Как разложить в ряд Фурье: пошаговое решение

Дано: функция на отрезке $[-2;\,2]$, заданная двумя формулами: $f(x) = 0$ при $-2 < x < 0$ и $f(x) = x$ при $0 < x < 2$. Найти: коэффициенты $a_0$, $a_n$, $b_n$ полного ряда Фурье и сумму ряда в точке $x = 2$.

Функция не чётная и не нечётная, поэтому ни одна группа коэффициентов не обнуляется и считать нужно все три интеграла с полупериодом $L = 2$. Ответ: $a_0 = 1$, $a_n = \dfrac{2\left((-1)^n - 1\right)}{\pi^2 n^2}$, $b_n = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{\pi n}$, а сумма ряда в точке $x = 2$ равна $1$, а не $2$. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: он собирает частичную сумму и показывает, куда ряд сходится на границе отрезка.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим полупериод и выписываем формулы. Отрезок разложения $[-2;\,2]$ симметричен, его половина $L = 2$, полный период $2L = 4$. Значит, гармоники имеют вид $\cos\dfrac{n\pi x}{2}$ и $\sin\dfrac{n\pi x}{2}$, а коэффициенты считаются по формулам

$$a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx, \qquad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx, \qquad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

На участке $(-2;\,0)$ функция тождественно равна нулю, поэтому во всех трёх интегралах остаётся только промежуток $(0;\,2)$, где $f(x) = x$. Это единственное упрощение, которое даёт кусочное задание.

Шаг 2. Проверяем чётность, чтобы не считать лишнего. Возьмём пробную точку: $f(1) = 1$, а $f(-1) = 0$. Значит, $f(-x)$ не совпадает ни с $f(x)$, ни с $-f(x)$, функция общего вида, и обнулить нечего. Такая проверка занимает одну строку и стоит того: подробнее о ней в разборе как определить чётность функции.

Шаг 3. Считаем $a_0$. Подставляем $L = 2$ и интегрируем только по правой половине:

$$a_0 = \frac{1}{2}\int_{0}^{2} x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1.$$

Свободный член ряда равен $a_0/2 = 0{,}5$. Это среднее значение функции за период: площадь под графиком равна $2$, длина периода равна $4$, отношение даёт как раз $0{,}5$. Полезная проверка на будущее: если $a_0/2$ не похоже на среднее по картинке, интеграл посчитан неверно.

Шаг 4. Считаем $a_n$ интегрированием по частям. Первообразная находится один раз и переиспользуется:

$$\int_{0}^{2} x\cos\frac{n\pi x}{2}\,dx = \left[\frac{2x}{n\pi}\sin\frac{n\pi x}{2} + \frac{4}{n^2\pi^2}\cos\frac{n\pi x}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{4\left((-1)^n - 1\right)}{n^2\pi^2},$$

потому что $\sin(n\pi) = 0$, а $\cos(n\pi) = (-1)^n$. Делим на $L = 2$:

$$a_n = \frac{2\left((-1)^n - 1\right)}{\pi^2 n^2} = \begin{cases} -\dfrac{4}{\pi^2 n^2}, & n \text{ нечётное},\\[6pt] 0, & n \text{ чётное}. \end{cases}$$

Шаг 5. Считаем $b_n$ тем же приёмом. Меняются местами синус и косинус, а вместе с ними и знак:

$$\int_{0}^{2} x\sin\frac{n\pi x}{2}\,dx = \left[-\frac{2x}{n\pi}\cos\frac{n\pi x}{2} + \frac{4}{n^2\pi^2}\sin\frac{n\pi x}{2}\right]_{0}^{2} = -\frac{4(-1)^n}{n\pi},$$

откуда

$$b_n = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{4(-1)^n}{n\pi}\right) = \frac{2(-1)^{n+1}}{\pi n}.$$

Числа первых пяти гармоник удобно свести в таблицу и сверить с калькулятором сверху:

Шаг 6. Выписываем ряд. Собираем найденное в одну строку:

$$f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2\left((-1)^n - 1\right)}{\pi^2 n^2}\cos\frac{n\pi x}{2} + \frac{2(-1)^{n+1}}{\pi n}\sin\frac{n\pi x}{2}\right).$$

Косинусы выживают только при нечётных номерах, поэтому ту же запись часто дают в виде двух отдельных сумм:

$$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}\cos\frac{(2k+1)\pi x}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\frac{n\pi x}{2}.$$

