Энергетическая щель сверхпроводника: BCS и эксперимент

В обычном металле спектр одночастичных возбуждений непрерывен вплоть до уровня Ферми. В сверхпроводнике картина иная: чтобы создать неспаренное возбуждение, нужно затратить минимум $\Delta$ энергии. Этот зазор в спектре и называется энергетической щелью сверхпроводника. Именно щель отвечает за нулевое сопротивление: при $k_B T \ll \Delta$ тепловых возбуждений почти нет, ток несут куперовские пары без рассеяния. Микроскопически щель появилась в теории Бардина-Купера-Шриффера (BCS) 1957 года, экспериментально её увидел Айвар Гивер в туннельных переходах в 1960-м.

Что такое энергетическая щель

Щель $\Delta$ - это полуширина запрещённой зоны вокруг уровня Ферми в спектре одночастичных возбуждений сверхпроводника. Спектр квазичастиц-боголюбонов имеет вид

$$E_k = \sqrt{\xi_k^2 + \Delta^2},$$

где $\xi_k = \varepsilon_k - \mu$ - кинетическая энергия электрона, отсчитанная от химического потенциала. Минимум $E_k$ достигается на поверхности Ферми ($\xi_k = 0$) и равен $\Delta$. Значит, чтобы разрушить одну куперовскую пару и получить два неспаренных электрона, нужно вложить минимум $2\Delta$.

Эта пара чисел - $\Delta$ для одной квазичастицы и $2\Delta$ для разрыва пары - отвечает за ключевые наблюдаемые: экспоненциальное затухание электронной теплоёмкости при $T \to 0$, край поглощения в инфракрасном спектре, порог в туннельных характеристиках. У обычного металла такого порога нет - спектр доходит до нуля.

BCS-теория Бардина-Купера-Шриффера

В 1957 году Джон Бардин, Леон Купер и Джон Шриффер показали: сколь угодно слабое притяжение между электронами вблизи поверхности Ферми (через обмен фононами) делает нормальное состояние неустойчивым. Электроны с противоположными импульсами и спинами объединяются в куперовские пары $(\mathbf{k}\uparrow, -\mathbf{k}\downarrow)$, и все пары конденсируются в единое квантовое состояние. Эта работа в 1972 году принесла авторам Нобелевскую премию.

В рамках самосогласованного приближения BCS даёт уравнение на щель:

$$\Delta = V \sum_k \frac{\Delta}{2 E_k} \tanh\!\left(\frac{E_k}{2 k_B T}\right),$$

где $V$ - эффективная сила притяжения. При $T = 0$ оно решается аналитически и приводит к универсальной связи между щелью и критической температурой $T_c$.

Чтобы оценить щель и сравнить её с реальными измерениями для конкретного материала, выбери ниже параметры и получи разбор: BCS-предсказание, экспериментальное отношение, симметрию параметра порядка и методы измерения.

Универсальное отношение 2Δ(0) ≈ 3.52 kB Tc

Главный численный результат BCS в режиме слабой связи (weak-coupling):

$$\frac{2\Delta(0)}{k_B T_c} \approx 3.52.$$

Отношение не зависит от микроскопических деталей: ни от плотности состояний $N_0$, ни от потенциала $V$, ни от частоты фононов - они все взаимно сокращаются. Это и сделало BCS триумфом: теория предсказала универсальную безразмерную константу, проверяемую на любом сверхпроводнике.

Для классических элементов отношение действительно близко к 3.52: Al - 3.4, Sn - 3.5, In - 3.6. Для сильносвязанных систем растёт: Pb - 4.3, Hg - 4.6, Nb - 3.8. В купратах $2\Delta_{\max}/k_B T_c$ доходит до 5-8. Сильное отклонение - индикатор неприменимости weak-coupling и необходимости поправок Элиашберга.

