Модель Изинга: точка Кюри и критические показатели

Модель Изинга - самая скупая модель магнетика, какую можно придумать: в узлах решётки сидят переменные $s_i = \pm 1$, соседи хотят смотреть в одну сторону, температура им мешает. При этом модель Изинга даёт настоящий фазовый переход второго рода, точно решается в одном и двух измерениях и задаёт целый класс универсальности, в который попадают и магнетики, и критическая точка жидкость-пар. Ниже разберём гамильтониан, одномерный и двумерный случаи, приближение среднего поля и критические показатели. Начать удобно с калькулятора: он считает намагниченность по точной формуле Онсагера и по среднему полю одновременно, так что расхождение двух подходов видно сразу.

Гамильтониан модели Изинга

Энергия конфигурации спинов записывается так:

$H = -J\sum_{\langle i j \rangle} s_i s_j - h\sum_i s_i, \qquad s_i = \pm 1.$

Здесь $\langle i j \rangle$ - суммирование по парам ближайших соседей, каждая пара берётся ровно один раз; $J$ - обменный интеграл, $h$ - внешнее магнитное поле (в энергетических единицах). При $J > 0$ каждая согласованная пара понижает энергию на $J$, а несогласованная повышает на $J$: модель ферромагнитная. При $J < 0$ выгодно противоположное соседство, и на квадратной решётке получается шахматный антиферромагнитный порядок.

Энергию конкретной конфигурации считают вручную по связям. Возьмём цепочку из шести спинов $(+,+,-,+,-,-)$ с периодическими границами и $J = 1$, $h = 0$. Связей ровно шесть, их произведения равны $+1, -1, -1, -1, +1, -1$, сумма равна $-2$, поэтому $H = -J \cdot (-2) = 2J$. Для сравнения, у полностью упорядоченной цепочки $H = -6J$: разница в $8J$ и есть цена четырёх доменных стенок в этой конфигурации.

Физически $J$ - это не магнитное диполь-дипольное притяжение, слишком слабое для комнатных температур, а квантовый эффект перекрытия волновых функций, разобранный в статье про обменное взаимодействие в ферромагнетике. Модель Изинга огрубляет его до предела: от спина остаётся одна проекция, от решётки - топология соседства. Весь дальнейший сюжет - конкуренция энергии, которая выстраивает спины, и энтропии, которая их перемешивает.

Одномерная цепочка: перехода нет

Цепочку Изинга решил сам Эрнст Изинг в 1925 году методом трансфер-матрицы. При нулевом поле свободная энергия на спин равна

$f = -kT\ln\big(2\cosh(J/kT)\big),$

и это аналитическая функция температуры при любом $T > 0$: никакой особенности, а значит, и никакого фазового перехода. Намагниченность в поле $h$ тоже считается точно:

$m = \frac{\sinh(h/kT)}{\sqrt{\sinh^2(h/kT) + e^{-4J/kT}}},$

и при $h \to 0$ она обращается в ноль для любой конечной температуры. Спонтанной намагниченности у цепочки нет.

Причина видна из корреляций: $\langle s_0 s_r \rangle = \tanh^r(J/kT) = e^{-r/\xi}$, где длина корреляции $\xi = -1/\ln\tanh(J/kT)$ конечна при любом $T > 0$ и расходится только в нуле температуры.

Рассчитать для своей задачи

Есть и наглядный энтропийный аргумент. Одна доменная стенка в цепочке из $N$ спинов стоит энергии $2J$, но поставить её можно $N$ способами, то есть она даёт выигрыш энтропии $k\ln N$. Изменение свободной энергии $\Delta F = 2J - kT\ln N$ при больших $N$ отрицательно при любой температуре: стенки рождаются сами, дальний порядок рвётся. Изинг из своего результата сделал вывод, что модель не упорядочивается ни в каком числе измерений, - и ошибся.

