Уравнение Гросса-Питаевского: вывод, решения и БЭК

Уравнение Гросса-Питаевского (ГП) - нелинейное уравнение Шрёдингера для макроскопической волновой функции $\psi(\mathbf r, t)$ слабовзаимодействующего бозе-конденсата. Оно описывает облако из $10^{4}$–$10^{7}$ ультрахолодных атомов в магнитооптической или дипольной ловушке, замораживает разреженный газ ниже критической температуры $T_c$ и одновременно объясняет квантовые вихри, тёмные солитоны и звук Боголюбова. Уравнение получено независимо Юджином Гроссом и Львом Питаевским в 1961 году как частный случай теории среднего поля для бозе-газа с дельта-образным взаимодействием.

Что такое уравнение Гросса-Питаевского

В стандартной нестационарной форме оно записывается так:

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V(\mathbf r)\psi + g|\psi|^2\psi.$$

Здесь $m$ - масса атома, $V(\mathbf r)$ - внешний потенциал (как правило гармонический $V = m(\omega_x^2 x^2 + \omega_y^2 y^2 + \omega_z^2 z^2)/2$), а нелинейная константа

$$g = \frac{4\pi\hbar^2 a_s}{m}$$

пропорциональна s-волновой длине рассеяния $a_s$. Нормировка $\int |\psi|^2\,d^3r = N$ - на полное число частиц, тогда $|\psi(\mathbf r)|^2 = n(\mathbf r)$ есть плотность конденсата. Стационарное состояние ищется через подстановку $\psi(\mathbf r, t) = \phi(\mathbf r) e^{-i\mu t/\hbar}$ - это сводит задачу к нелинейной задаче на собственное значение с химическим потенциалом $\mu$.

Tool выше собирает запрос: атом ($^{87}$Rb, $^{23}$Na, $^{7}$Li или своя длина рассеяния), геометрия ловушки и тип задачи - приближение Томаса-Ферми, профиль вихря, частота моды или расширение после выключения ловушки. Полезно, когда нужно быстро прикинуть химический потенциал или радиус облака для типовой постановки и сравнить с лабораторными данными.

Вывод из mean-field-приближения

Микроскопически система описывается N-частичным гамильтонианом с парным контактным взаимодействием $V_{int}(\mathbf r - \mathbf r') = g\,\delta(\mathbf r - \mathbf r')$. Контактная аппроксимация работает, когда длина рассеяния $a_s$ много меньше характерного межатомного расстояния $n^{-1/3}$, то есть параметр $n a_s^3 \ll 1$ - газ разрежен. В приближении Боголюбова бозон-операторы основной моды заменяются c-числом: $\hat\psi(\mathbf r) \to \psi(\mathbf r) + \delta\hat\psi$, где $\psi$ - конденсатная часть, а флуктуации $\delta\hat\psi$ малы. Подставляя в уравнение Гейзенберга $i\hbar\partial_t\hat\psi = [\hat\psi, \hat H]$ и оставляя ведущий порядок, получаем именно уравнение Гросса-Питаевского. Этот же результат выводится вариационно - минимизацией энергетического функционала

$$E[\psi] = \int \left( \frac{\hbar^2}{2m}|\nabla\psi|^2 + V|\psi|^2 + \frac{g}{2}|\psi|^4 \right) d^3r$$

при условии $\int|\psi|^2\,d^3r = N$ и появлением $\mu$ как множителя Лагранжа. Связь с микроскопической статистикой бозе-газа - в материале про статистику Бозе-Эйнштейна.

Длина рассеяния и знак нелинейности

Параметр $a_s$ определяет физику решения. При $a_s > 0$ (отталкивание, как у $^{87}$Rb с $a_s \approx 5{,}4$ нм или $^{23}$Na с $a_s \approx 2{,}8$ нм) конденсат стабилен в любой ловушке, и его равновесный профиль гладко растекается на размер $R_{TF}$. При $a_s < 0$ (притяжение, как у $^{7}$Li, $a_s \approx -1{,}5$ нм) однородный конденсат термодинамически неустойчив и схлопывается. В ловушке притягивающий газ удерживается до критического числа частиц $N_c \sim a_{ho}/|a_s|$, где $a_{ho} = \sqrt{\hbar/m\omega}$ - осцилляторная длина; при $N > N_c$ наблюдается коллапс с резким выбросом части атомов (эксперимент Хюлет, Райс, 1995–2001). Технологически знак $a_s$ перестраивается резонансом Фешбаха: магнитное поле меняет положение мелкого молекулярного уровня, и длина рассеяния проходит через сингулярность от $+\infty$ к $-\infty$.

