Символы Кристоффеля: формула и геодезические

Символы Кристоффеля появляются в тот момент, когда обычной производной перестаёт хватать. Стоит перейти от декартовых координат к полярным или выйти с плоскости на сферу, и координатный базис начинает меняться от точки к точке: производная компонент вектора уже не описывает изменение самого вектора. Символы $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ и есть та поправка, которая возвращает смысл. Ниже разберём, откуда берётся формула через производные метрики, почему эти величины не образуют тензор и как они управляют движением по геодезической. Калькулятор сразу под этим абзацем считает оба ненулевых символа сферы и показывает, насколько геодезическая уходит от параллели.

Связность: зачем производной вектора нужна поправка

Вектор в точке многообразия раскладывается по координатному базису: $V = V^{\nu} e_{\nu}$. Когда мы дифференцируем его вдоль координаты $x^{\mu}$, меняются два объекта, а не один: и компоненты $V^{\nu}$, и сами базисные векторы. Производная базиса снова лежит в касательном пространстве, поэтому её можно разложить по тому же базису, и коэффициенты этого разложения и есть символы Кристоффеля:

$\partial_{\mu} e_{\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}\, e_{\lambda}.$

Отсюда сразу получается ковариантная производная, которая учитывает обе части изменения:

$\nabla_{\mu} V^{\lambda} = \partial_{\mu} V^{\lambda} + \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} V^{\nu}, \qquad \nabla_{\mu} \omega_{\nu} = \partial_{\mu} \omega_{\nu} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} \omega_{\lambda}.$

Для вектора поправка идёт со знаком плюс, для ковектора с минусом, и это не соглашение, а следствие того, что свёртка $V^{\nu}\omega_{\nu}$ обязана дифференцироваться как скаляр. Набор $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ называют коэффициентами связности: связность соединяет касательные пространства соседних точек и говорит, какой вектор в соседней точке считать «тем же самым». Тот же объект на языке дифференциальных форм записывается как матрица 1-форм, об этом подробнее в разборе формы связности расслоения.

Формула символов Кристоффеля через производные метрики

Связностей на многообразии бесконечно много. Риманова геометрия выбирает из них одну двумя условиями: метрика не меняется при переносе, $\nabla_{\lambda} g_{\mu\nu} = 0$, и кручения нет, то есть $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}$. Этих требований достаточно, чтобы связность определилась однозначно, и она называется связностью Леви-Чивиты. Её коэффициенты выражаются только через метрику и её первые производные:

$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\, g^{\lambda\sigma}\left(\partial_{\mu} g_{\sigma\nu} + \partial_{\nu} g_{\sigma\mu} - \partial_{\sigma} g_{\mu\nu}\right).$

Это и есть рабочая формула символов Кристоффеля второго рода. Символы первого рода получаются опусканием верхнего индекса: $\Gamma_{\sigma\mu\nu} = g_{\sigma\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$, то есть это та же скобка без множителя $g^{\lambda\sigma}$.

Практический порядок счёта короткий: выписать $g_{\mu\nu}$, найти обратную матрицу $g^{\mu\nu}$, продифференцировать компоненты метрики по каждой координате и собрать комбинацию. Симметрия по нижним индексам сокращает работу вдвое: в $n$ измерениях независимых символов $n^2(n+1)/2$, то есть 6 на поверхности и 40 в четырёхмерном пространстве-времени. Полезно помнить и свёрнутую форму $\Gamma^{\mu}_{\mu\nu} = \partial_{\nu} \ln\sqrt{|g|}$ - через неё быстро пишется дивергенция и оператор Лапласа-Бельтрами.

Почему символы Кристоффеля не тензор

При смене координат символы преобразуются не по тензорному закону. К обычной части добавляется слагаемое со второй производной:

$\Gamma'^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\rho}} \frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x'^{\mu}} \frac{\partial x^{\tau}}{\partial x'^{\nu}}\, \Gamma^{\rho}_{\sigma\tau} + \frac{\partial x'^{\lambda}}{\partial x^{\rho}} \frac{\partial^2 x^{\rho}}{\partial x'^{\mu} \partial x'^{\nu}}.$

Второе слагаемое не зависит от самих $\Gamma$, поэтому из нулевого набора символов может получиться ненулевой. Тензор так себя вести не может: если все его компоненты нулевые в одной системе координат, они нулевые в любой.

