Метод вариации постоянных: формулы и разбор примера

Метод вариации постоянных (его же называют методом Лагранжа) нужен там, где подбор по виду правой части бессилен: функции $1/\cos x$, $\operatorname{tg} x$, $\ln x$, $1/x$ не попадают ни в одну строку таблицы форм, и угадывать частное решение не из чего. Идея метода читается прямо в названии: постоянные $C_1$ и $C_2$ из общего решения однородного уравнения объявляются функциями от $x$ и находятся из линейной системы. Само это общее решение однородного уравнения берётся из характеристического - как именно, разобрано в статье про линейное уравнение второго порядка. Калькулятор ниже собирает эту систему для любых коэффициентов, считает определитель Вронского и численно интегрирует обе постоянные, а дальше идёт разбор с числами.

Какое уравнение решает метод вариации постоянных

Метод применяют к линейному неоднородному уравнению

$$y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = f(x).$$

Ключевое предположение одно: общее решение соответствующего однородного уравнения уже найдено, то есть известна фундаментальная система $y_1(x)$ и $y_2(x)$, и $y_h = C_1 y_1 + C_2 y_2$. Для уравнения с постоянными коэффициентами её дают корни характеристического уравнения, для уравнения Эйлера - подстановка $x = e^t$, в остальных случаях одно частное решение приходится угадывать.

Где взять саму фундаментальную систему, зависит от уравнения. У уравнения с постоянными коэффициентами это пара экспонент, экспонента с множителем $x$ при кратном корне или пара $e^{\alpha x}\cos\beta x$ и $e^{\alpha x}\sin\beta x$ при комплексных корнях. У уравнения Эйлера $x^2y'' + axy' + by = f$ она находится подстановкой $x = e^t$. Если известно хотя бы одно частное решение однородного уравнения, второе достают понижением порядка. Без этой заготовки метод вариации не стартует, и в этом его единственное серьёзное ограничение.

Дальше работает теорема о структуре общего решения: оно равно сумме общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного, $y = y_h + y_p$. Метод вариации постоянных - это универсальный способ построить $y_p$, не угадывая его форму. Он не требует ни постоянства коэффициентов, ни специального вида $f(x)$: достаточно, чтобы $f$ была непрерывна на рассматриваемом промежутке.

Идея метода: постоянные становятся функциями

Возьмём общее решение однородного уравнения и заменим числа $C_1$, $C_2$ на неизвестные функции:

$$y = C_1(x)\,y_1(x) + C_2(x)\,y_2(x).$$

Геометрически это значит вот что. Решение неоднородного уравнения в каждой точке совпадает с какой-то кривой однородного семейства и по значению, и по производной, то есть касается её. Пока точка движется вдоль решения, кривая семейства меняется, а вместе с ней плавно перетекают значения постоянных.

Рассчитать для своей задачи

Формально подстановка законна для любой пары непрерывно дифференцируемых функций $C_1(x)$ и $C_2(x)$: пока на них не наложено условий, равенство $y = C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2$ ничего не утверждает, а лишь задаёт новые неизвестные вместо старой $y$. Полезной замена становится потому, что $y_1$ и $y_2$ уже гасят левую часть уравнения, и после подстановки от неё остаются только слагаемые с производными $C_1'$ и $C_2'$.

Такое касание не случайность, а прямое следствие добавочного условия, которое мы наложим ниже: оно как раз и означает, что значение и первая производная решения в каждой точке собираются из $y_1$, $y_2$ с текущими значениями постоянных. Поэтому пара чисел $C_1(x_*)$, $C_2(x_*)$ имеет ясный смысл: это те постоянные, которыми решение неоднородного уравнения описывалось бы дальше, если бы правая часть вдруг обнулилась после точки $x_*$.

Две неизвестные функции вместо двух чисел дают лишний запас свободы: одного уравнения на них мало. Поэтому к исходному уравнению добавляют второе условие, и выбирают его так, чтобы выкладки не разрастались.

