Линейное уравнение второго порядка: общее решение

Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами выглядит как $y'' + py' + qy = 0$, и почти весь курс дифференциальных уравнений держится на нём: через него описывают пружину с грузом, колебательный контур, прогиб балки и любую систему, которую вывели из равновесия и отпустили. Решается оно не интегрированием, а алгеброй: подстановка экспоненты превращает дифференциальное уравнение в квадратное. Ниже калькулятор собирает эту цепочку целиком, от коэффициентов до готового частного решения.

Что такое линейное уравнение второго порядка

Уравнение называют линейным, если неизвестная функция и её производные входят в первой степени и не перемножаются между собой. Общий вид с постоянными коэффициентами:

$a y'' + b y' + c y = f(x), \qquad a \ne 0.$

Разделив на $a$, всегда приводят уравнение к нормированной форме $y'' + py' + qy = f(x)$. Если правая часть равна нулю, уравнение называют однородным - именно такое линейное уравнение второго порядка разбирается здесь:

$y'' + py' + qy = 0.$

Неоднородный случай ($f(x) \ne 0$) к нему же и сводится: его общее решение складывается из общего решения однородного уравнения и любого одного частного, а частное ищут подбором по виду правой части или методом вариации постоянных. То есть разобранная ниже схема нужна в обоих случаях, и начинать всегда приходится с однородного уравнения.

Главное свойство однородного уравнения - принцип суперпозиции: если $y_1$ и $y_2$ решения, то и $C_1 y_1 + C_2 y_2$ при любых числах $C_1$, $C_2$ тоже решение. Проверяется подстановкой: производная суммы равна сумме производных, а постоянные множители выносятся. Множество решений оказывается линейным пространством, и вопрос «как решить уравнение» превращается в вопрос «какова размерность этого пространства и чем задать в нём базис».

Фундаментальная система: почему констант ровно две

Размерность равна порядку уравнения, то есть двум. Пара решений $y_1$, $y_2$ образует фундаментальную систему, если эти функции линейно независимы, а проверяют независимость определителем Вронского:

$W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = y_1 y_2' - y_2 y_1'.$

Для решений одного и того же линейного уравнения вронскиан либо тождественно равен нулю, либо не обращается в ноль нигде (формула Лиувилля - Остроградского: $W(x) = W(x_0)e^{-p(x - x_0)}$, а экспонента ноля не даёт). Поэтому достаточно проверить его в одной точке.

Рассчитать для своей задачи

Отсюда и структурная теорема: общее решение однородного уравнения есть $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$, и других решений нет. Два параметра - не «сколько-то постоянных интегрирования», а ровно столько, сколько нужно, чтобы попасть в любое начальное состояние: задать значение функции и её производную в одной точке.

Характеристическое уравнение: подстановка y = e^(λx)

Осталось найти сам базис. Ищем решение в виде $y = e^{\lambda x}$ - экспонента удобна тем, что при дифференцировании воспроизводит себя: $y' = \lambda e^{\lambda x}$, $y'' = \lambda^2 e^{\lambda x}$. Подставляем:

$e^{\lambda x}\left(\lambda^2 + p\lambda + q\right) = 0.$

Экспонента нигде не равна нулю, значит скобка обязана обратиться в ноль. Получается характеристическое уравнение:

$\lambda^2 + p\lambda + q = 0, \qquad D = p^2 - 4q, \qquad \lambda_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{D}}{2}.$

Для сквозного примера $y'' + 4y' + 3y = 0$ характеристическое уравнение $\lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0$ даёт $D = 16 - 12 = 4$ и корни $\lambda_1 = -1$, $\lambda_2 = -3$. Фундаментальная система - $y_1 = e^{-x}$, $y_2 = e^{-3x}$, вронскиан в нуле равен $1 \cdot (-3) - 1 \cdot (-1) = -2 \ne 0$, значит базис законный.

Три случая корней и вид общего решения

Дальше всё определяет знак дискриминанта.

Различные вещественные корни ($D > 0$) - самый простой случай: две разные экспоненты линейно независимы автоматически, потому что их отношение $e^{(\lambda_1 - \lambda_2)x}$ не постоянно. Вронскиан считается сразу: $W = (\lambda_2 - \lambda_1)e^{(\lambda_1 + \lambda_2)x}$, и он не равен нулю ровно потому, что корни различны. Поведение решения читается по знакам: оба корня отрицательны - кривая монотонно садится на ноль, один положителен - растёт, разные знаки - сначала притягивается к оси, потом уходит вдоль растущей экспоненты.

