Синус-преобразование Фурье: формула и примеры

Синус-преобразование Фурье переводит функцию, заданную на полупрямой $x \ge 0$, из «пространства координаты» в «пространство частот», раскладывая её по синусам всех частот сразу. Оно удобно ровно там, где функция обращается в нуль на границе: $f(0) = 0$. В отличие от полного преобразования Фурье синус-вариант работает только с синусами, поэтому его образ всегда нечётный и сам зануляется в нуле. Ниже разберём определение и формулу синус-преобразования Фурье, найдём образ затухающей экспоненты, обсудим обратное преобразование, равенство Парсеваля и применение к уравнению теплопроводности. Чтобы сразу почувствовать связь между сигналом и его спектром, покрути калькулятор: он показывает обе кривые рядом и пересчитывает спектр на лету.

Определение и формула синус-преобразования Фурье

Синус-преобразование Фурье функции $f(x)$, заданной при $x \ge 0$, определяется интегралом

$F_s(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} f(x)\,\sin(\omega x)\,dx.$

Здесь $\omega \ge 0$ - частота, а множитель $\sqrt{2/\pi}$ выбран так, чтобы преобразование было симметричным: обратная формула выглядит точно так же. Функция $F_s(\omega)$ называется синус-образом функции $f$. По смыслу это «вес», с которым синус частоты $\omega$ входит в разложение исходного сигнала: где образ велик, там соответствующая синусоида вносит большой вклад.

Ключевая особенность видна сразу из формулы. При $\omega = 0$ под интегралом стоит $\sin 0 = 0$, поэтому любой синус-образ обращается в нуль в точке ноль: $F_s(0) = 0$. Это принципиально отличает его от косинус-образа, который, наоборот, обычно достигает максимума в нуле. Поэтому синус-преобразование Фурье естественно описывает величины, которые на границе обнуляются: смещение закреплённой струны, температуру с нулём на торце стержня, потенциал на заземлённой поверхности.

Образ затухающей экспоненты

Самый показательный учебный пример - затухающая экспонента $f(x) = e^{-a x}$ с параметром $a > 0$. Подставив её в определение, получаем табличный интеграл:

$F_s(\omega) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} e^{-a x}\,\sin(\omega x)\,dx = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\;\frac{\omega}{a^2 + \omega^2}.$

Этот образ - не лоренциана с пиком у оси, а «горб»: он стартует из нуля, поднимается и достигает максимума, после чего плавно спадает. Найти вершину легко: приравняв производную $F_s(\omega)$ по $\omega$ к нулю, получаем $\omega = a$, а высота максимума равна $\sqrt{2/\pi}\,/(2a)$. То есть максимум синус-спектра приходится ровно на частоту, равную скорости затухания сигнала.

Рассчитать для своей задачи

Здесь же проявляется дуальность ширины. Чем больше $a$, тем быстрее сигнал затухает и тем «уже» он во времени, но тем дальше вправо уезжает максимум спектра и тем ниже становится его вершина. Узкий сигнал требует широкого спектра, и наоборот - это та же самая связь, что лежит в основе принципа неопределённости. Сравнить поведение с чётным случаем удобно по соседней статье про косинус-преобразование Фурье, где образ той же экспоненты получается лоренцианой с максимумом в нуле.

Рассчитать для своей задачи

Обратное синус-преобразование Фурье

Симметричный выбор нормировки означает, что обратное преобразование совпадает по форме с прямым: по образу $F_s(\omega)$ исходную функцию восстанавливают тем же интегралом, только синус теперь складывает частоты обратно в координату:

$f(x) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} F_s(\omega)\,\sin(\omega x)\,d\omega.$

Подставив сюда найденный образ $\sqrt{2/\pi}\,\omega/(a^2 + \omega^2)$, после интегрирования снова получаем $e^{-a x}$ - пара «функция и её образ» замкнута. На анимации выше этот синтез показан наглядно: чем больше синусов мы складываем, тем точнее их сумма повторяет целевую экспоненту. И всегда при $x = 0$ сумма равна нулю, потому что каждый синус там зануляется - так преобразование автоматически «помнит» граничное условие.

Из обратной формулы видно, что синус-преобразование, применённое к функции дважды, возвращает её саму. Это свойство делает пару прямого и обратного преобразований инструментом для решения уравнений: переходим в пространство частот, решаем там простую задачу и возвращаемся обратно.

