Как рассчитать силу резания: формула и пример

Дано: наружное продольное точение стали 45 ($\sigma_{\text{в}} = 750$ МПа) проходным резцом Т15К6, глубина резания $t = 3$ мм, подача $s = 0{,}5$ мм/об, скорость резания $v = 120$ м/мин, главный угол в плане $\varphi = 45^\circ$. Найти: главную составляющую силы резания, мощность резания и запас по мощности станка с двигателем 10 кВт.

Сила резания считается по эмпирической степенной формуле $P_z = 10 C_p t^x s^y v^n K_p$, где четыре числа берутся из справочника, а мощность получается умножением силы на скорость. Ответ: $P_z \approx 2610$ Н, мощность резания $5{,}22$ кВт, режим проходит с запасом около 30 процентов. Калькулятор сверху пересчитывает оба числа под другую пару материал и резец и сразу показывает на графике, где мощность упрётся в предел шпинделя.

Решение по шагам

Дано.

Найти: силу резания $P_z$, мощность резания $N_e$ и вывод о пригодности режима.

Шаг 1. Выписываем табличные коэффициенты. Для наружного продольного точения конструкционной стали твёрдосплавным резцом справочник технолога даёт $C_p = 300$, $x = 1{,}0$, $y = 0{,}75$, $n = -0{,}15$. Эти числа привязаны к паре обрабатываемый материал и материал режущей части: для того же точения быстрорежущим резцом $C_p = 200$, а по серому чугуну твёрдым сплавом $C_p = 92$. Подставлять их наугад нельзя, и в работе обязательно указывают, из какой таблицы они взяты.

Шаг 2. Собираем поправочный коэффициент. Величина $K_p$ не табулируется целиком, а составляется из пяти множителей, каждый на своё отклонение условий от табличных:

$$K_p = K_{\text{м}p} \cdot K_{\varphi p} \cdot K_{\gamma p} \cdot K_{\lambda p} \cdot K_{rp}$$

Для стали поправка на обрабатываемый материал считается по пределу прочности: $K_{\text{м}p} = (\sigma_{\text{в}} / 750)^{0{,}75}$. У стали 45 предел прочности как раз 750 МПа, поэтому $K_{\text{м}p} = 1{,}0$. Главный угол в плане 45 градусов тоже табличный, значит $K_{\varphi p} = 1{,}0$; при геометрии резца $\gamma = 10^\circ$, $\lambda = 0^\circ$ и радиусе при вершине 1 мм остальные три множителя равны единице. Итого $K_p = 1{,}0$: условия совпали с табличными, поправка не нужна.

Шаг 3. Считаем главную составляющую силы резания. Подставляем всё в формулу, степени берём по порядку:

$$P_z = 10 C_p t^x s^y v^n K_p = 10 \cdot 300 \cdot 3^{1{,}0} \cdot 0{,}5^{0{,}75} \cdot 120^{-0{,}15} \cdot 1{,}0$$

Каждый сомножитель отдельно: $3^{1{,}0} = 3$, $0{,}5^{0{,}75} = 0{,}595$, $120^{-0{,}15} = 0{,}488$. Перемножаем:

$$P_z = 3000 \cdot 3 \cdot 0{,}595 \cdot 0{,}488 \approx 2610 \ \text{Н}$$

Шаг 4. Находим мощность резания. Мощность равна произведению силы на скорость, но скорость задана в метрах в минуту, а не в секунду, поэтому в знаменателе появляется 60000:

$$N_e = \frac{P_z v}{60 \cdot 1000} = \frac{2610 \cdot 120}{60000} = 5{,}22 \ \text{кВт}$$

Шаг 5. Проверяем режим по станку. Двигатель отдаёт в зону резания не всю мощность: часть съедает коробка скоростей и подшипники. Располагаемая мощность на шпинделе равна

$$N_{\text{шп}} = N_{\text{дв}} \eta = 10 \cdot 0{,}75 = 7{,}5 \ \text{кВт}$$

Условие $N_e \le N_{\text{шп}}$ выполняется: 5,22 кВт против 7,5 кВт, запас 2,28 кВт, или 30 процентов.

Ответ: сила резания $P_z \approx 2610$ Н, мощность резания 5,22 кВт, располагаемая мощность шпинделя 7,5 кВт, режим проходит с запасом 30 процентов.