Эксперимент: Корнелл, Виман, Кеттерле

Первый бозе-эйнштейновский конденсат получили Эрик Корнелл и Карл Виман с группой JILA 5 июня 1995 года - облако из примерно 2000 атомов $^{87}$Rb охладили до 170 нанокельвин лазерным охлаждением и испарительным охлаждением в магнитной ловушке-«квадруполе». Через 4 месяца Вольфганг Кеттерле (MIT) повторил результат с $^{23}$Na и большим числом атомов ($N \sim 5\cdot 10^5$). За эту работу - Нобелевская премия по физике 2001 года. С тех пор уравнение Гросса-Питаевского - рабочая модель десятков экспериментальных групп: оно предсказывает время разлёта, форму облака после time-of-flight (TOF), частоты коллективных мод и порог образования вихрей при вращении ловушки.

Приближение Томаса-Ферми

При большом числе частиц нелинейный член доминирует над кинетическим. Если выбросить в стационарном ГП слагаемое $-\hbar^2\nabla^2/2m$, остаётся алгебраическое уравнение:

$$\mu = V(\mathbf r) + g|\phi|^2 \;\Rightarrow\; n_{TF}(\mathbf r) = \frac{\mu - V(\mathbf r)}{g},$$

в области $V < \mu$ и нуль вне неё. Для изотропной ловушки $V = m\omega^2 r^2/2$ профиль - перевёрнутая парабола, радиус облака $R_{TF} = \sqrt{2\mu/m\omega^2}$, а химический потенциал из нормировки

$$\mu = \frac{\hbar\omega}{2}\left( \frac{15 N a_s}{a_{ho}} \right)^{2/5}.$$

Для типового рубидиевого облака с $N = 10^6$, $\omega/2\pi = 100$ Гц это даёт $\mu/k_B \sim 100$ нК и $R_{TF} \sim 10$ мкм - совпадает с TOF-измерениями с точностью около 5%. Приближение пробивается в тонком слое толщиной с длину залечивания $\xi = \hbar/\sqrt{2m\mu}$ у края облака - там кинетическим членом пренебрегать нельзя.

Вихри, солитоны и тёмные структуры

Уравнение ГП топологически богато. Квантовый вихрь - стационарное решение вида $\psi(r, \phi) = \sqrt{n_0}\,f(r/\xi)\,e^{i\ell\phi}$ с целым $\ell$. Циркуляция скорости $\oint \mathbf v\,d\mathbf l = 2\pi\hbar\ell/m$ квантована, плотность в центре строго равна нулю, а размер кора $\sim \xi$. Энергия вихря на единицу длины растёт логарифмически с радиусом облака - это качественно тот же закон, что в сверхтекучем $^{4}$He, и численно совпадает с экспериментами по вращению БЭК (Кеттерле, MIT, 1999). При большой угловой скорости появляется решётка Абрикосова из десятков вихрей.

Тёмные солитоны - одномерные минимумы плотности $\psi(z) = \sqrt{n_0}\tanh(z/\sqrt{2}\xi)$ - движутся в облаке со скоростью меньше скорости звука $c_s = \sqrt{g n/m}$ и не расплываются благодаря балансу дисперсии и нелинейности. Их получают фазовой печатью (phase imprinting) и используют для проверки точности самого ГП - поправки порядка $\sqrt{n a_s^3}$ из теории Боголюбова уже измеримы. При отрицательной $a_s$ в 1D-волноводе возможны яркие (bright) солитоны - связанные пакеты атомов, которые держатся силой собственного притяжения.

Динамика расширения после выключения ловушки

Стандартный диагностический трюк эксперимента: облако внезапно отпускают (ловушка $V \to 0$), и через 5–30 мс свободного полёта снимают теневое изображение. В приближении Томаса-Ферми расширение описывается масштабными уравнениями Кастина-Дюма:

$$\ddot b_i = \frac{\omega_i^2}{b_i b_x b_y b_z},$$

где $R_i(t) = b_i(t) R_i(0)$, $b_i(0) = 1$. Для сильно анизотропной «сигары» ($\omega_z \ll \omega_\perp$) поперечное направление успевает расшириться многократно, а продольное почти не меняется - облако переворачивается из вытянутого по оси $z$ в плоское поперечное. Это обращение анизотропии, ключевая подпись когерентного конденсата, отличающая его от теплового облака (которое разлетается изотропно по статистике Максвелла-Больцмана).