Шаг 7. Находим сумму ряда в точке $x = 2$. Ряд Фурье изображает не саму функцию, а её периодическое продолжение с периодом $4$. Слева к точке $x = 2$ подходит значение $2$, справа начинается новый период, который стартует с нуля. Получился скачок, и сумма ряда равна его середине:

$$S(2) = \frac{f(2 - 0) + f(2 + 0)}{2} = \frac{2 + 0}{2} = 1.$$

Тот же результат даёт прямая подстановка. При $x = 2$ все синусы обнуляются, а $\cos(n\pi) = (-1)^n$, поэтому от нечётных косинусов остаётся положительный вклад:

$$S(2) = \frac{1}{2} + \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{1}{2} + \frac{4}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8} = 1.$$

Ответ: $a_0 = 1$; $a_n = \dfrac{2\left((-1)^n - 1\right)}{\pi^2 n^2}$, то есть $-\dfrac{4}{\pi^2 n^2}$ при нечётных $n$ и $0$ при чётных; $b_n = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{\pi n}$; сумма ряда в точке $x = 2$ равна $1$.

Формулы коэффициентов на отрезке [-L; L]

Общий вид разложения на симметричном отрезке длиной $2L$ такой:

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L} + b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right).$$

Два места, где чаще всего ошибаются, стоит проговорить отдельно. Первое: в знаменателе нормировки стоит полупериод $L$, а не длина всего отрезка $2L$. Второе: аргумент гармоники равен $n\pi x / L$, и при $L = \pi$ он превращается в привычное $nx$ из учебника, а при любом другом $L$ множитель обязан остаться. Именно из-за этого формулы для $[-\pi;\,\pi]$ и для $[-2;\,2]$ выглядят по-разному, хотя это одна и та же формула.

Сами формулы получаются из ортогональности системы синусов и косинусов: ряд умножают на нужную гармонику и интегрируют по периоду, после чего все слагаемые, кроме одного, обращаются в нуль. Полный вывод с интегралами разобран в статье про коэффициенты ряда Фурье - здесь он не повторяется, потому что для решения задачи достаточно готовых формул.

Отрезок не обязан быть симметричным относительно нуля: подойдёт любой промежуток длиной в период, например $[0;\,2L]$. Пределы интегрирования тогда сдвигаются, а множители $1/L$ и $n\pi x/L$ остаются прежними. Чего делать нельзя, так это менять длину отрезка по ходу решения: период задаёт частоты гармоник, и половина коэффициентов после такой замены станет чужой.

Упрощение для чётной и нечётной функции

Симметрия сокращает работу вдвое, поэтому её проверяют до всяких интегралов. Логика простая: произведение чётной функции на синус нечётно, а интеграл нечётной функции по симметричному отрезку равен нулю - этот приём подробно разобран в задаче про интеграл от нечётной функции.

Для симметричных случаев интеграл берут по половине отрезка с удвоением: $a_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\cos\dfrac{n\pi x}{L}\,dx$ для чётной функции и $b_n = \dfrac{2}{L}\displaystyle\int_{0}^{L} f(x)\sin\dfrac{n\pi x}{L}\,dx$ для нечётной. Если функция задана только на $[0;\,L]$, её продолжают на левую половину нужным образом сами: чётное продолжение даёт косинус-ряд, нечётное - разложение по синусам.

У нашей функции есть изящная связь с обоими симметричными случаями. Заметим, что $f(x) = \dfrac{|x| + x}{2}$: при $x > 0$ это $x$, при $x < 0$ это нуль. Значит, её коэффициенты равны полусумме коэффициентов чётной функции $|x|$ и нечётной $x$. Переключи чипы в калькуляторе сверху и сравни числа: у $|x|$ получится $a_1 = -0{,}811$ и $b_1 = 0$, у $x$ будет $a_1 = 0$ и $b_1 = 1{,}273$, а полусуммы дают ровно наши $-0{,}405$ и $0{,}637$.

Куда сходится ряд: теорема Дирихле

Знак равенства между функцией и её рядом верен не везде. Теорема Дирихле формулирует условие: если на периоде функция ограничена, кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов, то ряд сходится в каждой точке, причём в точках непрерывности - к самой функции, а в точках разрыва - к полусумме односторонних пределов.

Отсюда и берётся ответ $S(2) = 1$: периодическое продолжение рвётся на границе отрезка, и ряд выбирает середину скачка. В точке $x = 0$ разрыва нет, обе ветви дают нуль, и сумма ряда равна нулю - это, кстати, ещё одна проверка расчёта. Подставив $x = 0$, получаем $\dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{\pi^2}\cdot\dfrac{\pi^2}{8} = 0$, что верно.