Формула и откуда она берётся

Формула $P_z = 10 C_p t^x s^y v^n K_p$ не выводится из механики, а подобрана по результатам опытов: силу измеряли динамометром при разных режимах и приближали степенной зависимостью. Отсюда и вид записи, и то, что коэффициент $C_p$ имеет размерность, которую неудобно объяснять физически. Множитель 10 стоит потому, что таблицы составлялись в килограмм-силах, а ответ принято давать в ньютонах.

Смысл показателей степени читается прямо. При $x = 1$ сила пропорциональна глубине: удвоишь глубину с 3 до 6 мм, и $P_z$ вырастет ровно вдвое, до 5220 Н. При $y = 0{,}75$ подача влияет слабее: та же удвоенная подача 1,0 мм/об даст рост только в $2^{0{,}75} = 1{,}68$ раза, до 4390 Н. Поэтому снимать припуск выгоднее большой подачей, чем большой глубиной, если позволяет требуемая шероховатость поверхности.

Показатель $n = -0{,}15$ отрицательный, и это не опечатка. С ростом скорости металл в зоне резания нагревается, его сопротивление деформации падает, стружка сходит легче, и сила немного уменьшается. На графике калькулятора синяя кривая медленно опускается. А вот мощность всё равно растёт, потому что скорость входит в неё множителем: $N_e \sim v^{1+n} = v^{0{,}85}$.

Полезный самоконтроль: раздели силу на площадь сечения среза. У нас $2610 / (3 \cdot 0{,}5) = 1740$ Н/мм², то есть удельная сила резания около 1740 МПа. Для конструкционной стали нормальный диапазон 1500 до 2500 МПа, значит порядок верный. Если получилось 200 или 20000, ищи ошибку в степенях.

Три составляющие силы и крутящий момент

Резец нагружен не одной силой, а пространственной системой, которую раскладывают на три взаимно перпендикулярные составляющие. Тангенциальная $P_z$ направлена по скорости резания и определяет мощность; радиальная $P_y$ отжимает резец от детали и портит точность размера; осевая $P_x$ нагружает механизм подачи. Считают их по одной и той же формуле, но со своими коэффициентами:

Отношение составляющих при угле 45 градусов получается примерно 1 : 0,4 : 0,4, и это стоит держать в голове как прикидку. В мощность идёт только $P_z$: две другие силы работы не совершают, их движения нет вдоль линии действия.

Крутящий момент на шпинделе считают по тангенциальной составляющей и радиусу обрабатываемой поверхности. Для вала диаметром 80 мм:

$$M_{\text{кр}} = \frac{P_z D}{2} = \frac{2610 \cdot 0{,}08}{2} \approx 104 \ \text{Н} \cdot \text{м}$$

Этот момент сравнивают с допустимым моментом на шпинделе по паспорту станка, а заодно по нему проверяют прочность державки резца и зажим детали в патроне. Как момент связан с силой и плечом, подробно разобрано в задаче про момент силы относительно оси.

Если режим не проходит по мощности

Возьмём ту же деталь из стали 40Х с пределом прочности 1000 МПа. Поправка становится $K_{\text{м}p} = (1000/750)^{0{,}75} = 1{,}24$, сила растёт до 3240 Н, мощность до 6,48 кВт. Запас до 7,5 кВт остаётся, но всего 14 процентов. Ещё немного увеличить глубину, и режим упрётся в двигатель: при подаче 0,5 мм/об и скорости 120 м/мин предельная глубина для стали 45 равна 4,3 мм, калькулятор показывает её отдельной строкой.

Когда мощности не хватает, по порядку уменьшают глубину резания, затем скорость и только в последнюю очередь подачу. Логика в показателях степени: глубина входит линейно и в силу, и в мощность, скорость даёт $v^{0{,}85}$, а подача при $y = 0{,}75$ снижает нагрузку медленнее, чем производительность. Есть и четвёртый рычаг, не связанный с режимом: угол в плане 90 градусов даёт $K_{\varphi p} = 0{,}89$ и сбрасывает силу до 2320 Н, правда ценой роста осевой составляющей.