Рассчитать для своей задачи

Лучший пример - обычная плоскость. В декартовых координатах $ds^2 = dx^2 + dy^2$ метрика постоянна, все производные нулевые, и $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = 0$. Перейдём к полярным, $ds^2 = dr^2 + r^2 d\varphi^2$, и по той же формуле получим $\Gamma^{r}_{\varphi\varphi} = -r$ и $\Gamma^{\varphi}_{r\varphi} = \Gamma^{\varphi}_{\varphi r} = 1/r$. Кривизны здесь нет и быть не может, а символы есть: они описывают не искривление пространства, а поведение выбранных координат.

Верно и обратное утверждение. В любой точке можно подобрать локально инерциальные координаты, в которых все $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ обращаются в ноль, но убрать их сразу в целой окрестности удаётся только в плоском пространстве. Это геометрическая запись принципа эквивалентности Эйнштейна: в свободно падающей лаборатории гравитация исчезает локально, но приливные силы остаются. Из первых производных символов собирается уже настоящий тензор, тензор кривизны Римана, и вот он в плоском пространстве нулевой при любом выборе координат. Тензорна и разность двух связностей: неудобные слагаемые со второй производной в ней взаимно уничтожаются.

Уравнение геодезической

Геодезическая - это линия, вдоль которой касательный вектор переносится параллельно самому себе, то есть «максимально прямая» при данной метрике. Условие $\nabla_{u} u = 0$ в координатах превращается в уравнение геодезической:

$\frac{d^2 x^{\lambda}}{d s^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} \frac{d x^{\mu}}{d s} \frac{d x^{\nu}}{d s} = 0.$

Читается оно как второй закон Ньютона без силы: координатное ускорение равно минус свёртке символов Кристоффеля с квадратом скорости. Параметр $s$ обязан быть аффинным (натуральная длина, а для мировых линий с массой собственное время), иначе справа появляется дополнительное слагаемое.

Рассчитать для своей задачи

Анимация выше показывает главное следствие: координатная линия сама по себе геодезической не является. Прямая на карте и прямейшая линия на поверхности - разные вещи, и разницу между ними полностью задают символы Кристоффеля.

Расчёт для сферы: два символа и снос параллели

Возьмём метрику сферы радиуса $a$: $ds^2 = a^2\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2\right)$, то есть $g_{\theta\theta} = a^2$, $g_{\varphi\varphi} = a^2\sin^2\theta$ и $g^{\varphi\varphi} = 1/(a^2\sin^2\theta)$. От координат зависит только $g_{\varphi\varphi}$, и ненулевая производная всего одна: $\partial_{\theta} g_{\varphi\varphi} = 2a^2\sin\theta\cos\theta$. Подстановка в формулу даёт два символа:

$\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi} = -\frac{1}{2} g^{\theta\theta} \partial_{\theta} g_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\cos\theta, \qquad \Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi} = \frac{1}{2} g^{\varphi\varphi} \partial_{\theta} g_{\varphi\varphi} = \operatorname{ctg}\theta.$

Радиус $a$ сократился: символы Кристоффеля сферы от её размера не зависят. На экваторе $\theta = 90^{\circ}$ первый символ обращается в ноль, и экватор оказывается геодезической. На параллели $\theta = 60^{\circ}$ он равен $-0{,}433$, и тело, пущенное строго на восток, на параллели не удержится.

Рассчитать для своей задачи

Численно это видно на графике. Стартовав с параллели $\theta_0 = 60^{\circ}$, геодезическая через $\Delta\varphi = 90^{\circ}$ по долготе оказывается на экваторе, то есть сносится на $30^{\circ}$. Та же пара символов отвечает и за поворот вектора при параллельном переносе по замкнутой параллели: за полный обход широты $60^{\circ}$ вектор возвращается повёрнутым ровно на $180^{\circ}$. Этот поворот уже измеряет кривизну и разбирается в статье про тензор кривизны Римана.