Система на $C_1'(x)$ и $C_2'(x)$ и определитель Вронского

Продифференцируем подстановку:

$$y' = C_1 y_1' + C_2 y_2' + \bigl(C_1' y_1 + C_2' y_2\bigr).$$

Скобка в конце и есть лишняя свобода. Приравняем её к нулю - это и есть добавочное условие $C_1' y_1 + C_2' y_2 = 0$. Тогда $y'$ выглядит как у однородного решения, вторая производная не порождает $C_1''$ и $C_2''$, а подстановка в уравнение после сокращения даёт второе соотношение. Получается линейная система на производные постоянных:

$$\begin{cases} C_1'\,y_1 + C_2'\,y_2 = 0, \\ C_1'\,y_1' + C_2'\,y_2' = f(x). \end{cases}$$

Её определитель - это определитель Вронского (вронскиан) фундаментальной системы:

$$W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}.$$

Для линейно независимых решений линейного уравнения он не обращается в ноль ни в одной точке промежутка (следствие формулы Лиувилля), поэтому система всегда однозначно разрешима. Ответ даёт правило Крамера:

$$C_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,f(x)}{W(x)}, \qquad C_2'(x) = \frac{y_1(x)\,f(x)}{W(x)}.$$

Если подставить эти формулы обратно и собрать интегралы в один, получается готовая формула частного решения, которую иногда приводят как формулу Коши:

$$y_p(x) = \int_{x_0}^{x} \frac{y_1(t)\,y_2(x) - y_1(x)\,y_2(t)}{W(t)}\,f(t)\,dt.$$

Она удобна в теории и в численных расчётах: ядро под интегралом зависит только от однородного уравнения, а правая часть входит множителем. Именно так считает калькулятор выше, поэтому при нижнем пределе $x_0$ обе постоянные в этой точке равны нулю.

Рассчитать для своей задачи

Остаётся проинтегрировать обе формулы. Постоянные интегрирования при этом можно опустить: они лишь добавят к ответу решение однородного уравнения, которое и так входит в общее.

Разбор примера: уравнение $y'' + y = 1/\cos x$

Однородное уравнение $y'' + y = 0$ даёт $y_1 = \cos x$, $y_2 = \sin x$. Вронскиан считается устно:

$$W = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.$$

Подставляем в формулы Крамера, помня, что $f(x) = 1/\cos x$:

$$C_1' = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x, \qquad C_2' = \frac{\cos x}{\cos x} = 1.$$

Интегрируем на промежутке $(-\pi/2,\ \pi/2)$, где правая часть непрерывна:

$$C_1(x) = \ln|\cos x|, \qquad C_2(x) = x.$$

Рассчитать для своей задачи

Собираем частное решение и общее:

$$y_p = \cos x\,\ln|\cos x| + x\,\sin x, \qquad y = C_1\cos x + C_2\sin x + \cos x\,\ln|\cos x| + x\,\sin x.$$

Заметьте, что в ответе появился логарифм - функция, которой не было ни в левой, ни в правой части уравнения. Никакая таблица форм такую заготовку не предложит, и это типичная картина: вариация постоянных выводит решение за пределы того класса функций, в котором записана задача. Второе слагаемое $x\sin x$ выглядит как резонансное, хотя никакого резонанса в привычном смысле здесь нет: множитель $x$ пришёл из интеграла $\int 1\,dx$, а не из совпадения показателей.

Проверка на числах: при $x = 1$ получаем $C_1(1) = \ln\cos 1 \approx -0{,}616$, $C_2(1) = 1$ и $y_p(1) \approx 0{,}509$. Ровно эти значения показывает калькулятор в начале статьи при настройках по умолчанию. Подстановка тоже сходится: $y_p'' + y_p = \sin^2x/\cos x + \cos x = 1/\cos x$.

Вариация постоянной в уравнении первого порядка

Для уравнения $y' + P(x)\,y = Q(x)$ схема та же, только постоянная одна. Сначала решают однородное $y' + P y = 0$ и получают $y_h = C e^{-\int P\,dx}$, затем считают $C = C(x)$ и подставляют обратно. Все слагаемые с $C(x)$ без производной взаимно уничтожаются, остаётся $C'(x)\,e^{-\int P\,dx} = Q(x)$ - уравнение с разделёнными переменными.

Альтернатива здесь - подстановка $y = uv$: сравнение двух путей разобрано в статье про линейное уравнение методом Бернулли. Для систем вида $\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$ роль вронскиана играет фундаментальная матрица, а роль формул Крамера - её обращение; подробности в разборе линейной системы ОДУ с постоянными коэффициентами.

