Излишек производителя: формула и площадь на графике

Излишек производителя - это выигрыш продавцов от того, что рыночная цена оказалась выше той минимальной суммы, за которую они согласились бы расстаться с товаром. Каждая единица продукции имеет свою «цену согласия»: она отражает затраты на её изготовление, а вся совокупность таких цен и образует кривую предложения. Когда рынок устанавливает единую цену для всех единиц, продавцы получают за первые, самые дешёвые в производстве, гораздо больше, чем потребовалось бы, чтобы их выманить. Сумма этих переплат и есть излишек производителя. Ниже разберём формулу, геометрию, связь с переменными издержками и квазирентой, а также то, что происходит с излишком при налоге. Чтобы почувствовать зависимость руками, покрутите калькулятор: он рисует кривую предложения и сразу закрашивает искомую площадь.

Что такое излишек производителя

Формально излишек производителя (producer surplus, $PS$) - это разница между суммой, которую продавцы фактически выручили, и суммой, которая была бы для них минимально приемлемой при данном объёме выпуска. Минимально приемлемая сумма для каждой дополнительной единицы равна её предельным издержкам: продавец согласен произвести ещё одну штуку, если выручка за неё покрывает затраты на её изготовление. Именно поэтому восходящая кривая предложения совершенно конкурентной фирмы совпадает с кривой предельных издержек на участке выше средних переменных издержек.

Рыночная кривая предложения складывается из кривых отдельных продавцов по горизонтали: при каждой цене суммируются объёмы, которые готовы выставить все фирмы. Читать её удобно как очередь поставщиков, выстроенных по возрастанию затрат: первым стоит тот, кому производство обходится дешевле всех, последним выходит на рынок тот, для кого текущая цена едва покрывает затраты на выпуск очередной единицы. Именно у последнего, предельного продавца выигрыш равен нулю.

Отсюда логика графика. Линия рыночной цены горизонтальна: за каждую единицу платят одинаково. Кривая предложения растёт: каждая следующая единица обходится дороже. Пока цена выше кривой, разрыв между ними - это чистый выигрыш продавца с этой единицы. Сложив разрывы по всем проданным единицам, получаем площадь фигуры между ценой и кривой предложения.

Формула излишка производителя и площадь над кривой предложения

Общее определение записывается интегралом. Если обратная функция предложения $P = S(Q)$, а рынок остановился в точке $(Q^*, P^*)$, то

$PS = P^* Q^* - \int_0^{Q^*} S(Q)\,dQ.$

Первое слагаемое - выручка, прямоугольник со сторонами «цена» и «объём». Вычитаемое - площадь под кривой предложения, то есть суммарные затраты на выпуск всех $Q^*$ единиц. Остаток и есть золотая область над кривой.

Для линейного предложения $P = a + bQ$ интеграл берётся в уме, и формула сводится к площади прямоугольного треугольника:

$PS = \frac{(P^* - a)\,Q^*}{2} = \frac{(P^* - a)^2}{2b},$

где $a$ - цена закрытия (при цене ниже неё не продаёт никто, и излишек равен нулю), $b$ - прирост предельных издержек на каждую следующую единицу.

Из квадрата в числителе следует важное свойство: излишек производителя растёт быстрее цены. Это не разность двух чисел, а площадь, и она набирается сразу по двум направлениям - цена поднимается выше кривой и одновременно вытягивает объём вправо.

Рассчитать для своей задачи

Пример расчёта: предложение $Q_s = 2P - 40$

Возьмём рынок с функцией предложения $Q_s = 2P - 40$. Перепишем её в обратной форме, чтобы получить уравнение кривой на графике: $P = 20 + 0{,}5\,Q$. Цена закрытия здесь $a = 20$ руб., наклон $b = 0{,}5$ руб. на единицу.

Пусть рыночная цена $P^* = 60$ руб. Тогда объём предложения

$Q^* = 2 \cdot 60 - 40 = 80 \text{ шт.}$

Подставляем в формулу треугольника:

$PS = \frac{(60 - 20)^2}{2 \cdot 0{,}5} = \frac{1600}{1} = 1600 \text{ руб.}$

Поднимем цену до 80 руб. и пересчитаем: объём вырастет до $Q = 120$ шт., а излишек составит $(80 - 20)^2 / 1 = 3600$ руб. Цена прибавила треть, излишек увеличился в 2,25 раза. Ровно этот эффект и показывает ролик выше: площадь чувствительнее к цене, чем сам объём продаж.

Тот же ответ даёт «школьный» способ через катеты: высота треугольника равна $60 - 20 = 40$ руб., основание равно $80$ шт., половина произведения - те же $1600$ руб. Именно эти числа стоят по умолчанию в калькуляторе выше, так что любую промежуточную величину можно проверить, не считая на бумаге.

Излишек производителя и переменные издержки

Проверим результат вторым путём - через издержки. Площадь под кривой предложения от нуля до $Q^*$ равна интегралу предельных издержек, то есть переменным издержкам выпуска:

$VC = \int_0^{80} (20 + 0{,}5\,Q)\,dQ = 20 \cdot 80 + 0{,}25 \cdot 80^2 = 3200 \text{ руб.}$

Выручка равна $TR = 60 \cdot 80 = 4800$ руб. Разность даёт $4800 - 3200 = 1600$ руб. - ровно тот излишек, который мы нашли геометрически. Это не совпадение, а вторая рабочая формула:

$PS = TR - VC.$

Рассчитать для своей задачи

Смотреть на это удобнее так: прямоугольник выручки разрезан кривой предложения на две части. Нижняя, под кривой, уходит на оплату ресурсов, которые расходуются при производстве, - сырьё, сдельная зарплата, электроэнергия. Верхняя, над кривой, остаётся у фирмы.

