Статистика Бозе-Эйнштейна: формула, вывод и БЭК

Статистика Бозе-Эйнштейна описывает, как частицы с целым спином - фотоны, фононы, атомы $^{4}\text{He}$, $^{87}\text{Rb}$ и куперовские пары - распределяются по энергетическим уровням. От классического распределения Максвелла-Больцмана она отличается тем, что разрешает любое число тождественных частиц в одном квантовом состоянии, а от Ферми-Дирака - знаком в знаменателе. Из неё следуют закон Планка для излучения, теплоёмкость Дебая для кристаллов и явление бозе-эйнштейновской конденсации (БЭК) при температурах меньше критической $T_c$.

Бозоны: какие частицы подчиняются статистике

Бозоны - это частицы с целочисленным спином ($s = 0, 1, 2, \dots$). К ним относятся фотон ($s=1$), глюон, $W$- и $Z$-бозоны, бозон Хиггса, фононы (квазичастицы колебаний решётки), а также составные системы с чётным числом фермионов: $^{4}\text{He}$ (2 протона + 2 нейтрона + 2 электрона), $^{87}\text{Rb}$, $^{23}\text{Na}$, куперовские пары электронов в сверхпроводнике. Волновая функция системы тождественных бозонов симметрична относительно перестановки любых двух частиц:

$\Psi(\dots, q_i, \dots, q_j, \dots) = +\Psi(\dots, q_j, \dots, q_i, \dots).$

Из симметрии следует ключевое свойство: в одном одночастичном квантовом состоянии может находиться сколько угодно бозонов. Принцип запрета Паули на них не действует - это и есть физическая причина существования лазера, сверхтекучего гелия и БЭК.

Формула $f(E)$: среднее число частиц в состоянии

Среднее число бозонов в одночастичном состоянии с энергией $E$ при температуре $T$ и химическом потенциале $\mu$:

$f_{\text{BE}}(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/kT} - 1},$

где $k = 1{,}380649 \cdot 10^{-23}$ Дж/К - постоянная Больцмана. Эта величина - не вероятность (она может быть много больше единицы), а именно среднее заполнение уровня. Условие $\mu \leq E_{\min}$ обязательно: иначе при $E = \mu$ знаменатель обращается в нуль, а ниже - становится отрицательным, что физически бессмысленно.

Вывод из большого канонического ансамбля

Рассмотрим одночастичный уровень энергии $\varepsilon$, заполняемый $n = 0, 1, 2, \dots$ бозонами. Большая статистическая сумма для уровня:

$\Xi_\varepsilon = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n(\varepsilon - \mu)/kT} = \frac{1}{1 - e^{-(\varepsilon - \mu)/kT}}.$

Сумма геометрической прогрессии сходится только при $\varepsilon > \mu$ - отсюда сразу следует ограничение $\mu < E_{\min}$. Среднее число частиц:

$\langle n \rangle = kT \frac{\partial \ln \Xi_\varepsilon}{\partial \mu} = \frac{1}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} - 1}.$

Это и есть распределение Бозе-Эйнштейна. Сравните с фермионным случаем: там сумма по $n$ идёт только до $1$ (принцип Паули), получается $\langle n \rangle_{\text{FD}} = 1/(e^{(\varepsilon - \mu)/kT} + 1)$ - отличие в одном знаке, но это меняет всю физику.

Отличие от Ферми-Дирака и Максвелла-Больцмана

Три распределения сводятся в одну формулу с параметром $a$:

$f(E) = \frac{1}{e^{(E - \mu)/kT} + a}, \qquad a = \begin{cases} -1 & \text{Бозе-Эйнштейн} \\ +1 & \text{Ферми-Дирак} \\ \phantom{+}0 & \text{Максвелл-Больцман} \end{cases}$

При высокой температуре или малой плотности, когда $e^{(E-\mu)/kT} \gg 1$, единица в знаменателе несущественна и все три распределения переходят в классическое $f \approx e^{-(E-\mu)/kT}$. Квантовые эффекты заметны, когда тепловая длина волны де Бройля $\lambda_T = h/\sqrt{2\pi m kT}$ становится сравнима со средним межчастичным расстоянием $n^{-1/3}$.

