Лемма Бореля-Кантелли: формулировка, доказательство и применение

Лемма Бореля-Кантелли - одно из тех утверждений, без которого не обходится ни доказательство усиленного закона больших чисел, ни анализ случайных блужданий, ни метрическая теория чисел. Её часто формулируют как «если сумма вероятностей сходится, события почти наверное случаются конечное число раз». На самом деле это две леммы - прямая (первая) и обратная (вторая), и обратная требует независимости. Названа в честь Эмиля Бореля (1909, первая часть) и Франческо Паоло Кантелли (1917, вторая часть). Ниже - формулировки, доказательства, типовые применения и контрпример, показывающий, почему без независимости вторая лемма ломается.

Что такое «бесконечно часто» и $\limsup A_n$

Пусть $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ - вероятностное пространство и $A_1, A_2, \dots$ - последовательность событий. Множество исходов, при которых события $A_n$ происходят бесконечно часто (б.ч.), определяется как

$$\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$$

Расшифровка: $\omega \in \limsup A_n$ тогда и только тогда, когда для любого $n$ найдётся $k \ge n$ с $\omega \in A_k$ - то есть $\omega$ попадает в бесконечно много из $A_n$. Это аналог «нижнего предела хвоста»: чем дальше отрезаем хвост, тем меньше становится объединение, но пересечение по всем хвостам как раз и ловит «вечно повторяющиеся» исходы.

Не путайте этот $\limsup$ событий с $\limsup$ числовой последовательности. Связь есть - $\mathbb{1}_{\limsup A_n} = \limsup \mathbb{1}_{A_n}$ - но множества и числа всё-таки разные объекты. В формулах лемм слева всегда стоит вероятность $P(\limsup A_n)$, и это всегда число из $[0, 1]$.

Первая лемма Бореля-Кантелли

Формулировка (Борель, 1909). Пусть $A_1, A_2, \dots$ - произвольная последовательность событий. Если

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) < \infty,$$

то $P\bigl(\limsup_{n\to\infty} A_n\bigr) = 0$. Иначе говоря, почти наверное только конечное число событий $A_n$ происходит.

Никаких условий на независимость или попарную несовместность здесь нет. Единственное требование - сходимость ряда из вероятностей. Это очень «дешёвая» лемма: подставил оценку $P(A_n) \le c/n^2$, ряд сходится, готово - события почти наверное случаются конечное число раз.

Подставь свою последовательность событий или задачу ниже - соберём постановку и разберём, какая из двух лемм применима, нужна ли независимость и какое следствие отсюда вытекает.

Доказательство первой леммы

Используется только монотонность вероятностной меры и счётная субаддитивность. Введём «хвостовое объединение» $B_n = \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k$. Тогда $\limsup A_n = \bigcap_{n} B_n$ и $B_1 \supseteq B_2 \supseteq \dots$ - последовательность убывает. По непрерывности меры сверху для убывающей последовательности с конечной мерой первого члена

$$P\bigl(\textstyle\limsup A_n\bigr) = \lim_{n \to \infty} P(B_n).$$

Оценим $P(B_n)$ через субаддитивность:

$$P(B_n) = P\Bigl(\bigcup_{k=n}^{\infty} A_k\Bigr) \le \sum_{k=n}^{\infty} P(A_k).$$

По условию ряд $\sum P(A_k)$ сходится, поэтому его хвост $\sum_{k=n}^{\infty} P(A_k) \to 0$ при $n \to \infty$. Значит $P(B_n) \to 0$, а вместе с ним и $P(\limsup A_n) = 0$. Доказательство занимает три строки и не использует никакой структуры $A_n$ - отсюда универсальность.

Вторая лемма Бореля-Кантелли

Формулировка (Кантелли, 1917). Пусть $A_1, A_2, \dots$ - попарно независимые (а у Кантелли - взаимно независимые) события. Если

$$\sum_{n=1}^{\infty} P(A_n) = \infty,$$

то $P\bigl(\limsup_{n \to \infty} A_n\bigr) = 1$. То есть почти наверное бесконечно много $A_n$ происходит.

Это уже сильное утверждение: вместо «может, и происходит, а может, и нет» получаем достоверность. Цена - требование независимости. Без него вторая лемма неверна (см. контрпример ниже). В большинстве учебников формулируют именно для взаимно независимых $\{A_n\}$, но Эрдёш и Реньи показали, что достаточно попарной независимости.

