и именно на этом построена дифракция электронов и электронный микроскоп. Ниже разберём, как из энергии $E_k = eU$ получить импульс, как из импульса получить длину волны по формуле де Бройля, когда нужна релятивистская поправка и где студенты чаще всего теряют множители. Чтобы сразу почувствовать масштаб, покрути калькулятор: задай напряжение и смотри, как меняется длина волны и насколько она близка к шагу кристаллической решётки.

Что такое длина волны де Бройля

Луи де Бройль предположил, что любая движущаяся частица обладает волновыми свойствами, а её длина волны связана с импульсом простым соотношением:

$\lambda = \frac{h}{p},$

где $h = 6{,}626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с - постоянная Планка, а $p$ - импульс частицы. Для макроскопических тел импульс огромен, поэтому длина волны исчезающе мала и никаких волновых эффектов мы не замечаем. А вот для электрона, у которого масса $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}$ кг, длина волны получается порядка размеров атома, и волновая природа проявляется в полную силу. Гипотеза де Бройля 1924 года была смелой именно потому, что распространила волновые свойства, известные для света, на частицы вещества, и уже через три года её прямо подтвердили опыты по дифракции электронов. Задача «найти длину волны де Бройля ускоренного электрона» сводится к тому, чтобы аккуратно посчитать импульс, который электрон приобрёл в ускоряющем поле, а затем поделить на него постоянную Планка.

Как ускоряющее напряжение задаёт импульс электрона

Электрон с зарядом $e = 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Кл, пройдя разность потенциалов $U$, приобретает кинетическую энергию, равную работе электрического поля:

$E_k = eU.$

Это удобно: если напряжение задано в вольтах, то энергия в электронвольтах численно равна напряжению. Электрон, ускоренный полем в 100 В, получает ровно 100 эВ. Пока скорость много меньше скорости света, связь энергии и импульса нерелятивистская:

$E_k = \frac{p^2}{2 m_e} \quad \Rightarrow \quad p = \sqrt{2 m_e E_k} = \sqrt{2 m_e e U}.$

Рассчитать для своей задачи

Здесь видно главное: чем больше напряжение, тем больше импульс и тем короче волна. Импульс растёт как корень из напряжения, поэтому длина волны убывает медленно - чтобы укоротить её вдвое, напряжение нужно поднять вчетверо.

Формула длины волны де Бройля для ускоренного электрона

Подставим импульс в формулу де Бройля и получим рабочую формулу, ради которой всё затевалось:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m_e e U}}.$

Если подставить значения констант, коэффициент сворачивается в очень удобную инженерную форму:

$\lambda \approx \frac{1{,}226}{\sqrt{U}}\ \text{нм},$

где $U$ - напряжение в вольтах, а длина волны получается в нанометрах. Эта формула - то, что стоит держать в голове: при $U = 100$ В длина волны равна $1{,}226/\sqrt{100} = 0{,}1226$ нм, то есть около 123 пикометров. При $U = 150$ В она опускается ровно до $0{,}1$ нм - классическое «школьное» значение, близкое к межатомному расстоянию в кристалле, благодаря чему первые опыты по дифракции электронов Дэвиссона и Джермера шли как раз в этом диапазоне.

Рассчитать для своей задачи

Именно эта малость длины волны делает электронный микроскоп таким мощным: разрешающая способность ограничена длиной волны, а у ускоренного электрона она в тысячи раз короче, чем у видимого света. Поэтому электронами «видят» отдельные атомные плоскости, что недоступно оптике.

Когда нужна релятивистская поправка

Нерелятивистская формула верна, пока кинетическая энергия мала по сравнению с энергией покоя электрона $m_e c^2 = 511$ кэВ. При напряжениях в десятки и сотни киловольт, типичных для просвечивающих электронных микроскопов, это условие нарушается, и импульс надо считать по релятивистской связи энергии и импульса. Точная формула выглядит так:

$\lambda = \frac{h c}{\sqrt{eU\,(eU + 2 m_e c^2)}}.$

При малых $U$ слагаемое $eU$ под корнем ничтожно по сравнению с $2 m_e c^2$, и формула переходит в нерелятивистскую: убрав $eU$ из суммы, получаем $\lambda = hc/\sqrt{2 m_e c^2 \cdot eU} = h/\sqrt{2 m_e e U}$. Прикинуть величину поправки помогает калькулятор выше: он рядом показывает обе кривые. При $U = 10$ кВ расхождение всего около $0{,}5\,\%$, при $U = 50$ кВ - уже примерно $2{,}4\,\%$, а при $U = 100$ кВ нерелятивистская формула завышает длину волны почти на $5\,\%$. Для школьных задач с сотнями вольт поправкой смело пренебрегают; для микроскопии на сотнях киловольт берут точную формулу. Удобный ориентир: пока ускоряющее напряжение остаётся в пределах нескольких киловольт, ошибка нерелятивистской формулы не превышает десятых долей процента и лежит внутри обычной точности учебной задачи, поэтому в большинстве заданий школьного и вузовского курса хватает короткой формулы $\lambda = 1{,}226/\sqrt{U}$ нм.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: электрон ускорен разностью потенциалов $U = 100$ В, нужно найти длину волны де Бройля. Сначала находим кинетическую энергию и импульс:

$E_k = eU = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 100 = 1{,}6 \cdot 10^{-17}\ \text{Дж},$

$p = \sqrt{2 m_e e U} = \sqrt{2 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-17}} \approx 5{,}40 \cdot 10^{-24}\ \text{кг·м/с}.$

Теперь длина волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{5{,}40 \cdot 10^{-24}} \approx 1{,}23 \cdot 10^{-10}\ \text{м} = 0{,}123\ \text{нм}.$

Тот же ответ даёт инженерная формула $\lambda = 1{,}226/\sqrt{100} = 0{,}1226$ нм. Энергия покоя $511$ кэВ в десятки тысяч раз больше $E_k = 0{,}1$ кэВ, поэтому релятивистская поправка здесь меньше сотой доли процента, и нерелятивистский расчёт полностью оправдан.

Частые ошибки

• Путают энергию покоя и кинетическую энергию. В формулу де Бройля идёт импульс, связанный именно с кинетической энергией $E_k = eU$, а не с полной энергией электрона.
• Забывают перевести напряжение или энергию в единицы СИ. Если считать импульс по формуле $p = \sqrt{2 m_e e U}$, то $U$ - в вольтах, заряд и масса - в СИ; смешивать электронвольты и джоули нельзя.
• Теряют множитель 2 под корнем. Импульс через энергию равен $\sqrt{2 m_e E_k}$, а не $\sqrt{m_e E_k}$ - двойка из формулы $E_k = p^2/2m_e$.
• Применяют нерелятивистскую формулу при сотнях киловольт. При $eU$, сравнимом с $m_e c^2 = 511$ кэВ, нужна релятивистская формула, иначе длина волны завышается на проценты.
• Считают, что длина волны зависит от массы образца или геометрии установки. Она определяется только импульсом электрона, то есть ускоряющим напряжением.

FAQ

Почему длина волны де Бройля электрона так мала? Потому что у электрона при ускоряющих напряжениях в десятки и сотни вольт импульс получается достаточно большим, а длина волны обратно пропорциональна импульсу. Уже при 100 В она равна около $0{,}12$ нм - порядка размера атома, то есть в тысячи раз короче длины волны видимого света.

Как длина волны зависит от ускоряющего напряжения? Обратно пропорционально корню из напряжения: $\lambda \sim 1/\sqrt{U}$. Чтобы укоротить волну вдвое, напряжение нужно увеличить в четыре раза. Это прямое следствие того, что импульс растёт как корень из кинетической энергии.

Когда обязательно учитывать релятивизм? Когда кинетическая энергия $eU$ становится заметной долей энергии покоя $m_e c^2 = 511$ кэВ. На практике уже при десятках киловольт появляется поправка в единицы процентов, и для электронной микроскопии используют релятивистскую формулу $\lambda = hc/\sqrt{eU(eU + 2 m_e c^2)}$.

Коротко

Электрон, ускоренный разностью потенциалов $U$, получает кинетическую энергию $E_k = eU$, импульс $p = \sqrt{2 m_e e U}$ и длину волны де Бройля $\lambda = h/\sqrt{2 m_e e U} \approx 1{,}226/\sqrt{U}$ нм. При сотне вольт это около $0{,}12$ нм - масштаб атома, на чём держится дифракция электронов и электронный микроскоп. При напряжениях в десятки и сотни киловольт кинетическая энергия становится сравнимой с энергией покоя $511$ кэВ, и нерелятивистскую формулу заменяют точной $\lambda = hc/\sqrt{eU(eU + 2 m_e c^2)}$.