Для бозонов $f_{\text{BE}}$ всегда больше $f_{\text{MB}}$ - частицы «слипаются» в низкоэнергетических состояниях (boson bunching). Для фермионов $f_{\text{FD}} \leq 1$ всегда - действует принцип Паули, низкоэнергетические уровни заполняются по одному до энергии Ферми $E_F$.

Бозе-эйнштейновская конденсация при $T < T_c$

В идеальном газе бозонов с массой $m$ и плотностью $n$ существует критическая температура

$T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{m k} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3} \approx \frac{3{,}31 \hbar^2 n^{2/3}}{m k},$

где $\zeta(3/2) \approx 2{,}612$ - дзета-функция Римана. Ниже $T_c$ обычная формула $f_{\text{BE}}$ перестаёт описывать всю систему: макроскопическая доля частиц «садится» в основное состояние с импульсом $p = 0$. Доля конденсата:

$\frac{N_0}{N} = 1 - \left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}.$

При $T \to 0$ все частицы оказываются в одном квантовом состоянии - это и есть бозе-эйнштейновский конденсат. Для $^{87}\text{Rb}$ при плотности $n \sim 10^{14}$ см$^{-3}$ получается $T_c \sim 100$ нК - отсюда нужны магнито-оптические ловушки и испарительное охлаждение.

Исторический контекст: Бозе 1924, Эйнштейн 1925

В 1924 году индийский физик Шатьендранат Бозе послал Эйнштейну рукопись «Закон Планка и гипотеза о квантах света», в которой вывел формулу Планка, не привлекая электродинамику, - чисто статистически, считая фотоны неразличимыми частицами с двумя поляризациями. Эйнштейн перевёл статью на немецкий, опубликовал её в Zeitschrift für Physik, а в 1924-1925 годах распространил подход на массивный идеальный газ и предсказал конденсацию. На практике эффект ждал 70 лет: атомы $^{4}\text{He}$ ниже $T_\lambda = 2{,}17$ К показывают сверхтекучесть (Капица, 1938) - но из-за сильного взаимодействия это не «чистый» БЭК.

Фотонный газ: $\mu = 0$ и закон Планка

Для фотонов в полости число частиц не сохраняется - они рождаются и поглощаются стенками. Это значит $\mu = 0$ независимо от $T$. Подставив $E = h\nu$ и умножив на плотность мод $8\pi\nu^2/c^3$, получаем спектральную плотность энергии:

$u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/kT} - 1}.$

Это закон Планка - точная формула излучения чёрного тела. В пределе $h\nu \ll kT$ из неё следует классический закон Рэлея-Джинса, а в обратном пределе $h\nu \gg kT$ - закон Вина. Максимум $u(\nu, T)$ даёт закон смещения Вина $\nu_{\max}/T \approx 5{,}88 \cdot 10^{10}$ Гц/К.

Фононы в кристалле и теплоёмкость Дебая

Колебания решётки квантуются как фононы - бозоны со спектром $\omega(k) = c_s k$ (в линейном приближении). Их также описывает $f_{\text{BE}}$ с $\mu = 0$. Полная тепловая энергия твёрдого тела:

$U(T) = 9 N kT \left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3 \int_0^{\Theta_D/T} \frac{x^3\,dx}{e^x - 1},$

где $\Theta_D$ - температура Дебая (для меди $\Theta_D \approx 343$ К, для алмаза $\approx 2230$ К). При $T \ll \Theta_D$ теплоёмкость $C_V \propto T^3$ - знаменитый закон $T^3$ Дебая, объясняющий, почему при низких температурах твёрдые тела «замораживают» колебательные степени свободы.

