Как найти спектр сигнала: пошаговое решение

Дано: периодическая последовательность прямоугольных импульсов, амплитуда $A = 5$ В, длительность импульса $\tau = 1$ мс, период повторения $T = 4$ мс. Найти: амплитудный и фазовый спектр, первые шесть гармоник, ширину спектра и минимальную частоту дискретизации.

Спектр периодического сигнала - это набор амплитуд и фаз гармоник, на которые сигнал раскладывается рядом Фурье. Для прямоугольных импульсов все амплитуды дает одна формула с функцией $\mathrm{sinc}$, так что считать интегралы заново не нужно. Ответ: частота первой гармоники $250$ Гц, постоянная составляющая $1{,}25$ В, амплитуды первых шести гармоник $2{,}25$; $1{,}59$; $0{,}75$; $0$; $0{,}45$; $0{,}53$ В, ширина спектра по первому нулю $1000$ Гц, частота дискретизации не ниже $2000$ Гц. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: подвигай ползунок длительности и увидишь, как спектр растягивается.

Решение по шагам

Шаг 1. Находим частоту первой гармоники. Спектр периодического сигнала дискретный: линии стоят только на частотах, кратных частоте повторения. Она обратна периоду:

$$f_1 = \frac{1}{T} = \frac{1}{4 \cdot 10^{-3}\ \text{с}} = 250\ \text{Гц}.$$

Значит, гармоники сидят на $250$, $500$, $750$, $1000$ Гц и дальше через каждые $250$ Гц. Никаких промежуточных частот в спектре нет и быть не может: это главное отличие периодического сигнала от импульса-одиночки.

Шаг 2. Считаем скважность и постоянную составляющую. Скважность показывает, какую долю периода занимает импульс:

$$q = \frac{T}{\tau} = \frac{4\ \text{мс}}{1\ \text{мс}} = 4.$$

Постоянная составляющая - это среднее значение сигнала за период, то есть площадь импульса, размазанная по всему периоду:

$$A_0 = A \cdot \frac{\tau}{T} = \frac{A}{q} = \frac{5}{4} = 1{,}25\ \text{В}.$$

Шаг 3. Выписываем формулу амплитуд. Для прямоугольных импульсов амплитуда $n$-й гармоники равна

$$A_n = \frac{2A\tau}{T}\left|\frac{\sin\left(\pi n \tau / T\right)}{\pi n \tau / T}\right| = 2A_0 \left|\mathrm{sinc}\left(\frac{\pi n}{q}\right)\right|.$$

Множитель перед модулем - это $2A_0 = 2{,}5$ В, удвоенная постоянная составляющая. Он задает высоту огибающей в нуле частот, а сама функция $\mathrm{sinc}$ решает, насколько каждая гармоника ниже этого потолка.

Шаг 4. Подставляем номера гармоник. Аргумент равен $\pi n / 4$, считаем по очереди:

Проверь глазами две вещи. Четвертая гармоника обнулилась - так и должно быть при целой скважности: пропадает каждая $q$-я линия, у нас каждая четвертая. И шестая гармоника выше пятой: после нуля начинается второй лепесток огибающей, внутри которого амплитуда сначала растет.

Шаг 5. Находим ширину спектра. Первый нуль огибающей приходится на частоту, обратную длительности импульса:

$$\Delta f = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{10^{-3}\ \text{с}} = 1000\ \text{Гц}.$$

В этой полосе сосредоточена основная мощность. Проверим: полная средняя мощность на единичном сопротивлении $P = A^2 \tau / T = 6{,}25$ В², а постоянная составляющая вместе с тремя первыми гармониками дают $A_0^2 + \tfrac{1}{2}\left(A_1^2 + A_2^2 + A_3^2\right) = 5{,}64$ В², то есть $90{,}3\ \%$. Оставшиеся лепестки набирают меньше десятой части.

