Косинус-преобразование Фурье: формула и пример

Косинус-преобразование Фурье переводит функцию из «пространства координаты» $x$ в «пространство частот» $\omega$, раскладывая её не по комплексным экспонентам, а по одним только косинусам. Оно естественно возникает там, где функция задана на полуоси $x \ge 0$ или является чётной: тогда вся информация о ней сидит в косинусной части, а синусы не нужны. Ниже разберём определение и формулу с множителем $\sqrt{2/\pi}$, доведём до конца классический пример с затухающей экспонентой, посмотрим на обратное преобразование, проверим равенство Парсеваля и соберём типичные ошибки. А чтобы сразу почувствовать связь сигнала и его спектра, покрутите калькулятор ниже: он строит функцию слева и её косинус-образ справа и пересчитывает их на лету.

Что такое косинус-преобразование Фурье

Обычное преобразование Фурье работает с функциями на всей оси и использует комплексную экспоненту $e^{-i\omega x}$. Но если функция определена только при $x \ge 0$ (или продолжена на отрицательную полуось чётным образом), удобнее остаться в области вещественных чисел. Чётная функция раскладывается в интеграл по косинусам, и определение принимает вид:

$F_c(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} f(x)\,\cos(\omega x)\,dx.$

Здесь $F_c(\omega)$ называют косинус-образом, или косинус-спектром функции $f(x)$. Множитель $\sqrt{2/\pi}$ - это нормировка: она выбрана так, чтобы прямое и обратное преобразования выглядели симметрично и имели один и тот же коэффициент. В разных учебниках встречаются другие нормировки (например, множитель $2/\pi$ только в обратном преобразовании или вовсе единица), поэтому при решении задачи всегда сверяйтесь с тем определением, которое дано в вашем курсе.

Смысл формулы простой: интеграл измеряет, насколько «похож» сигнал $f(x)$ на косинус частоты $\omega$. Если на этой частоте у функции много энергии, интеграл велик и $F_c(\omega)$ большое; если функция почти не колеблется с такой частотой, образ близок к нулю. Перебирая все $\omega$ от нуля до бесконечности, мы получаем полный частотный портрет функции.

Формула на примере затухающей экспоненты

Канонический пример, который встречается почти в каждом задачнике, - затухающая экспонента $f(x) = e^{-a x}$ при $x \ge 0$, где $a > 0$ - скорость затухания. Подставим её в определение:

$F_c(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} e^{-a x}\cos(\omega x)\,dx.$

Этот интеграл - табличный, его берут двукратным интегрированием по частям или через формулу Эйлера. Результат:

$\int_0^{\infty} e^{-a x}\cos(\omega x)\,dx = \frac{a}{a^2 + \omega^2},$

а значит косинус-образ равен

$F_c(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{a}{a^2 + \omega^2}.$

Эта функция называется лоренцианой: гладкий горб с максимумом в нуле и плавно спадающими «хвостами». В точке $\omega = 0$ образ принимает наибольшее значение $F_c(0) = \sqrt{2/\pi}\,/a$, а с ростом частоты убывает как $1/\omega^2$. Калькулятор выше считает этот интеграл по той же формуле, так что значения на графике можно сверять с ручным расчётом.

Рассчитать для своей задачи

Дуальность ширины: узкий сигнал даёт широкий спектр

Самое полезное наблюдение из формулы - связь между шириной сигнала и шириной его спектра. Параметр $a$ задаёт, насколько быстро экспонента затухает: чем больше $a$, тем уже и круче горб $f(x)$. Посмотрите на знаменатель лоренцианы $a^2 + \omega^2$: при большом $a$ образ остаётся заметным до больших частот, то есть спектр становится широким. И наоборот - медленно затухающий сигнал (маленькое $a$) даёт узкий высокий пик в спектре.

Рассчитать для своей задачи

Удобная количественная мера ширины спектра - полуширина на полувысоте: частота, на которой $F_c(\omega)$ падает вдвое от пика. Для лоренцианы она в точности равна $a$ (подставьте $\omega = a$ в формулу: знаменатель удваивается, значит и образ уменьшается вдвое). Получается красивое правило: ширина сигнала по $x$ пропорциональна $1/a$, а ширина спектра по $\omega$ пропорциональна $a$. Их произведение не зависит от $a$ - это и есть математическая суть принципа неопределённости: нельзя одновременно сделать функцию узкой и в координате, и в частоте.

Обратное преобразование

Преобразование обратимо: по косинус-образу $F_c(\omega)$ можно восстановить исходную функцию той же формулой с тем же множителем:

$f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} F_c(\omega)\,\cos(\omega x)\,d\omega.$

Симметрия прямого и обратного преобразований - следствие удачно выбранной нормировки $\sqrt{2/\pi}$. Подставив сюда лоренциану из примера, мы должны снова получить $e^{-a x}$ - это хороший способ проверить себя. Интеграл $\int_0^{\infty} \frac{\cos(\omega x)}{a^2 + \omega^2}\,d\omega = \frac{\pi}{2a}\,e^{-a x}$ как раз и возвращает экспоненту.