Равенство Парсеваля и энергия

Как и у других интегральных преобразований, у синус-варианта есть теорема о сохранении энергии - равенство Парсеваля:

$\int_0^{\infty} f(x)^2\,dx = \int_0^{\infty} F_s(\omega)^2\,d\omega.$

Оно говорит, что «энергия» сигнала, посчитанная по координате, в точности равна энергии его спектра, посчитанной по частоте. Преобразование лишь перераспределяет одну и ту же величину между двумя представлениями. Для экспоненты обе части считаются явно и дают $1/(2a)$, что подтверждает корректность найденного образа. В калькуляторе выше эта энергия выводится отдельным числом, и её можно сверить с площадью под квадратом каждой из кривых.

Равенство Парсеваля полезно не только для проверки. Оно позволяет, например, вычислять «трудные» интегралы от квадрата образа через простой интеграл от квадрата исходной функции, и наоборот - приём, который часто встречается в задачах по математической физике.

Применение к уравнению теплопроводности

Главная практическая ценность синус-преобразования Фурье - решение краевых задач на полупрямой с нулём на границе. Классический пример: уравнение теплопроводности $u_t = u_{xx}$ для стержня $x \ge 0$, у которого конец поддерживают при нулевой температуре, $u(0, t) = 0$, а начальное распределение задано функцией $u(x, 0) = f(x)$.

Применим синус-преобразование по координате $x$ к обеим частям уравнения. Вторая производная по $x$ при интегрировании по частям превращается в умножение образа на $-\omega^2$, причём именно граничное условие $u(0, t) = 0$ убирает внеинтегральные члены - потому-то синус-вариант здесь и подходит. Уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением по времени для образа $U_s(\omega, t)$:

$\frac{\partial U_s}{\partial t} = -\omega^2 U_s, \qquad U_s(\omega, t) = U_s(\omega, 0)\,e^{-\omega^2 t}.$

Решив его и вернувшись обратным преобразованием, получаем температуру $u(x, t)$ в любой момент. Так задача в частных производных сводится к школьной экспоненте по времени - в этом и состоит сила метода.

Частые ошибки

• Забывают, что образ зануляется в нуле. Если в ответе синус-образ при $\omega = 0$ не равен нулю, где-то потеряна нечётность: проверьте знаки и пределы интегрирования.
• Путают синус- и косинус-преобразование. Синус берут при граничном условии $f(0) = 0$ (закреплённый конец), косинус - при $f'(0) = 0$ (свободный конец). От выбора зависит, какие внеинтегральные члены исчезнут.
• Теряют множитель нормировки. Из-за разных соглашений множитель бывает $\sqrt{2/\pi}$, $1$ или $2/\pi$. Внутри одной задачи держите одно соглашение и согласуйте его с обратной формулой.
• Считают максимум спектра в нуле. У синус-образа экспоненты вершина не в нуле, а в точке $\omega = a$; приравнивание производной к нулю обязательно.
• Применяют преобразование к функции с ненулевым значением на границе. Тогда внеинтегральные члены не исчезают, и метод перестаёт упрощать задачу.

FAQ

Чем синус-преобразование Фурье отличается от косинус-преобразования? Синус-вариант раскладывает функцию по синусам и даёт нечётный образ, равный нулю при $\omega = 0$; косинус-вариант раскладывает по косинусам и даёт чётный образ, обычно максимальный в нуле. Синус подходит для условия $f(0) = 0$, косинус - для $f'(0) = 0$.

Когда применяют синус-преобразование, а когда полное преобразование Фурье? Синус-преобразование используют для функций на полупрямой $x \ge 0$ с нулём на границе. Полное преобразование Фурье работает со всей осью и комплексными экспонентами. Если функцию нечётно продолжить на всю ось, её полное преобразование сводится к синус-преобразованию.

Почему в формуле стоит множитель $\sqrt{2/\pi}$? Это симметричная нормировка: она делает прямое и обратное преобразования одинаковыми по форме и сохраняет энергию по равенству Парсеваля. Встречаются и другие соглашения, но симметричное удобнее всего для проверки результата обратным преобразованием.

Коротко

Синус-преобразование Фурье $F_s(\omega) = \sqrt{2/\pi}\int_0^{\infty} f(x)\sin(\omega x)\,dx$ раскладывает функцию на полупрямой по синусам; его образ нечётный и обнуляется в нуле. Для экспоненты $e^{-a x}$ образ - это горб $\sqrt{2/\pi}\,\omega/(a^2+\omega^2)$ с максимумом в $\omega = a$. Обратное преобразование совпадает по форме с прямым, энергия сохраняется по равенству Парсеваля, а главное применение - краевые задачи с нулём на границе, как уравнение теплопроводности на полупрямой.