Шаг 6. Выбираем частоту дискретизации. По теореме Котельникова частота дискретизации должна быть больше удвоенной верхней частоты спектра:

$$f_{\text{д}} \geq 2 f_{\max} = \frac{2}{\tau} = 2000\ \text{Гц}.$$

На практике берут запас в 2,5–3 раза от $f_{\max}$, то есть $2500$–$3000$ Гц, потому что хвосты спектра за первым нулем не равны нулю и при дискретизации складываются в основную полосу.

Ответ: $f_1 = 250$ Гц, $A_0 = 1{,}25$ В, $A_1 = 2{,}25$ В, $A_2 = 1{,}59$ В, $A_3 = 0{,}75$ В, $A_4 = 0$, $A_5 = 0{,}45$ В, $A_6 = 0{,}53$ В; фазы первых трех гармоник нулевые, пятой и шестой - $180^\circ$; ширина спектра $1000$ Гц, $f_{\text{д}} \geq 2000$ Гц.

Формула и откуда она берётся

Формула амплитуд - не отдельное правило для импульсов, а посчитанный один раз коэффициент ряда Фурье. Сигнал раскладывается в сумму гармоник, и для четного сигнала (импульс поставлен симметрично относительно нуля времени) остаются только косинусы:

$$u(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos\left(2\pi n f_1 t + \varphi_n\right), \qquad A_n = \frac{2}{T}\left|\int_{-T/2}^{T/2} u(t)\, e^{-j 2\pi n f_1 t}\, dt\right|.$$

Интеграл берется по той части периода, где сигнал не равен нулю, то есть от $-\tau/2$ до $\tau/2$. Там подынтегральная функция - обычная экспонента с постоянным множителем $A$, первообразная дает разность двух экспонент, а она по формуле Эйлера сворачивается в синус. Отсюда и появляется $\sin(\pi n \tau / T)$ в числителе и $\pi n \tau / T$ в знаменателе. Сама техника вычисления коэффициентов разобрана отдельно в задаче как разложить функцию в ряд Фурье - здесь мы пользуемся уже готовым результатом.

Полезно запомнить логику размерностей, она страхует от путаницы. Период $T$ отвечает за шаг между линиями: чем реже повторяются импульсы, тем гуще спектр. Длительность $\tau$ отвечает за огибающую: чем короче импульс, тем шире спектр. Эти два параметра работают независимо, и именно поэтому в формуле они входят и порознь ($1/T$ и $1/\tau$), и в виде отношения $\tau/T$.

Фазовый спектр: почему только 0 и 180 градусов

Фазовый спектр показывает, с каким сдвигом каждая гармоника входит в сумму. У нашего сигнала фаза принимает только два значения, и причина чисто алгебраическая: функция $\mathrm{sinc}$ вещественная и меняет знак при переходе через нули. Пока она положительна, гармоника входит со знаком плюс, и фаза равна нулю. В следующем лепестке она отрицательна, минус перед косинусом равносилен сдвигу на половину периода, то есть на $180^\circ$.

Важная оговорка: так получается только потому, что начало отсчета времени поставлено в середину импульса. Сдвинь сигнал на $t_0$ - и к фазе каждой гармоники добавится слагаемое $-2\pi n f_1 t_0$, линейно растущее с номером. Амплитудный спектр при этом не изменится ни на йоту: сдвиг во времени умножает спектр на комплексную экспоненту с единичным модулем. Поэтому в учебных задачах почти всегда просят именно амплитудный спектр - он не зависит от того, где студент поставил ноль на оси времени.

Если сигнал задан отсчётами, а не формулой

Когда вместо аналитической записи есть массив измерений, спектр считают дискретным преобразованием Фурье. Возьмем наш сигнал с частотой дискретизации $f_{\text{д}} = 8000$ Гц и $N = 32$ отсчетами. Тогда окно анализа длится $N / f_{\text{д}} = 4$ мс - ровно один период, а шаг по частоте получается

$$\Delta f_{\text{ДПФ}} = \frac{f_{\text{д}}}{N} = \frac{8000}{32} = 250\ \text{Гц},$$

то есть в точности $f_1$. Каждая гармоника попадает в свою корзину без растекания, и модуль $k$-го коэффициента ДПФ, умноженный на $2/N$, дает ровно ту же амплитуду $A_k$, что и формула выше. Если бы период не укладывался в окно целое число раз, энергия размазалась бы по соседним корзинам - это эффект утечки, и лечится он оконными функциями. Обратный переход от спектра к отсчетам описан в разборе обратного дискретного преобразования Фурье, а для четных сигналов вместо полного ДПФ иногда берут косинусное преобразование.

