Преобразование Ганкеля: определение, ядро и примеры

Преобразование Ганкеля переводит функцию, заданную на положительной полуоси, в функцию того же типа, но с ядром не из экспонент, а из функций Бесселя. Оно естественно появляется там, где задача обладает осевой (вращательной) симметрией: двумерное преобразование Фурье круглосимметричной функции сводится именно к Ганкелю, а уравнения Лапласа и Гельмгольца в цилиндрических координатах после разделения переменных дают радиальную часть с бесселевым ядром. Разберём строгое определение, роль порядка $\nu$, связь с многомерным Фурье, канонический пример с гауссианой и формулу обращения.

Ниже - интерактивный калькулятор: подвигайте параметры и посмотрите, как ядро-функция Бесселя осциллирует, а образ гауссианы при нулевом порядке снова оказывается гауссианой.

Определение преобразования Ганкеля

Преобразование Ганкеля порядка $\nu$ функции $f(r)$, заданной при $r > 0$, определяется как интеграл

$$F_\nu(k) = \mathcal{H}_\nu\{f\}(k) = \int_0^{\infty} f(r)\, J_\nu(kr)\, r\,dr,$$

где $J_\nu$ - функция Бесселя первого рода порядка $\nu$, а множитель $r$ (мера $r\,dr$) - это якобиан перехода к полярным координатам. Именно ядро $J_\nu(kr)$ отличает Ганкель от Фурье: вместо гладкой гармоники $e^{-i\omega r}$ здесь стоит осциллирующая, но затухающая бесселева функция. Переменная $k$ играет роль «радиальной частоты».

Ключевая особенность - симметричность преобразования. Если правильно выбрать нормировку (как в формуле выше), то прямое и обратное преобразования совпадают по форме: ядро одно и то же. Это делает Ганкель похожим на самосопряжённый оператор, чем активно пользуются в физике.

Порядок преобразования и функция Бесселя

Параметр $\nu$ называют порядком преобразования. Он не произволен - его диктует геометрия задачи. При разделении переменных в полярных координатах функция вида $g(r)\,e^{im\varphi}$ (угловая часть - $m$-я гармоника) даёт радиальное уравнение, решения которого выражаются через $J_{|m|}$. Поэтому угловой номер $m$ становится порядком $\nu = |m|$ преобразования Ганкеля.

Рассчитать для своей задачи

Сама функция Бесселя $J_\nu(x)$ ведёт себя как «затухающий косинус»: при больших аргументах

$$J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\, \cos\!\left(x - \frac{\nu \pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right),$$

то есть осциллирует с убывающей амплитудой $\sim x^{-1/2}$. Нули $J_\nu$ играют ту же роль, что и в разложении в ряд Фурье роль кратных частот: по ним строят ряды Фурье–Бесселя на конечном круге. У нуля же $J_0(0) = 1$, а $J_\nu(0) = 0$ при $\nu > 0$ - поэтому порядок влияет на поведение образа вблизи $k = 0$.

Связь с двумерным преобразованием Фурье

Главный источник Ганкеля - это многомерное преобразование Фурье круглосимметричной функции. Пусть на плоскости задана функция, зависящая только от радиуса: $f(\mathbf{x}) = f(r)$, где $r = |\mathbf{x}|$. Её двумерный Фурье-образ тоже зависит только от модуля частоты $k = |\mathbf{k}|$, и интегрирование по угловой переменной даёт:

$$\hat f(k) = 2\pi \int_0^{\infty} f(r)\, J_0(kr)\, r\,dr = 2\pi\, F_0(k).$$

То есть двумерный Фурье круглосимметричной функции - это (с точностью до множителя $2\pi$) преобразование Ганкеля нулевого порядка. Угловой интеграл $\int_0^{2\pi} e^{-i k r \cos\theta}\,d\theta = 2\pi J_0(kr)$ как раз и вытаскивает функцию Бесселя из экспоненты. Аналогично трёхмерный Фурье сферически-симметричной функции сводится к преобразованию со сферической бесселевой функцией. Эта связь объясняет, почему Ганкель - естественный язык дифракции, оптики и любых полей с осевой симметрией.

Рассчитать для своей задачи

Образ гауссианы: самовоспроизведение

Канонический пример, на котором стоит проверять формулы, - преобразование Ганкеля гауссианы. Возьмём $f(r) = e^{-r^2/2}$ и порядок $\nu = 0$. Тогда

$$\mathcal{H}_0\{e^{-r^2/2}\}(k) = \int_0^{\infty} e^{-r^2/2}\, J_0(kr)\, r\,dr = e^{-k^2/2}.$$

Образ снова оказывается гауссианой того же вида - гауссиана является собственной функцией преобразования Ганкеля нулевого порядка с собственным значением $1$. Это прямой аналог того, что гауссиана - собственная функция преобразования Фурье. В общем виде для ширины $a$ справедливо

$$\mathcal{H}_0\{e^{-a r^2}\}(k) = \frac{1}{2a}\, e^{-k^2/(4a)},$$

так что узкая в пространстве гауссиана даёт широкую в частоте и наоборот - то самое соотношение неопределённости, что и в преобразовании Фурье. На этом примере удобно проверять любую реализацию: если численный Ганкель гауссианы не возвращает гауссиану, ошибка в нормировке или в мере $r\,dr$.