Численные методы и приложения

ГП - нелинейное и не имеет аналитических решений в общем случае, поэтому в ходу численные методы: split-step Фурье для нестационарной динамики, метод мнимого времени ($t \to -i\tau$) для поиска основного состояния, метод Ньютона на сетке с многосеточным предобуславливанием для возбуждённых ветвей. На основе ГП ставят и более тонкие задачи: квантовая симуляция (БЭК в оптической решётке как «аналоговый» гамильтониан Хаббарда), атомные часы на оптических переходах (учёт mean-field-сдвига частоты), интерферометрия атомных волноводов и проверка эффекта Унру. В двухкомпонентных смесях ($^{87}$Rb в двух сверхтонких состояниях) ГП обобщается на связанную систему - изучают спинорные текстуры и аналоги моделей космологической инфляции.

Частые ошибки

• Путают нормировку $\int|\psi|^2 = N$ и $\int|\psi|^2 = 1$. В первом случае $g = 4\pi\hbar^2 a_s/m$, во втором - $g \to gN$. Разные книги используют разные соглашения.
• Применяют приближение Томаса-Ферми у края облака. На расстоянии меньше $\xi$ от границы $V < \mu$ кинетический член не мал, и точная плотность гладко обнуляется, а не обрывается.
• Игнорируют тепловую фракцию. ГП описывает только конденсат при $T \ll T_c$. При $T \sim 0{,}5\,T_c$ нужны Хартри-Фока-Боголюбова или ZNG-методы.
• Считают, что $a_s < 0$ автоматически означает коллапс. В ловушке притягивающий газ удерживается до критического числа $N_c \sim a_{ho}/|a_s|$, и сжатие наблюдается только выше порога.
• Берут осцилляторные единицы и забывают про них в численных оценках. Перед сравнением с экспериментом всегда возвращайтесь к СИ: $\omega$ в радианах в секунду, $a_s$ в метрах.

FAQ

Чем уравнение Гросса-Питаевского отличается от обычного нелинейного уравнения Шрёдингера в оптике? Структурно они идентичны - $i\partial_t\psi = -\nabla^2\psi/2 + V\psi + g|\psi|^2\psi$ в безразмерных переменных. Но в оптике $\psi$ - это огибающая электрического поля и время заменено на координату вдоль волокна, тогда как в БЭК $\psi$ - волновая функция многих атомов, а $g$ получается из реальной s-волновой длины рассеяния. Из-за этого аналогии (оптические солитоны ↔ атомные солитоны) количественно полезны.

Когда уравнение перестаёт работать? Когда параметр $\sqrt{n a_s^3}$ перестаёт быть малым - это поправка Ли-Хуанга-Янга. В резонансных режимах около резонанса Фешбаха или в сильно сжатых ловушках нужны полная теория Боголюбова, квантовый Монте-Карло или расширения вроде Lee-Huang-Yang с членом $\sim |\psi|^5$.

Можно ли решать ГП без суперкомпьютера? Можно. Простая 1D-задача в гармонической ловушке считается за минуты на ноутбуке методом мнимого времени; 3D-задача с вихрями требует уже сетки $128^3$ и нескольких часов, но это всё ещё ноутбук, а не кластер.

Коротко

Уравнение Гросса-Питаевского - нелинейное уравнение Шрёдингера для одночастичной волновой функции бозе-конденсата, выведенное из mean-field-приближения слабовзаимодействующего разреженного газа. Нелинейный коэффициент $g = 4\pi\hbar^2 a_s/m$ через длину рассеяния задаёт знак взаимодействия и определяет всё дальнейшее: гладкий профиль Томаса-Ферми при отталкивании, коллапс при притяжении выше критического числа частиц, квантовые вихри с топологическим зарядом и тёмные солитоны. С 1995 года уравнение прошло проверку в десятках экспериментов с $^{87}$Rb, $^{23}$Na, $^{7}$Li и сегодня - стандартный инструмент атомной физики, квантовой симуляции и атомных часов.