Теория сверхпроводимости БКШ: пары и конденсат

Сверхпроводимость открыл Камерлинг-Оннес ещё в 1911 году: при охлаждении ртути ниже 4,2 К её сопротивление падало строго в ноль. Но почти полвека явление оставалось без микроскопического объяснения - феноменологические модели Лондонов и Гинзбурга-Ландау описывали как ведёт себя сверхпроводник, но не почему. Ответ дала теория сверхпроводимости БКШ (Бардина-Купера-Шриффера) 1957 года: электроны вблизи поверхности Ферми связываются в пары через обмен фононами и конденсируются в одно квантовое состояние. Ниже - что именно утверждает теория, как из слабого притяжения рождается макроскопический квантовый эффект и какие предсказания сделали её бесспорной.

Чтобы быстро собрать разбор конкретного аспекта БКШ под вашу задачу - выберите параметры ниже.

Парадокс: почему электроны вообще притягиваются

Главная трудность, которую десятилетия не могли обойти: электроны заряжены одноимённо и кулоновски отталкиваются. Откуда взяться связанному состоянию двух электронов? БКШ показала, что в кристалле притяжение возникает опосредованно - через решётку ионов.

Электрон, пролетая, притягивает к себе положительные ионы и оставляет за собой область избыточного положительного заряда - локальную поляризацию решётки. Второй электрон чувствует этот «след» и притягивается к нему. На языке квантовой механики это обмен виртуальным фононом: один электрон испускает квант колебаний решётки, другой его поглощает.

Рассчитать для своей задачи

Ключевой момент - инерция ионов. Они тяжёлые и реагируют медленно, поэтому поляризация «доживает» до подлёта второго электрона, хотя сам первый уже далеко. Эта запаздывающая реакция решётки и делает эффективное взаимодействие притягивающим в узком слое энергий вблизи поверхности Ферми, шириной порядка дебаевской энергии фононов $\hbar\omega_D$.

Задача Купера: неустойчивость нормального состояния

В 1956 году Леон Купер решил модельную задачу: два электрона над заполненным ферми-морем со сколь угодно слабым притяжением между ними. Результат оказался драматичным - они образуют связанное состояние при любой силе притяжения $V > 0$, какой бы малой она ни была. В вакууме так не бывает: слабая яма связанного уровня не даёт. Здесь работает наличие заполненного ферми-моря, которое запрещает рассеяние внутрь и резко усиливает эффект.

Энергия связи куперовской пары экспоненциально мала:

$$E_{\text{связи}} \sim \hbar\omega_D \, e^{-2/(N(0)V)},$$

где $N(0)$ - плотность состояний на уровне Ферми. Сама эта экспонента $e^{-1/(N(0)V)}$ потом прорастёт во все ключевые формулы теории - она же стоит за невозможностью получить сверхпроводимость теорией возмущений (по $V$ её не разложить).

Вывод Купера означал: нормальное состояние металла неустойчиво относительно образования пар. Стоит включить притяжение - и системе выгодно перестроиться.

Куперовские пары: что это на самом деле

Распространённое заблуждение - представлять куперовскую пару как два электрона, «летящих рядышком». Это не так. Пара связывает электроны с противоположными импульсами и спинами: $(\mathbf{k}\uparrow, -\mathbf{k}\downarrow)$. Полный импульс пары равен нулю, полный спин - нулю (синглет). Поэтому пара ведёт себя как бозон.

Размер пары (длина когерентности $\xi$) огромен - сотни и тысячи межатомных расстояний. Внутри объёма одной пары находятся центры миллионов других пар. Пары сильно перекрываются, и говорить о них как об отдельных «молекулах» нельзя - это коллективное состояние.

Поскольку пары - составные бозоны с нулевым импульсом, им ничто не мешает занять одно квантовое состояние. Все пары конденсируются в единую когерентную волновую функцию - это и есть сверхпроводящий конденсат.

Основное состояние БКШ и параметр порядка

Бардин, Купер и Шриффер записали пробную волновую функцию основного состояния как когерентную суперпозицию: каждое парное состояние $(\mathbf{k}\uparrow, -\mathbf{k}\downarrow)$ либо занято парой, либо пусто, с амплитудами $v_k$ и $u_k$:

$$|\Psi_{\text{БКШ}}\rangle = \prod_k \left( u_k + v_k\, c^{\dagger}_{\mathbf{k}\uparrow} c^{\dagger}_{-\mathbf{k}\downarrow} \right) |0\rangle .$$

Минимизация энергии по $u_k, v_k$ даёт самосогласованное уравнение на щель - параметр порядка $\Delta$, который одновременно играет роль энергии связи и амплитуды конденсата. Подробно про щель, спектр квазичастиц $E_k = \sqrt{\xi_k^2 + \Delta^2}$ и её измерение - в отдельном разборе про энергетическую щель сверхпроводника.

Здесь важна логика: $\Delta$ ненулевая означает, что состояние со спариванием энергетически выгоднее нормального. Конденсат отделён от возбуждений энергетическим зазором, и именно поэтому ток не рассеивается - нет состояний, в которые пара могла бы рассеяться при малой энергии.

Рассчитать для своей задачи

Критическая температура и универсальное отношение

При нагреве тепловые флуктуации разрушают пары; при $T_c$ щель обращается в ноль и сверхпроводимость исчезает. БКШ даёт критическую температуру через ту же экспоненту:

$$k_B T_c \approx 1{,}13\, \hbar\omega_D \, e^{-1/(N(0)V)}.$$

Самое сильное предсказание теории - универсальное отношение щели при нуле температуры к $T_c$, не зависящее от материала:

$$\frac{2\Delta(0)}{k_B T_c} \approx 3{,}53 .$$

Для классических сверхпроводников (олово, индий, тантал) измерения дают 3,4-3,6 - попадание почти идеальное. Это отношение стало визитной карточкой БКШ: материалы с сильной связью (свинец, ртуть) дают чуть больше 4, и отклонение само по себе несёт информацию о механизме спаривания.