Отдельная тонкость связана с тем, что скорость резания на универсальном станке задаётся не напрямую, а оборотами из ряда коробки. После округления оборотов вниз фактическая скорость падает: для вала диаметром 80 мм вместо расчётных 477 об/мин берут ступень 400 об/мин, скорость становится 100,5 м/мин, сила слегка растёт до 2680 Н, а мощность, наоборот, снижается до 4,49 кВт. Сам пересчёт оборотов и скорости разобран в задаче про скорость резания, а подбор двигателя под известную нагрузку - в разборе выбора мощности двигателя.

Частые ошибки

• Забывают множитель 10 и получают 261 Н вместо 2610 Н. Формула построена на табличных данных в килограмм-силах, и без десятки ответ занижен ровно в десять раз.
• Делят на 1000 вместо 60000 при переходе к мощности. Скорость в формуле выражена в метрах в минуту, поэтому нужен ещё перевод минут в секунды.
• Берут $C_p$ из строки для другой пары материалов. Коэффициент для стали быстрорежущим резцом и для чугуна твёрдым сплавом отличается втрое, а таблицы в справочнике идут подряд и легко перепутать строку. Заодно проверь марку: сталь 45 и сталь 40Х дают разные поправки.
• Сравнивают мощность резания напрямую с мощностью двигателя, минуя КПД. Проверять нужно с располагаемой мощностью шпинделя, иначе режим с 7 кВт на станке 10 кВт кажется проходящим, хотя привод отдаёт только 7,5 кВт и запаса почти нет.
• Подставляют в мощность сумму трёх составляющих или радиальную силу вместо тангенциальной. Работу совершает только $P_z$, направленная по скорости.
• Путают глубину резания с припуском. Глубина - это то, что снимается за один проход, а припуск делится на число проходов.

FAQ

Почему сила резания падает с ростом скорости? Из-за разогрева зоны резания. При высокой скорости металл перед кромкой успевает нагреться сильнее, предел текучести падает, стружка формируется легче. Эффект слабый, показатель всего $-0{,}15$: рост скорости со 100 до 200 м/мин снижает силу примерно на 10 процентов. Мощность при этом всё равно растёт почти вдвое.

Откуда брать коэффициенты Cp, x, y и n? Из таблиц режимов резания в справочнике технолога-машиностроителя, том 2, либо из методички кафедры. Единого набора нет: значения зависят от обрабатываемого материала, материала режущей части и вида обработки. В расчётной работе принято указывать источник и номер таблицы, иначе числа выглядят взятыми с потолка.

Чем отличается расчёт при фрезеровании? Формула другая по структуре: там сила зависит ещё от ширины фрезерования, числа зубьев и диаметра фрезы, а подача берётся на зуб. Общий принцип тот же - степенная зависимость с табличными коэффициентами, но подставлять в неё коэффициенты для точения нельзя.

Как выбор марки твёрдого сплава влияет на силу резания? На саму силу почти не влияет: она определяется обрабатываемым материалом и сечением среза, а не пластиной. Марка вроде Т15К6 или ВК8 задаёт допустимую скорость и стойкость инструмента, а через скорость уже слегка меняет силу. Заметнее влияет геометрия: передний угол и угол в плане входят в $K_p$ напрямую.

Коротко

1. Выпиши из справочника коэффициенты $C_p$, $x$, $y$, $n$ строго для своей пары обрабатываемый материал и материал резца; для стали твёрдым сплавом это 300, 1,0, 0,75 и минус 0,15.
2. Собери поправку $K_p$ из пяти множителей: по пределу прочности материала, главному углу в плане, переднему углу, углу наклона кромки и радиусу при вершине. Совпали условия с табличными - получится единица.
3. Посчитай силу по формуле $P_z = 10 C_p t^x s^y v^n K_p$, не теряя множитель 10, и проверь себя по удельной силе $P_z / (ts)$: для стали норма 1500 до 2500 МПа.
4. Найди мощность резания $N_e = P_z v / 60000$ и сравни её с располагаемой мощностью шпинделя $N_{\text{дв}} \eta$, а не с мощностью двигателя.
5. Для примера с $t = 3$ мм, $s = 0{,}5$ мм/об и $v = 120$ м/мин получаем $P_z \approx 2610$ Н, $N_e = 5{,}22$ кВт против 7,5 кВт на шпинделе: режим проходит с запасом 30 процентов.