Частые ошибки

• Путают $1/T$ и $1/\tau$. Период задает расстояние между линиями спектра, длительность импульса - положение нулей огибающей. Подставив $\tau$ вместо $T$ в шаге 1, получишь $1000$ Гц вместо $250$ и сдвинешь весь спектр вчетверо.
• Теряют множитель 2 в амплитуде. Коэффициент перед модулем равен $2A\tau/T$, а не $A\tau/T$: последнее - постоянная составляющая. Ошибка ровно вдвое занижает все гармоники.
• Считают нулевую гармонику по общей формуле. При $n = 0$ выражение $\sin(x)/x$ дает единицу, и формула вернет $2A_0$, то есть вдвое больше правильного. Постоянная составляющая всегда считается отдельно: $A_0 = A\tau/T$.
• Забывают модуль и выдают отрицательные амплитуды. Амплитуда неотрицательна по определению; знак коэффициента переносится в фазовый спектр как $180^\circ$.
• Обрывают спектр на первом нуле. За частотой $1/\tau$ лежат следующие лепестки, и в задаче на дискретизацию их надо учитывать хотя бы запасом по частоте.
• Берут частоту дискретизации ровно $2 f_{\max}$. Теорема Котельникова требует строгого неравенства, а реальный фильтр не бывает идеально прямоугольным, поэтому запас обязателен.

FAQ

Чем амплитудный спектр отличается от фазового? Амплитудный говорит, насколько сильна каждая гармоника, фазовый - с каким сдвигом она входит в сумму. Для восстановления сигнала нужны оба: по одному амплитудному спектру можно собрать бесконечно много разных сигналов, например превратить прямоугольные импульсы в размазанный всплеск, не тронув ни одной амплитуды.

Почему спектр периодического сигнала дискретный, а непериодического - сплошной? Периодичность означает, что сигнал повторяется через $T$, и в разложение годятся только те гармоники, которые за этот период укладываются целое число раз. У одиночного импульса такого ограничения нет: период формально бесконечен, шаг $1/T$ стремится к нулю, и линии сливаются в непрерывную спектральную плотность.

Что будет со спектром, если укоротить импульс? Огибающая растянется: первый нуль уйдет на частоту $1/\tau$, то есть вверх. Линии останутся на своих местах - их шаг задан периодом. Проверить легко калькулятором сверху: уменьши длительность с $1$ до $0{,}5$ мс, и ширина спектра вырастет с $1000$ до $2000$ Гц, а требуемая частота дискретизации удвоится.

Нужно ли считать бесконечное число гармоник? На практике ограничиваются полосой, в которой набирается 90–95 % мощности. У прямоугольных импульсов это первый лепесток, то есть полоса $1/\tau$. Попытка точно повторить фронт конечной суммой гармоник упирается в явление Гиббса - выбросы у скачка не исчезают с ростом числа слагаемых.

Коротко

1. Частота первой гармоники - обратный период: $f_1 = 1/T = 250$ Гц, линии спектра стоят только на кратных ей частотах.
2. Постоянная составляющая - среднее за период: $A_0 = A\tau/T = 1{,}25$ В.
3. Амплитуды гармоник: $A_n = 2A_0\left|\mathrm{sinc}(\pi n / q)\right|$, при скважности $q = 4$ каждая четвертая гармоника обнуляется.
4. Первые шесть гармоник: $2{,}25$; $1{,}59$; $0{,}75$; $0$; $0{,}45$; $0{,}53$ В, фазы $0$ до первого нуля и $180^\circ$ после него.
5. Ширина спектра $\Delta f = 1/\tau = 1000$ Гц, минимальная частота дискретизации $f_{\text{д}} \geq 2000$ Гц, с практическим запасом $2500$–$3000$ Гц.