Когда быстрее метод неопределённых коэффициентов

Вариация постоянных универсальна, но платит за это интегралами, которые нередко берутся тяжело или не берутся в элементарных функциях (нажмите в калькуляторе пресет с правой частью $1/x$ - постоянные там выражаются через интегральные синус и косинус). Если коэффициенты постоянны, а правая часть имеет вид $e^{\alpha x}P_n(x)$, $\cos\beta x$, $\sin\beta x$ или их произведение, быстрее сработает подбор по таблице форм с проверкой резонанса: там всё сводится к линейной алгебре без единого интеграла.

Разница в трудозатратах заметна уже на простом примере. Для $y'' - 3y' + 2y = e^{3x}$ подбор даёт ответ за три строки: форма $Ae^{3x}$, подстановка, $A = 1/2$. Вариация постоянных приведёт к тому же результату, но через два интеграла с экспонентами и деление на вронскиан $e^{3x}$. Зато для $y'' + y = \operatorname{tg} x$ подбирать нечего, и метод Лагранжа остаётся единственным элементарным путём.

Практическое правило простое. Правая часть из таблицы - подбор. Правая часть с дробью, логарифмом, тангенсом или произвольной функцией - вариация постоянных. Коэффициенты переменные, но фундаментальная система известна - вариация постоянных, других вариантов почти нет. Задана задача Коши с разрывной или импульсной правой частью - стоит посмотреть в сторону преобразования Лапласа.

Частые ошибки

• Добавочное условие пишут не на те величины. В первом уравнении системы стоят именно производные постоянных и сами функции $y_1$, $y_2$, а не наоборот. Перепутанная строка меняет знак у обеих формул Крамера.
• Забывают разделить на вронскиан. Формулы $C_1' = -y_2 f$ и $C_2' = y_1 f$ верны только при $W = 1$. Для $y_1 = e^{x}$, $y_2 = xe^{x}$ вронскиан равен $e^{2x}$, и деление обязательно.
• Уравнение не приведено к нужному виду. Если старший коэффициент не равен единице ($a(x)y'' + \dots$), правой частью в формулах служит $f(x)/a(x)$, а не исходная правая часть.
• Постоянные интегрирования тянут в частное решение. Они не ошибка, но дублируют $C_1 y_1 + C_2 y_2$ в общем решении; проще положить их нулями.
• Промежуток выбран без оглядки на разрывы. В примере выше ответ верен на $(-\pi/2,\ \pi/2)$: в точках $\pm\pi/2$ правая часть обращается в бесконечность, и решение туда не продолжается.

FAQ

Чем метод вариации постоянных отличается от метода Лагранжа? Ничем: это два названия одного метода. В задачниках встречается и третий вариант формулировки - метод вариации произвольных постоянных, а в англоязычной литературе тот же приём называют variation of parameters. Путаницу иногда вносит метод множителей Лагранжа из задач на условный экстремум: общего с дифференциальными уравнениями у него только фамилия.

Что делать, если вронскиан оказался равен нулю? Значит, взятые $y_1$ и $y_2$ линейно зависимы и фундаментальной системы не образуют: одна функция получилась кратной другой. Нужно вернуться к однородному уравнению и найти второе независимое решение, например понижением порядка по формуле Лиувилля. Обратите внимание: у настоящей фундаментальной системы вронскиан либо нигде не равен нулю, либо равен нулю тождественно, промежуточного случая не бывает.

Работает ли метод для уравнений порядка выше второго? Да. Для порядка $n$ берут $n$ функций $C_i(x)$, добавляют $n-1$ условие вида $\sum C_i' y_i^{(k)} = 0$ при $k = 0,\dots,n-2$, а последнее уравнение равно $\sum C_i' y_i^{(n-1)} = f$. Определителем системы снова служит вронскиан, теперь порядка $n$.

Коротко

Метод вариации постоянных превращает постоянные общего решения однородного уравнения в функции от $x$. Добавочное условие $C_1'y_1 + C_2'y_2 = 0$ убирает вторые производные постоянных и оставляет линейную систему, определителем которой служит вронскиан $W \ne 0$; по правилу Крамера $C_1' = -y_2f/W$ и $C_2' = y_1f/W$. После интегрирования получается частное решение, а общее равно $y = C_1y_1 + C_2y_2 + y_p$. Метод не боится правых частей вроде $1/\cos x$, но если правая часть попадает в таблицу форм, подбор неопределённых коэффициентов обойдётся без интегралов и выйдет быстрее.