Квазирента: почему излишек производителя не равен прибыли

Ошибка, которая стоит баллов на экзамене, - поставить между излишком производителя и прибылью знак равенства. Переменные издержки вычтены, а постоянные нет: аренда цеха, лизинг оборудования и оклады администрации в площадь под кривой предложения не входят. Поэтому в коротком периоде

$PS = TR - VC = \text{прибыль} + FC.$

Такую величину и называют квазирентой: она сначала покрывает постоянные издержки, а уже остаток становится прибылью. Если в нашем примере постоянные издержки равны 1000 руб., то излишек 1600 руб. оборачивается экономической прибылью всего в 600 руб. При $FC = 1600$ руб. излишек есть, а прибыль нулевая, и фирма работает в точности на грани. Напомним, что экономическая прибыль считается с учётом издержек упущенной выгоды, то есть она ниже бухгалтерской.

В длительном периоде картина меняется: свободный вход конкурентов сбивает цену, и у предельной фирмы излишек стремится к нулю. Сохраняется он только там, где у фирмы есть дешёвый ресурс, который нельзя воспроизвести, - удачное месторождение, участок в центре города, патент. Такой устойчивый излишек уже называют экономической рентой, и его же извлекает продавец, обладающий рыночной властью.

Общий излишек и безвозвратные потери от налога

Сумма излишков обеих сторон рынка называется общим (совокупным) излишком и служит стандартной мерой общественного выигрыша от торговли. Вторая половина этой суммы считается зеркально - как излишек потребителя, площадь под кривой спроса выше цены. На конкурентном рынке без внешних эффектов равновесие максимизирует эту сумму - это содержание первой теоремы благосостояния. Любое вмешательство, сдвигающее объём с равновесного, общий излишек уменьшает.

Добавим к нашему предложению спрос $Q_d = 140 - P$. Равновесие: $140 - Q = 20 + 0{,}5Q$, откуда $Q^* = 80$ шт. и $P^* = 60$ руб. - та же точка, что и раньше. Теперь введём потоварный налог $t = 30$ руб., который платит продавец. Кривая предложения поднимается на величину налога, и новое равновесие даёт $Q_t = 60$ шт., цену покупателя $80$ руб. и цену продавца $50$ руб.

Считаем последствия для продавцов: $PS_t = (50 - 20)^2 / 1 = 900$ руб. вместо 1600 руб., потеря 700 руб. Покупатели теряют 1400 руб., бюджет собирает $30 \cdot 60 = 1800$ руб. Сложим: $700 + 1400 - 1800 = 300$ руб. исчезают ни в чью пользу. Это и есть безвозвратные потери, и их проще считать по треугольнику: $\tfrac12 \cdot t \cdot \Delta Q = 0{,}5 \cdot 30 \cdot 20 = 300$ руб.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание на распределение бремени: покупатель доплатил 20 руб., продавец недополучил 10 руб., хотя налог формально «на продавце». Делится он обратно пропорционально эластичностям: здесь предложение вдвое эластичнее спроса, поэтому продавцы несут вдвое меньшую часть.

Частые ошибки

• Закрашивают площадь под кривой предложения. Под кривой лежат издержки, излишек производителя - строго над ней и строго под линией цены.
• Ведут треугольник до пересечения кривых, а не до фактического объёма. Если рынок не в равновесии (потолок цены, квота, налог), правая граница площади - реально проданный объём, а не точка пересечения спроса и предложения.
• Ставят знак равенства с прибылью. Излишек производителя равен прибыли только при нулевых постоянных издержках; в остальных случаях он больше на величину $FC$.
• Применяют формулу треугольника к нелинейному предложению. Если кривая не прямая, площадь считается интегралом, и подстановка в $\tfrac12(P - a)Q$ даёт ошибку.
• Приравнивают потери продавцов к уплаченному налогу. Продавцы теряют 700 руб. при собранных с рынка 1800 руб.: часть налога переложена на покупателя, а часть вообще никому не досталась.

FAQ

Может ли излишек производителя быть отрицательным? Нет. Если цена опускается ниже цены закрытия $a$, фирма просто не выходит на рынок: объём предложения становится нулевым, а вместе с ним обнуляется и излишек. Отрицательной при этом может быть прибыль - за счёт постоянных издержек, которые платятся и при нулевом выпуске.

Как излишек производителя связан с эластичностью предложения? Чем менее эластично предложение, тем круче кривая и тем больше доля излишка в выручке при той же цене. Предельный случай - вертикальная кривая (фиксированное количество, например места в зале): тогда весь доход сверх цены закрытия оказывается излишком, и налог целиком ложится на продавца, не меняя объём.

Чем излишек производителя отличается от экономической ренты? Излишек производителя считается для короткого периода и включает возмещение постоянных издержек, поэтому его и называют квазирентой. Экономическая рента - это долгосрочная часть выигрыша, которая держится и после свободного входа конкурентов, потому что опирается на невоспроизводимый ресурс.

Коротко

Излишек производителя - площадь между линией рыночной цены и кривой предложения на участке от нуля до проданного объёма. Для линейного предложения $P = a + bQ$ она равна $(P - a)^2 / (2b)$, а эквивалентная запись через издержки - выручка минус переменные издержки. Это квазирента, а не прибыль: постоянные издержки из неё ещё предстоит покрыть. Вместе с излишком покупателей он образует общий излишек, который на конкурентном рынке максимален, а налог срезает его на величину треугольника безвозвратных потерь.