Доказательство второй леммы

Покажем, что $P\bigl((\limsup A_n)^c\bigr) = 0$. Дополнение $\limsup$ - это $\liminf$ дополнений (та же двойственность лежит в основе леммы Фату для интегралов):

$$(\limsup A_n)^c = \liminf A_n^c = \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k^c.$$

Достаточно показать, что для любого $n$ выполнено $P\bigl(\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k^c\bigr) = 0$. Зафиксируем $n$ и оценим конечное пересечение от $n$ до $N$. По независимости $A_n, A_{n+1}, \dots, A_N$ независимы и $A_k^c$ тоже:

$$P\Bigl(\bigcap_{k=n}^{N} A_k^c\Bigr) = \prod_{k=n}^{N} P(A_k^c) = \prod_{k=n}^{N} \bigl(1 - P(A_k)\bigr).$$

Ключевой технический шаг - оценка $1 - x \le e^{-x}$, справедливая для всех $x \ge 0$ (а на $[0,1]$ - с запасом). Применяем её к каждому множителю:

$$\prod_{k=n}^{N} \bigl(1 - P(A_k)\bigr) \le \prod_{k=n}^{N} e^{-P(A_k)} = \exp\Bigl(-\sum_{k=n}^{N} P(A_k)\Bigr).$$

По условию $\sum_{k=n}^{\infty} P(A_k) = \infty$ для любого $n$, поэтому правая часть стремится к $0$ при $N \to \infty$. По непрерывности меры

$$P\Bigl(\bigcap_{k=n}^{\infty} A_k^c\Bigr) = \lim_{N \to \infty} P\Bigl(\bigcap_{k=n}^{N} A_k^c\Bigr) = 0.$$

Объединение счётного числа нулевых множеств - нуль, значит $P((\limsup A_n)^c) = 0$, то есть $P(\limsup A_n) = 1$. Готово.

Связь с законом 0-1 Колмогорова

Заметим: $\limsup A_n$ - это хвостовое событие. Принадлежность исхода в $\limsup A_n$ не меняется, если поменять конечное число $A_n$ местами или вообще выбросить. По закону 0-1 Колмогорова любое хвостовое событие на последовательности взаимно независимых $A_n$ имеет вероятность $0$ или $1$. Поэтому для независимой последовательности $P(\limsup A_n) \in \{0, 1\}$ - третьего не дано.

Леммы Бореля-Кантелли дают конструктивный критерий, в каком из двух случаев мы оказались:

$$P\bigl(\limsup A_n\bigr) = \begin{cases} 0, & \sum P(A_n) < \infty, \\ 1, & \sum P(A_n) = \infty \text{ и } A_n \text{ независимы}. \end{cases}$$

Это «дихотомия Бореля-Кантелли»: для независимых событий ряд $\sum P(A_n)$ полностью определяет, бесконечно часто или конечно. Закон 0-1 говорит, что компромисса быть не может, а две леммы - как именно решается выбор.

Применения

Усиленный закон больших чисел (Колмогоров). В доказательстве УЗБЧ для одинаково распределённых интегрируемых случайных величин одно из ключевых мест - оценка вида $P(|X_n| > n) \le \sum_k P(|X_1| > k)$ через интегральный тест (а отдельные слагаемые при необходимости оцениваются через неравенство Маркова). Если $E|X_1| < \infty$, этот ряд сходится, и по первой лемме $P(|X_n| > n \text{ б.ч.}) = 0$, то есть почти наверное $|X_n| \le n$ для всех достаточно больших $n$. Это первый шаг к усечению и стандартному дальнейшему рассуждению.

Случайные блуждания. Для простого симметричного блуждания на $\mathbb{Z}^d$ берут $A_n = \{S_{2n} = 0\}$ с асимптотикой $P(A_n) \sim c/n^{d/2}$. В $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Z}^2$ ряд расходится - заключают рекуррентность (с аккуратной работой над зависимостью). В $\mathbb{Z}^3$ ряд сходится, первая лемма даёт транзиентность.

Метрическая теория чисел. Теорема Хинчина о приближениях иррациональных $\alpha$ рациональными $p/q$: для убывающей $\psi(q)$ почти все $\alpha$ имеют бесконечно много приближений с $|\alpha - p/q| < \psi(q)/q$ тогда и только тогда, когда $\sum q \psi(q) = \infty$ - это прямое применение обеих лемм к событиям «попадание $\alpha$ в окрестность какого-то $p/q$».