Температурная зависимость Δ(T)

При нагревании щель уменьшается и обращается в ноль при $T_c$. У BCS зависимость трансцендентная, но в двух пределах хорошо описывается простыми выражениями:

$$\Delta(T) \approx \Delta(0)\left[1 - \sqrt{\frac{2\pi k_B T}{\Delta(0)}}\, e^{-\Delta(0)/k_B T}\right], \quad T \ll T_c,$$ $$\Delta(T) \approx 1.74\, \Delta(0)\sqrt{1 - T/T_c}, \quad T \to T_c.$$

Вблизи $T_c$ щель ведёт себя как параметр порядка фазового перехода второго рода с критическим показателем $\beta = 1/2$ (среднеполевой). При $T = T_c$ она исчезает, но флуктуации параметра порядка могут давать наблюдаемые эффекты выше $T_c$ - псевдощель в купратах простирается до температур, заметно превосходящих $T_c$.

Плотность состояний и особенность BCS

Энергетическая щель радикально меняет плотность состояний квазичастиц. В нормальном металле она примерно постоянна вблизи уровня Ферми, $N(E) \approx N_0$. В сверхпроводнике BCS даёт

$$N(E) = N_0\, \frac{|E|}{\sqrt{E^2 - \Delta^2}}, \quad |E| > \Delta,$$

и ноль внутри щели $|E| < \Delta$. На краю $E = \pm\Delta$ плотность состояний расходится корневым образом - это сингулярность BCS. В реальном измерении расходимость сглажена конечным временем жизни квазичастиц, но острый пик сохраняется и хорошо виден в эксперименте.

Полное число состояний сохраняется: «выметенные» из щели состояния пере распределяются в пики на её краях. Именно эту структуру и регистрирует туннельная спектроскопия - производная туннельного тока $dI/dV$ при $T \to 0$ прямо пропорциональна $N(E)$.

Экспериментальные методы измерения

• Туннельная спектроскопия Гивера (1960). Контакт сверхпроводник - изолятор - нормальный металл. Ток включается только при $|eV| > \Delta$, что даёт порог на $I(V)$ и пик на $dI/dV$. Прямое измерение $\Delta$ с точностью лучше процента; Нобелевская премия 1973 года.
• STM/STS - то же измерение с атомным пространственным разрешением. Видны локальные вариации щели, вихри Абрикосова в поле, нодальные направления в купратах.
• ARPES - фотоэмиссия с угловым разрешением; прямо отображает $E_k$ и зависимость щели от направления $\mathbf{k}$. Основной метод для купратов и пниктидов.
• Теплоёмкость. При $T \ll T_c$ электронная $C_e \propto e^{-\Delta/k_B T}$ - наклон в $\ln C_e$ от $1/T$ даёт щель. Для нодальных d-волновых сверхпроводников экспонента сменяется степенью $T^2$.
• Андреевское отражение на N-S границе и оптическая спектроскопия с порогом $\hbar\omega > 2\Delta$ - независимые проверки.

Нестандартные сверхпроводники

В классических BCS-сверхпроводниках щель изотропна - одно и то же $\Delta$ во всех направлениях $\mathbf{k}$ (s-волна). В нестандартных системах симметрия параметра порядка сложнее.

Купраты (YBCO, BSCCO, Hg-1223) - d-волна с $d_{x^2-y^2}$ симметрией: $\Delta(\mathbf{k}) = \Delta_0(\cos k_x - \cos k_y)/2$. Параметр порядка меняет знак при повороте на 90 градусов, на диагоналях зоны Бриллюэна - нодальные точки, где щель строго равна нулю. В нодах квазичастицы существуют при сколь угодно низкой энергии, что даёт степенные зависимости теплоёмкости и проникновения вместо экспоненциальных. Прямое доказательство - фазочувствительные эксперименты на SQUID с трикристаллической геометрией (Цуи, КирТли, 1994).

Пниктиды железа (LaFeAsO, BaFe2As2, FeSe) - преимущественно s$\pm$-волна: щели на разных листах поверхности Ферми имеют противоположные знаки, но узлов внутри листа нет.

MgB2 - две щели одновременно: $\sigma$-зона ($\Delta \approx 7$ мэВ) и $\pi$-зона ($\Delta \approx 2$ мэВ), обе s-волновые. Пример multiband superconductivity. Sr2RuO4 и UPt3 - кандидаты на p-волну или хиральную $d \pm id$ симметрию с нарушением временной обратимости.