Кратный корень ($D = 0$) даёт при подстановке лишь одну функцию $e^{\lambda x}$, и вторую приходится добывать отдельно. Проверить готовый ответ легко подстановкой: для $y = x e^{\lambda x}$ имеем $y' = (1 + \lambda x)e^{\lambda x}$ и $y'' = (2\lambda + \lambda^2 x)e^{\lambda x}$, а сумма $y'' + py' + qy$ после группировки равна $e^{\lambda x}\left[x(\lambda^2 + p\lambda + q) + (2\lambda + p)\right]$. Первая скобка - ноль по определению корня, вторая - ноль потому, что при $D = 0$ корень равен $-p/2$. Пример: $y'' + 4y' + 4y = 0$ даёт $\lambda = -2$ кратности два и общее решение $y = (C_1 + C_2x)e^{-2x}$; подробный вывод множителя - в статье про кратные корни характеристического уравнения.

Комплексные корни ($D < 0$) дают базис $e^{(\alpha \pm \beta i)x}$, который формально верен, но для вещественной задачи неудобен. По формуле Эйлера $e^{i\beta x} = \cos\beta x + i\sin\beta x$, поэтому вещественная и мнимая части комплексного решения, то есть $e^{\alpha x}\cos\beta x$ и $e^{\alpha x}\sin\beta x$, сами являются решениями и линейно независимы. Здесь $\alpha = -p/2$ отвечает за скорость затухания огибающей, а $\beta = \sqrt{q - p^2/4}$ - за частоту качания; детали перехода разобраны в статье про комплексные корни характеристического уравнения.

Тот же приём работает и для систем: там роль характеристического уравнения играет $\det(A - \lambda E) = 0$, а роль базиса - собственные векторы (см. линейную систему ОДУ с постоянными коэффициентами).

Задача Коши: как найти C1 и C2

Общее решение описывает всё семейство сразу, а задача Коши выбирает из него одну кривую по условиям $y(x_0) = y_0$ и $y'(x_0) = v_0$. Алгоритм механический:

1. Выписать общее решение по корням.
2. Продифференцировать его.
3. Подставить $x_0$ в обе формулы и решить линейную систему относительно $C_1$ и $C_2$.

Для примера $y'' + 4y' + 3y = 0$ с условиями $y(0) = 2$, $y'(0) = -4$ имеем $y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}$ и $y' = -C_1 e^{-x} - 3C_2 e^{-3x}$. В нуле экспоненты равны единице, поэтому система такая:

$\begin{aligned} C_1 + C_2 &= 2, \\ -C_1 - 3C_2 &= -4. \end{aligned}$

Отсюда $C_2 = 1$ и $C_1 = 1$, то есть $y = e^{-x} + e^{-3x}$. Определитель этой системы - тот самый вронскиан в точке $x_0$, и он не равен нулю, поэтому решение существует и единственно при любых начальных данных (общее утверждение - в статье про существование и единственность решения задачи Коши).

Рассчитать для своей задачи

Разбор типовой задачи с комплексными корнями

Экзаменационный вариант той же схемы, где ответ получается колебательным. Решить задачу Коши $y'' + 2y' + 5y = 0$ при $y(0) = 1$, $y'(0) = 1$.

Шаг первый - характеристическое уравнение $\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$, дискриминант $D = 4 - 20 = -16$. Он отрицателен, значит случай третий, и корни комплексно сопряжённые:

$\lambda_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i, \qquad \alpha = -1, \quad \beta = 2.$

Шаг второй - выписать общее решение по шаблону $e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$:

$y = e^{-x}\left(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\right).$

Шаг третий - продифференцировать. Удобно считать по правилу произведения: если $y = e^{-x}u$, то $y' = e^{-x}(u' - u)$, откуда

$y' = e^{-x}\left[(2C_2 - C_1)\cos 2x - (2C_1 + C_2)\sin 2x\right].$

Шаг четвёртый - подставить ноль. Косинус в нуле равен единице, синус - нулю, поэтому система распадается: $C_1 = 1$ из первого условия и $2C_2 - C_1 = 1$ из второго, то есть $C_2 = 1$. Ответ:

$y = e^{-x}\left(\cos 2x + \sin 2x\right) = \sqrt{2}\,e^{-x}\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right).$

Вторая, амплитудная форма записи полезна для проверки смысла: огибающая $\sqrt{2}e^{-x}$ убывает в $e$ раз за единицу $x$, а период качания равен $2\pi/\beta = \pi$. Первый переход через ноль случится при $2x = 3\pi/4$, то есть около $x \approx 1{,}18$. Те же коэффициенты $p = 2$, $q = 5$ можно вбить в калькулятор выше и сверить корни, константы и форму кривой.