Двумерная решётка: решение Онсагера

В 1944 году Ларс Онсагер точно вычислил свободную энергию двумерной модели Изинга на квадратной решётке при $h = 0$ и нашёл, что особенность всё-таки есть. Критическая температура определяется условием

$\sinh\!\left(\frac{2J}{kT_c}\right) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{kT_c}{J} = \frac{2}{\ln(1+\sqrt{2})} \approx 2{,}269.$

Ниже этой точки Кюри решётка намагничена спонтанно, и намагниченность тоже известна в замкнутом виде (результат объявлен Онсагером в 1948 году, опубликованный вывод принадлежит Янгу, 1952):

$m(T) = \left[1 - \sinh^{-4}\!\left(\frac{2J}{kT}\right)\right]^{1/8}, \qquad T < T_c.$

Показатель $1/8$ делает кривую почти плоской вдали от перехода и бесконечно крутой у самой точки Кюри: при $T = 2{,}0\,J/k$ намагниченность ещё $0{,}911$, при $T = 2{,}2\,J/k$ - уже $0{,}785$, а на интервале последних процентов до $T_c$ она обрушивается в ноль с вертикальной касательной.

Теплоёмкость в точке Кюри тоже особенна, но мягче: она расходится логарифмически, $C \sim -\ln|T - T_c|$, что отвечает показателю $\alpha = 0$. Это принципиально отличается от перехода первого рода, где скрытая теплота даёт дельта-функцию, а намагниченность прыгает скачком.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание: сам переход виден не как исчезновение спинов, а как исчезновение согласованности между ними. Выше $T_c$ домены дробятся до размера порядка длины корреляции, и суммарная намагниченность гаснет. У реального ферромагнетика та же точка Кюри отвечает за исчезновение петли гистерезиса.

Приближение среднего поля

Точное решение есть только для $d = 1$ и $d = 2$ при $h = 0$, поэтому в общем случае работают приближением среднего поля. Идея простая: спин $s_i$ чувствует не конкретные соседи, а их среднее значение $m$. Тогда каждый спин живёт в эффективном поле $zJm + h$, где $z$ - число ближайших соседей, и получается самосогласованное уравнение

$m = \tanh\!\left(\frac{zJm + h}{kT}\right).$

Решают его графически: ищут пересечение прямой $y = m$ с сигмоидой $y = \tanh(zJm/kT)$. При $h = 0$ у уравнения всегда есть корень $m = 0$, а ненулевой появляется, когда наклон правой части в нуле превышает единицу: $zJ/kT > 1$. Отсюда оценка $kT_c = zJ$. Для квадратной решётки $z = 4$, то есть $kT_c/J = 4$ против точных $2{,}269$ - завышение в 1,76 раза.

Рассчитать для своей задачи

Причина завышения в том, что среднее поле игнорирует флуктуации: каждый сосед считается «в среднем упорядоченным», хотя на деле рядом с $T_c$ решётка состоит из рыхлых кластеров. Для цепочки приближение и вовсе предсказывает переход при $kT_c = 2J$, которого нет вообще. Чем больше соседей, тем точнее оценка: при $d \geq 4$ она становится точной, а показатели среднего поля - верными.

Критические показатели и универсальность

Вблизи перехода величины ведут себя степенным образом по приведённой температуре $t = (T - T_c)/T_c$: намагниченность $m \sim |t|^{\beta}$, восприимчивость $\chi \sim |t|^{-\gamma}$, длина корреляции $\xi \sim |t|^{-\nu}$, теплоёмкость $C \sim |t|^{-\alpha}$, а на самой критической изотерме $m \sim h^{1/\delta}$.

Показатели не независимы: соотношения подобия $\alpha + 2\beta + \gamma = 2$ и $\delta = 1 + \gamma/\beta$ выполняются во всех трёх колонках. И главное - они не зависят от того, квадратная решётка или треугольная, каков $J$ и есть ли слабые взаимодействия со вторыми соседями. Определяют их только размерность пространства и симметрия параметра порядка. Это и называется универсальностью, а набор показателей - классом универсальности Изинга. В него попадают одноосные ферромагнетики, бинарные сплавы, расслоение смесей и критическая точка жидкость-пар, знакомая по уравнению Ван-дер-Ваальса: измеренный для флюидов $\beta \approx 0{,}33$ совпадает с трёхмерной моделью Изинга, а не со средним полем.