Изотопический эффект: проверка фононного механизма

Если притяжение идёт через фононы, частоты колебаний решётки должны влиять на $T_c$. А фононные частоты зависят от массы ионов: $\omega_D \propto M^{-1/2}$. Значит, предсказание прямое:

$$T_c \propto M^{-1/2}, \qquad T_c \sqrt{M} = \text{const}.$$

Изотопический эффект измерили на ртути ещё в 1950 году (до самой теории): образцы из разных изотопов ртути имели разные $T_c$ ровно по закону $M^{-1/2}$. Это было прямым указанием, что решётка участвует в механизме, и стало одной из главных эмпирических опор БКШ. Отклонения показателя от 1/2 у переходных металлов теория тоже объясняет - через кулоновский вклад и детали зонной структуры.

Что теория предсказала и объяснила

БКШ замкнула все известные на тот момент наблюдения и предсказала новые:

• Нулевое сопротивление - конденсат несёт ток без диссипации, рассеяние пары требует энергии больше щели.
• Эффект Мейснера - выталкивание магнитного поля следует из жёсткости волновой функции конденсата.
• Экспоненциальная теплоёмкость при $T \to 0$: $C \sim e^{-\Delta/(k_B T)}$ вместо линейной по $T$ у нормального металла - прямое следствие щели.
• Скачок теплоёмкости при $T_c$ с универсальным отношением $\Delta C / C_n \approx 1{,}43$.
• Эффект Джозефсона (1962) - туннелирование пар через тонкий барьер, предсказанное на языке когерентной фазы конденсата.

За работу 1957 года Бардин, Купер и Шриффер получили Нобелевскую премию по физике 1972 года (для Бардина - вторую).

Границы применимости

БКШ - теория слабой связи и фононного механизма. Она отлично работает для классических низкотемпературных сверхпроводников, но:

• Высокотемпературные купраты (с $T_c$ выше 90 К) она количественно не описывает - там, по-видимому, иной механизм спаривания (магнитные флуктуации), хотя парность электронов сохраняется.
• Сильная связь требует обобщения - теории Элиашберга, где фононный спектр учитывается полностью, а не одним числом $\omega_D$.
• Анизотропная щель (d-волна в купратах) выходит за рамки простейшей изотропной s-волновой БКШ.

Тем не менее сам каркас - спаривание, конденсат, щель - остаётся универсальным языком всей физики сверхпроводимости.

Частые ошибки

• «Куперовская пара - два электрона рядом». Нет: они связаны корреляцией в импульсном пространстве (противоположные $\mathbf{k}$ и спины), а пространственно перекрываются с миллионами других пар.
• «Электроны притягиваются напрямую». Нет, кулоновски они отталкиваются. Притяжение опосредованное - через поляризацию решётки (обмен фононом).
• «Сверхпроводимость можно получить теорией возмущений». Нельзя: ключевая зависимость $e^{-1/(N(0)V)}$ неаналитична по $V$ - её невозможно разложить в ряд по силе притяжения.
• «БКШ объясняет все сверхпроводники». Нет: высокотемпературные купраты её простая версия количественно не описывает - нужен другой механизм спаривания.
• «Щель и энергия связи пары - разные вещи». В БКШ это один и тот же параметр $\Delta$: он же щель в спектре, он же амплитуда конденсата.

FAQ

Чем БКШ отличается от теории Гинзбурга-Ландау? Гинзбург-Ландау (1950) - феноменологическая теория: вводит комплексный параметр порядка и описывает поведение сверхпроводника у $T_c$, но не объясняет природу спаривания. БКШ (1957) - микроскопическая: выводит спаривание из взаимодействия электронов с фононами. Позже Горьков показал, что Гинзбург-Ландау следует из БКШ как предельный случай вблизи $T_c$.

Почему сверхпроводимость возникает только при низких температурах? Энергия связи пары экспоненциально мала ($\sim\hbar\omega_D e^{-1/(N(0)V)}$), поэтому тепловые флуктуации разрушают пары уже при нескольких кельвинах. Чтобы поднять $T_c$, нужна либо большая плотность состояний $N(0)$, либо сильное притяжение $V$, либо иной механизм спаривания.

Зачем нужны именно фононы - нельзя ли спарить электроны иначе? В классических сверхпроводниках спаривание фононное, и это доказывает изотопический эффект. Но сама схема БКШ - спаривание плюс конденсат - работает с любым притягивающим взаимодействием. В купратах роль «клея», предположительно, играют магнитные (спиновые) флуктуации, а не фононы.

Коротко

Теория сверхпроводимости БКШ объясняет явление микроскопически: электроны вблизи поверхности Ферми притягиваются опосредованно через обмен фононами (поляризацию решётки) и связываются в куперовские пары с противоположными импульсами и спинами. Пары ведут себя как бозоны и конденсируются в единое квантовое состояние, отделённое от возбуждений энергетической щелью $\Delta$ - отсюда нулевое сопротивление и эффект Мейснера. Теория предсказала универсальное отношение $2\Delta(0)/k_B T_c \approx 3{,}53$, изотопический эффект $T_c \propto M^{-1/2}$, скачок теплоёмкости и эффект Джозефсона, что и принесло авторам Нобелевскую премию 1972 года. Простая версия БКШ описывает классические низкотемпературные сверхпроводники, но не высокотемпературные купраты - там механизм спаривания иной.