Физический смысл: свободные колебания с затуханием

В механике то же линейное уравнение второго порядка записывают как $y'' + 2\delta y' + \omega_0^2 y = 0$, где $\delta$ - коэффициент затухания, а $\omega_0$ - собственная частота. Тогда $p = 2\delta$, $q = \omega_0^2$, и знак дискриминанта получает физический смысл: он сравнивает трение с упругостью.

• $\delta > \omega_0$ ($D > 0$) - апериодический режим: система вяло возвращается в равновесие без единого перехода через ноль.
• $\delta = \omega_0$ ($D = 0$) - критическое затухание: возврат без колебаний, но быстрее всех прочих. Ровно на этот режим настраивают амортизаторы и доводчики дверей.
• $\delta < \omega_0$ ($D < 0$) - колебательный режим: решение проходит ноль и качается с убывающей амплитудой.

Рассчитать для своей задачи

Измерение на кадре поясняет, почему критический режим ценят инженеры: при $p = 1$ система промахивается мимо равновесия на 0,44 от начального отклонения и потом ещё долго качается, а при $p = 4$ промаха нет вовсе. Количественные характеристики этого качания - декремент и время релаксации - разобраны в статье про затухающие колебания.

Частые ошибки

• Путают знаки при переходе к характеристическому уравнению. Коэффициенты переносятся один в один: $y'' + 4y' + 3y = 0$ даёт $\lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0$, а не $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$.
• Берут в базис линейно зависимые функции. Пара $e^{-x}$ и $2e^{-x}$ фундаментальной системы не образует: вронскиан тождественно равен нулю, и через такую пару не выразить произвольные начальные условия.
• В случае кратного корня пишут $C_1 e^{\lambda x} + C_2 e^{\lambda x}$. Это одна и та же функция с одной константой; вторую независимую даёт множитель $x$.
• Подставляют начальные условия в общее решение до того, как продифференцировали его. Вторая строка системы получается только из $y'(x)$, иначе константы найти нечем.
• В комплексном случае берут $\beta = \sqrt{|D|}$ вместо $\sqrt{|D|}\,/\,2$. Корни делятся на два целиком: у $D = -16$ мнимая часть равна $2$, а не $4$, иначе частота качания удваивается и график перестаёт сходиться с начальными условиями.
• Считают, что отрицательный корень всегда означает затухание решения. Убывает решение при $\lambda < 0$, то есть при $p > 0$; при отрицательном $p$ корни лежат справа от нуля и амплитуда растёт.

FAQ

Как понять, что уравнение однородное? Правая часть равна нулю, и в уравнении нет свободного члена без $y$. Если справа стоит функция от $x$, уравнение неоднородное, и его общее решение складывается из решения однородного и одного частного.

Сколько решений у линейного уравнения второго порядка? Бесконечно много, но все они укладываются в двупараметрическое семейство $C_1 y_1 + C_2 y_2$. Начальные условия $y(x_0)$ и $y'(x_0)$ выделяют ровно одно.

Как решать, если в уравнении нет $y'$ или нет самого $y$? Никаких особых приёмов не нужно, работает та же схема с нулевым коэффициентом. Для $y'' + qy = 0$ характеристическое уравнение $\lambda^2 = -q$: при $q > 0$ получаются чисто мнимые корни и незатухающие колебания $C_1 \cos\sqrt{q}\,x + C_2 \sin\sqrt{q}\,x$, при $q < 0$ - две вещественные экспоненты. Для $y'' + py' = 0$ корни $\lambda = 0$ и $\lambda = -p$, а общее решение $y = C_1 + C_2 e^{-px}$: нулевой корень даёт константу, ведь $e^{0 \cdot x} = 1$.

Что делать, если корни комплексные, а ответ нужен вещественный? Взять вещественную и мнимую части комплексного решения: они сами являются решениями и линейно независимы. Получается запись $e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$ с обычными вещественными константами.

Коротко

Линейное однородное уравнение второго порядка $y'' + py' + qy = 0$ решается подстановкой $y = e^{\lambda x}$, которая сводит его к характеристическому уравнению $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$. Знак дискриминанта $D = p^2 - 4q$ задаёт три случая: две вещественные экспоненты, кратный корень с множителем $x$ и пара комплексных корней с синусом и косинусом. Любая такая пара решений с ненулевым определителем Вронского образует фундаментальную систему, а общее решение - это её линейная комбинация $C_1 y_1 + C_2 y_2$. Константы находятся из начальных условий, и физически они означают выбор одного движения системы из всего семейства.