Символическая динамика. В доказательствах того, что почти любая орбита посещает каждое открытое множество бесконечно часто, тоже выскакивает вторая лемма - применённая к последовательности возвращений.

Контрпример: без независимости вторая лемма ломается

Возьмём $U \sim \text{Unif}[0, 1]$ и определим $A_n = \{U \le 1/n\}$. Тогда $P(A_n) = 1/n$, ряд $\sum P(A_n) = \infty$. Но события $A_n$ убывают по включению ($A_{n+1} \subset A_n$), значит

$$\textstyle\limsup A_n = \bigcap_n A_n = \{U = 0\}, \quad P\bigl(\limsup A_n\bigr) = 0.$$

Ряд расходится, а вероятность нулевая - потому что нет независимости. Условие независимости во второй лемме не техническое излишество, а сущностное: без него любое значение $P(\limsup A_n) \in [0, 1]$ совместимо с расходимостью $\sum P(A_n)$.

Частые ошибки

• Применяют вторую лемму без проверки независимости. Это самая распространённая ошибка. Расходимость ряда сама по себе ничего не гарантирует - нужна попарная (а лучше взаимная) независимость $A_n$. Перед применением обязательно сформулируйте, в каком смысле события независимы.
• Путают $\limsup A_n$ событий и $\limsup x_n$ чисел. Это разные объекты: первый - множество, второй - число. Связь через индикаторы есть, но в формулировках лемм слева - вероятность множества, а не предел чисел.
• Считают, что первая лемма требует независимости. Нет, она работает для любых событий. Это её сильная сторона - никаких структурных условий, только сходимость ряда.
• Забывают, что результат - почти наверное. Утверждение $P(\limsup A_n) = 0$ означает, что есть исключительное множество меры нуль, на котором может происходить что угодно. Для конкретного $\omega$ ни одна лемма ничего не говорит.
• Применяют дихотомию к зависимым событиям. «Раз ряд расходится, значит $P(\limsup A_n) = 1$» - неверно без независимости. Дихотомия $\{0, 1\}$ - следствие закона 0-1 Колмогорова на независимой последовательности, а не общее свойство.

FAQ

Достаточно ли попарной независимости во второй лемме или нужна взаимная? Достаточно попарной - это результат Эрдёша и Реньи (1959). У Кантелли исходно формулировка была для взаимно независимых, но при попарной независимости остаётся справедливой. Доказательство тоньше - через метод второго момента, а не через прямую оценку с $e^{-x}$.

Что делать, если события не независимы, а ряд расходится? Универсального ответа нет. Иногда помогает обобщение Эрдёша-Реньи: если события $A_n$ имеют ограниченную «корреляцию» в смысле $\sum_{i,j \le N} P(A_i \cap A_j) \le C \bigl(\sum_{i \le N} P(A_i)\bigr)^2$, то $P(\limsup A_n) > 0$ (а с дополнительными условиями - и $= 1$). В других случаях нужно вручную считать пересечения или использовать структуру задачи.

Какая связь с законом нуля или единицы Колмогорова? $\limsup A_n$ - хвостовое событие. На взаимно независимой последовательности по закону 0-1 любое хвостовое событие имеет вероятность $0$ или $1$. Две леммы Бореля-Кантелли - конструктивный критерий, какое именно из двух значений реализуется (в зависимости от сходимости ряда $\sum P(A_n)$).

Коротко

Лемма Бореля-Кантелли - двусторонний критерий для $P(\limsup A_n)$. Первая лемма: если $\sum P(A_n) < \infty$, то $P(\limsup A_n) = 0$ - события почти наверное случаются конечное число раз; независимость не требуется, доказывается за три строки через монотонность меры и субаддитивность. Вторая лемма: если $\sum P(A_n) = \infty$ и события (попарно) независимы, то $P(\limsup A_n) = 1$ - события почти наверное происходят бесконечно часто; доказывается через оценку $1 - x \le e^{-x}$ для произведения $\prod (1 - P(A_n))$. Вместе с законом 0-1 Колмогорова дают дихотомию: на независимой последовательности $P(\limsup A_n) \in \{0, 1\}$, и выбор полностью определяется сходимостью ряда. Контрпример без независимости - $A_n = \{U \le 1/n\}$: ряд расходится, а $P(\limsup A_n) = 0$.