Экспериментальная БЭК: Корнелл, Виман, Кеттерле (1995)

В июне 1995 года Эрик Корнелл и Карл Виман (JILA, Боулдер) получили конденсат из $\sim 2000$ атомов $^{87}\text{Rb}$ при $T \approx 170$ нК. Через четыре месяца группа Вольфганга Кеттерле в MIT получила БЭК из $^{23}\text{Na}$ - уже с миллионами атомов и контрастной интерференционной картиной от двух перекрывающихся конденсатов. В 2001 году тройка получила Нобелевскую премию. Сегодня БЭК - рутинный инструмент: с его помощью моделируют физику конденсированного состояния в оптических решётках, реализуют атомные интерферометры и проверяют принцип эквивалентности.

Частые ошибки

• Считать $f_{\text{BE}}$ вероятностью. Это среднее число частиц в состоянии, оно может быть много больше единицы (а для $E \to \mu$ - расходиться). Вероятность найти ровно $n$ бозонов даёт геометрическое распределение $P(n) = (1-x) x^n$, где $x = e^{-(E-\mu)/kT}$.
• Брать $\mu > 0$ для массивных частиц. Химпотенциал ограничен снизу: $\mu \leq E_{\min}$. Для свободного газа $E_{\min} = 0$, поэтому $\mu \leq 0$ всегда; равенство достигается при $T = T_c$.
• Применять $\mu = 0$ ко всем бозонам. Это верно только когда число частиц не сохраняется (фотоны, фононы, магноны). Для атомного газа $\mu$ - самостоятельная функция $T$ и $n$.
• Путать БЭК и сверхтекучесть. Сверхтекучий $^{4}\text{He}$ - это не чистый идеальный БЭК: сильное межатомное взаимодействие сильно «размазывает» конденсатную долю (всего $\sim 10\%$ при $T \to 0$). Чистые БЭК - это разреженные атомные газы.
• Игнорировать ограничение $\zeta(3/2)$. При выводе $T_c$ интеграл $\int_0^\infty \varepsilon^{1/2}/(e^{\varepsilon/kT} - 1)\,d\varepsilon$ конечен - именно поэтому конденсация существует в 3D и не существует в идеальном однородном 2D-газе.

FAQ

Чем статистика Бозе-Эйнштейна отличается от Ферми-Дирака? Знаком в знаменателе и физикой за ним. У бозонов $f = 1/(e^{x} - 1)$, у фермионов $f = 1/(e^{x} + 1)$. Бозоны не ограничены принципом Паули, поэтому при низких температурах «слипаются» в основном состоянии; фермионы заполняют уровни до $E_F$ по одному.

Почему для фотонов $\mu = 0$? Потому что число фотонов не сохраняется - стенки полости их свободно поглощают и переизлучают. Равновесие устанавливается по энергии, а не по числу частиц, и условие минимума свободной энергии при свободном $N$ даёт $\partial F/\partial N = \mu = 0$.

Что такое критическая температура $T_c$ и от чего зависит? $T_c$ - температура, ниже которой макроскопическая доля бозонов оказывается в основном состоянии. Она растёт с плотностью как $n^{2/3}$ и падает с массой частиц как $1/m$. Поэтому БЭК легко получить на лёгких атомах при высокой плотности, но трудно при комнатной температуре.

Коротко

Статистика Бозе-Эйнштейна - это формула среднего числа частиц $f(E) = 1/(e^{(E-\mu)/kT} - 1)$ для бозонов: частиц с целым спином и симметричной волновой функцией. Она выводится из большой статсуммы как геометрическая прогрессия по числу заполнения уровня, требует $\mu \leq E_{\min}$, в классическом пределе переходит в распределение Максвелла-Больцмана и принципиально отличается от Ферми-Дирака знаком в знаменателе. Из неё следуют закон Планка (для фотонов с $\mu = 0$), закон $T^3$ Дебая для теплоёмкости твёрдых тел и явление бозе-эйнштейновской конденсации ниже $T_c \propto n^{2/3}/m$ - макроскопического заполнения основного состояния, экспериментально полученного Корнеллом, Виманом и Кеттерле в 1995 году.