Объяснение универсальности дала ренормгруппа: если у системы длина корреляции много больше шага решётки, то последовательное огрубление (блочные спины вместо одиночных) стирает детали микроскопического устройства. Остаётся поток в пространстве параметров, а показатели определяются одной неподвижной точкой этого потока. Поэтому ферромагнетик и расслаивающаяся смесь, устроенные совершенно по-разному, в критической области описываются одними и теми же числами, а любые поправки к ним затухают по мере приближения к $T_c$.

Как модель считают численно

Трёхмерная модель Изинга аналитически не решена, поэтому её считают на компьютере: алгоритмом Метрополиса, кластерными алгоритмами Вольфа и Свендсена-Ванга или конформным бутстрапом. Снимки решётки в этой статье получены именно методом Монте-Карло Метрополиса на решётке 12 на 12. Ещё одна деталь численного счёта: на конечной решётке ниже $T_c$ система время от времени целиком переворачивается, поэтому усредняют не $m$, а модуль намагниченности, иначе среднее выйдет нулевым при любой температуре. А вблизи самой точки Кюри одиночные перевороты спина перестают работать: кластеры растут, время корреляции взлетает (критическое замедление), и спасают кластерные алгоритмы, переворачивающие целые области разом.

Помните про конечный размер: на маленькой решётке намагниченность не обнуляется резко, переход размывается, а эффективная точка Кюри смещена. Чтобы получить настоящие $T_c$ и показатели, считают несколько размеров и экстраполируют.

Частые ошибки

• Подставлять в задачу $kT_c = zJ$ там, где спрашивают точное значение: для квадратной решётки правильный ответ $2J/\ln(1+\sqrt{2}) \approx 2{,}269\,J/k$, а $4J$ - лишь оценка среднего поля.
• Считать, что одномерная цепочка упорядочивается при $T = 0$. Ноль температуры - не фазовый переход при конечной $T$: длина корреляции расходится только в этой точке.
• Брать $\beta = 1/2$ для двумерной модели. Среднее поле даёт $1/2$, точное решение - $1/8$, и кривые вблизи $T_c$ выглядят совершенно по-разному.
• Суммировать в гамильтониане по всем парам спинов вместо соседних или посчитать каждую пару дважды: энергия удвоится вместе с $T_c$.
• Ждать, что снимок конечной решётки ляжет точно на кривую Онсагера: формула получена для бесконечной решётки.

FAQ

Чем модель Изинга отличается от модели Гейзенберга? В модели Изинга спин скалярный и принимает два значения, в модели Гейзенберга - вектор с непрерывным направлением. Из-за непрерывной симметрии двумерный гейзенберговский магнетик при конечной температуре не упорядочивается (теорема Мермина-Вагнера), а изинговский упорядочивается. И показатели у них разные: это разные классы универсальности.

Почему в одном измерении перехода нет, а в двух есть? В цепочке доменная стенка - это одна связь, её цена $2J$ не растёт с длиной цепочки, а энтропия растёт как $\ln N$. На плоскости стенка должна опоясывать область, и её цена растёт вместе с периметром, обгоняя энтропийный выигрыш при низких температурах. Аргумент Пайерлса ровно об этом.

Решена ли трёхмерная модель Изинга точно? Нет, замкнутого решения не найдено, и есть основания считать, что его не существует в привычном смысле. Зато показатели трёхмерной модели известны с высокой точностью из конформного бутстрапа и Монте-Карло: $\beta = 0{,}3265$, $\nu = 0{,}6300$, $\gamma = 1{,}2372$.

Коротко

Модель Изинга задаётся гамильтонианом $H = -J\sum_{\langle ij \rangle} s_i s_j - h\sum_i s_i$ со спинами $\pm 1$. Одномерная цепочка решается трансфер-матрицей и фазового перехода не имеет: длина корреляции конечна при любой $T > 0$. На квадратной решётке Онсагер получил точный переход при $kT_c/J = 2/\ln(1+\sqrt{2}) \approx 2{,}269$ и намагниченность с показателем $\beta = 1/8$. Приближение среднего поля сводит задачу к уравнению $m = \tanh(zJm/kT)$, но завышает $T_c$ до $zJ$ и даёт $\beta = 1/2$. Истинные показатели зависят только от размерности и симметрии - в этом суть универсальности.