Рядом со скачком частичная сумма ведёт себя необычно: сколько гармоник ни бери, у самого разрыва остаётся выброс примерно на $9\%$ от величины скачка. Он лишь сужается, прижимаясь к точке разрыва, но не уменьшается по высоте. Это явление Гиббса, и в калькуляторе оно видно сразу: увеличь $N$ до сорока, и кривая ляжет на функцию везде, кроме узкого ушка у границы.

Частые ошибки

• Делят на $2L$ вместо $L$. В знаменателе всех трёх формул стоит полупериод. Ошибка вдвое занижает каждый коэффициент, а обнаруживается только при проверке в конкретной точке.
• Пишут в ряде $a_0$ вместо $a_0/2$. Формула даёт удвоенное среднее значение функции, поэтому в самом ряде свободный член равен половине $a_0$. У нас $a_0 = 1$, а в ряд идёт $0{,}5$.
• Забывают множитель $\pi/L$ в аргументе гармоники. Формулы из учебника обычно записаны для $[-\pi;\,\pi]$, где $\cos(n\pi x/L)$ вырождается в $\cos nx$. На отрезке $[-2;\,2]$ нужно писать $\cos(n\pi x/2)$, иначе гармоники будут иметь чужой период.
• Считают кусочную функцию нечётной. То, что на левой половине стоит нуль, симметрии не даёт. Проверка $f(1) = 1$ против $f(-1) = 0$ закрывает вопрос за одну строку.
• Ждут, что в точке $x = 2$ ряд даст $2$. На границе отрезка у периодического продолжения скачок, и сумма равна полусумме пределов, то есть $1$. То же правило работает в любой внутренней точке разрыва.
• Теряют знак при интегрировании по частям. У синуса первообразная даёт минус: $\int x\sin kx\,dx = -\dfrac{x\cos kx}{k} + \dfrac{\sin kx}{k^2}$. Потерянный минус переворачивает все $b_n$ и рушит график частичной суммы.

FAQ

Чем ряд Фурье отличается от ряда Тейлора? Ряд Тейлора строится по производным в одной точке и хорошо приближает функцию рядом с этой точкой, требуя гладкости. Ряд Фурье строится по интегралам за весь период и работает даже с разрывными функциями, приближая их сразу на всём отрезке. Пошаговое сравнение по числам есть в разборе как разложить в ряд Тейлора.

Что делать, если функция задана не на симметричном отрезке, а на $[0;\,l]$? Продолжить её на левую половину так, как удобнее: чётным образом, если нужен ряд по косинусам, и нечётным, если нужен ряд по синусам. Формулы коэффициентов при этом берут по половине отрезка с множителем $2/l$. Условие задачи обычно прямо указывает, какое продолжение требуется.

Обязательно ли функция должна быть непрерывной? Нет. Условий Дирихле достаточно: ограниченность, конечное число разрывов первого рода и конечное число экстремумов на периоде. В точках разрыва ряд сходится к полусумме односторонних пределов, а не к значению функции, и это нормальный ответ, а не ошибка решения.

Как быстро проверить найденные коэффициенты? Подставить в ряд удобную точку, где значение функции известно, и посмотреть, сходится ли числовой ряд к нему. Хорошо работают концы отрезка и нуль: у нас проверка в нуле дала известную сумму $\sum 1/(2k+1)^2 = \pi^2/8$. Второй способ - построить частичную сумму из трёх-четырёх гармоник и сравнить её с графиком функции.

Коротко

1. Найди полупериод $L$: для отрезка $[-2;\,2]$ это $L = 2$, гармоники будут $\cos(n\pi x/2)$ и $\sin(n\pi x/2)$.
2. Проверь чётность. Чётная функция даёт $b_n = 0$, нечётная - $a_0 = a_n = 0$, функция общего вида не даёт ничего.
3. Посчитай три интеграла с множителем $1/L$, вынося нулевые участки: $a_0 = 1$, $a_n = 2\left((-1)^n - 1\right)/(\pi^2 n^2)$, $b_n = 2(-1)^{n+1}/(\pi n)$.
4. Выпиши ряд, не забыв, что свободный член равен $a_0/2 = 0{,}5$, а косинусы остаются только при нечётных $n$.
5. Значение в точке считай по теореме Дирихле: в точке непрерывности - само $f(x)$, в разрыве - полусумма пределов, поэтому $S(2) = 1$.