Метрика Шварцшильда: откуда берётся притяжение

В общей теории относительности символы Кристоффеля играют роль напряжённости гравитационного поля. Для метрики Шварцшильда с функцией $f(r) = 1 - r_s/r$, радиусом $r_s = 2GM/c^2$ и координатой $x^0 = ct$ основные символы такие:

$\Gamma^{0}_{0r} = \frac{r_s}{2r^2 f}, \qquad \Gamma^{r}_{00} = \frac{r_s f}{2r^2}, \qquad \Gamma^{r}_{rr} = -\frac{r_s}{2r^2 f}, \qquad \Gamma^{r}_{\theta\theta} = -(r - r_s).$

Угловая часть повторяет сферу: $\Gamma^{\theta}_{\varphi\varphi} = -\sin\theta\cos\theta$ и $\Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi} = \operatorname{ctg}\theta$. Проверить смысл легко в ньютоновском пределе. Для медленного тела вдали от горизонта $f \approx 1$ и $dx^0/d\tau \approx c$, в уравнении геодезической выживает одно слагаемое, и радиальное ускорение равно

$\frac{d^2 r}{d\tau^2} \approx -\Gamma^{r}_{00} \left(\frac{d x^0}{d\tau}\right)^2 \approx -\frac{r_s c^2}{2r^2} = -\frac{GM}{r^2}.$

Получился закон всемирного тяготения. Никакой силы в уравнении нет, есть только геометрия, а её локальное проявление записано символами Кристоффеля. Сами уравнения поля формулируются уже через свёртки тензора кривизны, об этом в разборе тензора Эйнштейна.

Частые ошибки

• Считать символы Кристоффеля тензором и переносить их по тензорному закону. Из-за слагаемого со второй производной это неверно, и обнуление в одной системе координат ничего не говорит о другой.
• Путать ноль символов с плоскостью пространства. В полярных координатах на плоскости символы ненулевые, а кривизна нулевая; признак плоскости это $R^{\lambda}_{\mu\nu\rho} = 0$, а не $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = 0$.
• Терять симметрию по нижним индексам и считать все $n^3$ компонент. Для связности Леви-Чивиты $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}$, поэтому в 4D их 40, а не 64.
• Ошибаться в знаке ковариантной производной ковектора. У нижнего индекса поправка вычитается, и забытый минус ломает всю дальнейшую выкладку.
• Брать в уравнении геодезической неаффинный параметр, например координатное время вдали от нерелятивистского предела. Уравнение тогда перестаёт быть однородным.

FAQ

Чем символы Кристоффеля отличаются от тензора кривизны? Символы строятся из первых производных метрики и зависят от выбора координат. Тензор Римана собирается из производных самих символов и их квадратичных комбинаций и от координат не зависит: он обращается в ноль тогда и только тогда, когда пространство плоское.

Сколько символов Кристоффеля нужно посчитать в конкретной задаче? Формально $n^2(n+1)/2$, но на практике почти все обращаются в ноль. Работает правило: символ может быть ненулевым, только если хотя бы одна компонента метрики зависит от соответствующей координаты, поэтому в диагональных метриках достаточно перебрать производные диагонали.

Что означает $\Gamma^{\varphi}_{\theta\varphi} = \operatorname{ctg}\theta$ на сфере? Этот символ обеспечивает сохранение длины вектора при переносе: при приближении к полюсу параллели сжимаются, поэтому компонента скорости по долготе должна расти. У полюса котангенс расходится, но это особенность сферических координат, а не самой сферы.

Коротко

Символы Кристоффеля - коэффициенты связности Леви-Чивиты, поправка, превращающая частную производную в ковариантную. Считаются по формуле $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \tfrac{1}{2} g^{\lambda\sigma}(\partial_{\mu} g_{\sigma\nu} + \partial_{\nu} g_{\sigma\mu} - \partial_{\sigma} g_{\mu\nu})$, симметричны по нижним индексам и тензором не являются: при смене координат к ним добавляется слагаемое со второй производной. Они стоят в уравнении геодезической и определяют, как «прямейшая» линия расходится с координатной: на сфере два ненулевых символа, $-\sin\theta\cos\theta$ и $\operatorname{ctg}\theta$, дают снос в $30^{\circ}$ за четверть оборота с параллели $60^{\circ}$, а в метрике Шварцшильда тот же механизм воспроизводит ньютоновское ускорение $GM/r^2$.