Обратное преобразование Ганкеля

Восстановление функции по её образу выполняется интегралом ровно той же формы - в этом и состоит симметрия преобразования:

$$f(r) = \int_0^{\infty} F_\nu(k)\, J_\nu(kr)\, k\,dk.$$

Ядро то же самое $J_\nu(kr)$, мера - $k\,dk$ вместо $r\,dr$. Корректность обращения опирается на соотношение ортогональности (замкнутости) функций Бесселя:

$$\int_0^{\infty} J_\nu(kr)\, J_\nu(kr')\, k\,dk = \frac{1}{r}\,\delta(r - r'),$$

которое играет ту же роль, что и ортогональность гармоник $e^{i\omega t}$ для Фурье. Подставив это соотношение в прямое и обратное преобразования, получают тождество $f = \mathcal{H}_\nu^{-1}\mathcal{H}_\nu f$.

Свойства преобразования

Преобразование Ганкеля наследует набор удобных правил, аналогичных фурье-свойствам, но с поправкой на бесселево ядро. Пусть $F_\nu(k) = \mathcal{H}_\nu\{f\}(k)$. Тогда:

$$\begin{aligned} \mathcal{H}_\nu\{f(a r)\}(k) &= \frac{1}{a^2}\, F_\nu\!\left(\frac{k}{a}\right), \\ \mathcal{H}_\nu\{r^{\nu} g(r)\}(k) &\ \text{выражается через } \mathcal{H}_{\nu+1}, \\ \mathcal{H}_\nu\{\nabla^2 f\}(k) &= -k^2\, F_\nu(k). \end{aligned}$$

Последнее свойство - самое важное для приложений: радиальная часть оператора Лапласа в образе Ганкеля превращается в простое умножение на $-k^2$. Поэтому уравнения Лапласа, теплопроводности и Гельмгольца с осевой симметрией в Ганкель-образе становятся алгебраическими по радиальной частоте - ровно как Фурье превращает производную в умножение на $i\omega$.

Где применяется

Преобразование Ганкеля - рабочий инструмент сразу нескольких областей:

• Оптика и дифракция. Картина Фраунгофера от круглой апертуры - это Ганкель-образ функции пропускания; отсюда диск Эйри и функции рассеяния точки.
• Электростатика и теплопроводность. Осесимметричные краевые задачи для уравнения Лапласа в полупространстве решают разложением по бесселеву ядру.
• Акустика и волноводы. Распространение волн в цилиндрических структурах естественно описывается радиальными модами $J_\nu$.
• Обработка изображений. Для круглосимметричных ядер двумерная фильтрация сводится к одномерному Ганкелю - это ускоряет расчёт функций рассеяния.

Частые ошибки

• Потерять множитель $r$ в мере. Интеграл идёт с весом $r\,dr$, а не $dr$. Без этого якобиана образ гауссианы не выйдет гауссианой, и связь с двумерным Фурье разрушится.
• Перепутать порядок $\nu$. Порядок задаётся угловой гармоникой задачи $\nu = |m|$, а не выбирается произвольно. Неверный $\nu$ даёт неправильное поведение образа у нуля.
• Считать ядро экспонентой. В Ганкеле ядро - функция Бесселя $J_\nu(kr)$, а не $e^{-ikr}$. Перенос фурье-формул «как есть» ломает множители и нормировку.
• Забыть про нормировку обращения. Прямое и обратное преобразования симметричны только при согласованной нормировке; иначе появляется лишний множитель $2\pi$.
• Игнорировать сходимость. Для существования интеграла нужно достаточно быстрое убывание $f(r)$ на бесконечности; степенно убывающие функции требуют отдельного анализа.

FAQ

Чем преобразование Ганкеля отличается от преобразования Фурье? Фурье раскладывает функцию по плоским гармоникам $e^{-i\omega t}$ и работает на всей оси. Ганкель раскладывает функцию на полуоси $r > 0$ по бесселеву ядру $J_\nu(kr)$ с мерой $r\,dr$ и приспособлен к осевой симметрии. По сути это радиальная часть многомерного Фурье для круглосимметричных функций: двумерный Фурье такой функции равен $2\pi F_0(k)$.

Что задаёт порядок $\nu$ преобразования? Порядок диктует геометрия: при разделении переменных в полярных координатах угловая гармоника номера $m$ даёт радиальное уравнение Бесселя порядка $|m|$. Поэтому $\nu = |m|$. Для полностью круглосимметричных задач (нет угловой зависимости) берут $\nu = 0$ и ядро $J_0$.

Почему гауссиана переходит сама в себя? Гауссиана - собственная функция преобразования Ганкеля нулевого порядка: $\mathcal{H}_0\{e^{-r^2/2}\}(k) = e^{-k^2/2}$. Это тот же факт, что и для Фурье, и он отражает соотношение неопределённости: сжатие функции в пространстве растягивает её образ в частотной области.

Коротко

Преобразование Ганкеля $F_\nu(k) = \int_0^{\infty} f(r)\,J_\nu(kr)\,r\,dr$ переводит функцию с положительной полуоси в функцию радиальной частоты с ядром из функций Бесселя. Порядок $\nu$ задаёт угловая гармоника задачи, а множитель $r\,dr$ - якобиан полярных координат. Для круглосимметричных функций Ганкель нулевого порядка совпадает (с точностью до $2\pi$) с двумерным преобразованием Фурье. Канонический пример - гауссиана, переходящая сама в себя; формула обращения имеет ту же форму, что и прямое преобразование, благодаря ортогональности бесселевых функций.