На практике интеграл часто заменяют конечной суммой по сетке частот - именно это показано в анимации выше. Каждый косинус $\cos(\omega x)$ входит с весом $F_c(\omega)$, и чем больше частот мы суммируем, тем точнее сумма повторяет исходный сигнал. Вблизи точки $x = 0$, где у экспоненты излом, сходимость медленнее: восстановление этого участка требует высоких частот, которые мы при конечной сумме отбрасываем.

Равенство Парсеваля

Косинус-преобразование сохраняет энергию функции - это утверждает равенство Парсеваля:

$\int_0^{\infty} f(x)^2\,dx = \int_0^{\infty} F_c(\omega)^2\,d\omega.$

Иными словами, полная энергия сигнала одинакова, считаем ли мы её в координатной области или в частотной. Для нашего примера левую часть взять легко: $\int_0^{\infty} e^{-2a x}\,dx = \frac{1}{2a}$. Тот же результат должен дать и интеграл от квадрата лоренцианы по $\omega$ - и он действительно даёт $\frac{1}{2a}$. Калькулятор показывает это значение как «энергию сигнала»: оно растёт, когда затухание медленное (сигнал длинный), и падает при быстром затухании.

Равенство Парсеваля удобно не только для самопроверки. Оно позволяет вычислять сложные интегралы по частоте, переводя их в простые интегралы по координате, и лежит в основе анализа мощности сигналов в физике и обработке данных.

Где применяют косинус-преобразование

Косинус-преобразование Фурье встречается там, где работают с чётными функциями или с задачами на полуоси. В уравнениях теплопроводности и диффузии оно превращает производную по координате в умножение на $\omega^2$ и сводит уравнение в частных производных к обыкновенному. Его дискретный родственник - дискретное косинусное преобразование (DCT) - лежит в основе сжатия изображений в формате JPEG и звука в форматах вроде MP3: именно косинусы, а не комплексные экспоненты, дают вещественные коэффициенты и хорошо концентрируют энергию сигнала в немногих числах.

Частые ошибки

• Забывают множитель нормировки. Самая частая помарка - потерять $\sqrt{2/\pi}$ или поставить его не туда. Зафиксируйте определение из своего курса и держитесь его в обоих преобразованиях.
• Путают косинус- и синус-преобразование. Косинус-преобразование работает с чётным продолжением функции (и сохраняет значение в нуле), синус-преобразование - с нечётным (и обнуляет функцию в нуле). Для несимметричной функции это разные образы.
• Интегрируют по неверному пределу. В косинус-преобразовании предел нижний - ноль, а не минус бесконечность: функция живёт на полуоси $x \ge 0$.
• Считают спектр комплексным. Косинус-образ вещественной функции всегда вещественный, мнимой части у него нет, в отличие от полного преобразования Фурье.
• Теряют сходимость на изломе. При восстановлении функции с разрывом или изломом конечная сумма косинусов даёт рябь у особой точки, и это не ошибка вычислений, а свойство ряда.

FAQ

Чем косинус-преобразование отличается от обычного преобразования Фурье? Обычное преобразование использует комплексную экспоненту $e^{-i\omega x}$ и работает на всей оси, давая комплексный спектр. Косинус-преобразование применяют к функциям на полуоси или чётным функциям, оно использует только $\cos(\omega x)$ и даёт вещественный образ. По сути это частный случай преобразования Фурье для чётного продолжения функции.

Когда выбирать косинус-, а когда синус-преобразование? Косинус-преобразование берут, когда в нуле задано значение функции (например, в задачах с условием на саму функцию на границе), а синус-преобразование - когда в нуле функция обращается в ноль (условие на границе типа закрепления). Выбор диктуется граничными условиями задачи.

Почему в спектре экспоненты получается именно лоренциана? Потому что интеграл $\int_0^{\infty} e^{-a x}\cos(\omega x)\,dx$ равен $\frac{a}{a^2 + \omega^2}$, а это и есть форма лоренцианы. Та же функция описывает резонансные кривые в физике, и не случайно: затухающее по экспоненте колебание имеет именно такой частотный профиль.

Коротко

Косинус-преобразование Фурье раскладывает чётную функцию или функцию на полуоси по косинусам: $F_c(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} f(x)\cos(\omega x)\,dx$. Для затухающей экспоненты $e^{-a x}$ образ равен лоренциане $\sqrt{\frac{2}{\pi}}\,\frac{a}{a^2 + \omega^2}$ с пиком в нуле и полушириной $a$. Преобразование обратимо той же формулой, сохраняет энергию по равенству Парсеваля и наглядно показывает дуальность: чем уже сигнал, тем шире его спектр.