Эффект Купера и роль притяжения

Купер ещё до полной BCS-теории показал: два электрона над заполненной сферой Ферми со сколь угодно слабым притяжением всегда образуют связанное состояние - куперовскую пару. Ферми-сфера неустойчива относительно образования пар; притяжение получается за счёт обмена виртуальным фононом. Энергия связи экспоненциально мала по силе взаимодействия:

$$\Delta(0) \approx 2\hbar\omega_D\, e^{-1/N_0 V},$$

где $\omega_D$ - частота Дебая, $N_0$ - плотность состояний на уровне Ферми. $e^{-1/x}$ не разлагается в ряд в нуле - обычная теория возмущений сверхпроводимость не видит. Связь с эффектом Мейснера и макроскопической квантовой когерентностью разбирается в отдельном посте про эффект Мейснера.

Типовые задачи

• Зная $T_c$ ниобия (9.3 K), оценить $\Delta(0)$ в meV в weak-coupling BCS и сравнить с туннельным значением.
• По наклону $\ln C_e(1/T)$ восстановить щель и проверить соответствие BCS.
• Объяснить, почему теплоёмкость YBCO ведёт себя как $T^2$, а не как экспонента.
• Найти порог поглощения в инфракрасном спектре алюминия и сопоставить с $2\Delta$.

Частые ошибки

• Путают щель квазичастиц и энергию связи пары. Минимум энергии для одной квазичастицы - $\Delta$, для разрыва пары - $2\Delta$. Туннельный порог в N-I-S-переходе на $eV = \Delta$, а в S-I-S-переходе на $eV = 2\Delta$.
• Считают, что отношение $2\Delta/k_B T_c = 3.52$ точно для всех сверхпроводников. Оно строго универсально только в пределе слабой связи. У свинца, ртути и купратов отношение заметно больше.
• Думают, что щель изотропна всегда. В купратах щель имеет узлы на диагоналях ($d_{x^2-y^2}$), в пниктидах - может менять знак между листами поверхности Ферми ($s\pm$). «Полная щель» - это лишь частный случай s-волны.
• Сводят сверхпроводимость к нулевому сопротивлению. Без щели можно получить идеальный проводник, но не сверхпроводник: эффект Мейснера, квантование магнитного потока и эффект Джозефсона требуют именно когерентного конденсата с энергетической щелью.

FAQ

Чем отличается щель в сверхпроводнике от щели в полупроводнике? В полупроводнике щель - это разделение между валентной и зонной зонами в спектре одночастичных уровней, она есть и при $T = 0$ независимо от заполнения. В сверхпроводнике щель появляется из взаимодействия и сидит ровно на уровне Ферми; выше $T_c$ она исчезает, а вне самосогласованного решения её просто нет.

Можно ли «увидеть» щель в осциллограмме напрямую? Самый простой способ - туннельный переход с нормальным металлом и медленная развёртка по напряжению при гелиевых температурах. На $dI/dV(V)$ виден почти прямоугольный провал шириной $2\Delta/e$ с резкими пиками по краям. Для ниобия это около 3 мВ, для свинца - 2.7 мВ.

Что такое псевдощель в купратах и при чём здесь $\Delta$? В недодопированных купратах задолго до достижения $T_c$ в спектре уже видна частичная щель - псевдощель. Природа её до конца не выяснена: одни модели рассматривают её как предобразование куперовских пар без фазовой когерентности, другие - как самостоятельный конкурирующий порядок (например, волну зарядовой плотности).

Коротко

Энергетическая щель сверхпроводника $\Delta$ - это минимум энергии возбуждения одночастичного состояния над основным состоянием куперовского конденсата. BCS-теория предсказывает универсальное отношение $2\Delta(0) \approx 3.52\, k_B T_c$ в режиме слабой связи и характерную плотность состояний $N(E) = N_0 |E|/\sqrt{E^2 - \Delta^2}$ с расходимостью на краю. Щель прямо измеряется туннельной спектроскопией Гивера, STM, ARPES и теплоёмкостью; температурная зависимость $\Delta(T)$ обращается в ноль при $T_c$ как $\sqrt{1 - T/T_c}$. В нестандартных сверхпроводниках симметрия параметра порядка усложняется: купраты - d-волна с нодами, пниктиды железа - s$\pm$, MgB2 - две щели на двух зонах. Щель - центральная величина теории сверхпроводимости: через неё выражаются критическая температура, критическое поле, теплоёмкость, оптика и туннельные характеристики.