Излишек потребителя: формула и площадь под спросом

Излишек потребителя - это разница между тем, сколько покупатель был готов заплатить, и тем, сколько он заплатил на самом деле. Человек, готовый отдать за зонт 800 рублей и купивший его за 500, уносит с собой 300 рублей выгоды: их нет ни в чеке, ни в выручке магазина, но они вполне реальны. Если сложить такие невидимые выгоды всех покупателей рынка, получится площадь между кривой спроса и линией цены - основная мера того, что рынок даёт покупателям. Ниже разберём, как эта площадь считается в дискретном и непрерывном случае, что с ней происходит при сдвиге цены и как её режут налог и потолок цен. Калькулятор ниже считает излишек по линейному спросу: подвигайте цену и посмотрите, как перестраивается площадь.

Готовность платить и кривая спроса

Готовность платить (willingness to pay) - максимальная сумма, которую покупатель согласен отдать за единицу блага. Для каждого человека это его собственная субъективная оценка: кому-то зонт нужен позарез, кому-то он просто приятная мелочь. Покупка состоится, если готовность платить не ниже цены; выгода покупателя от сделки равна разнице между ними.

Кривая спроса - это та же готовность платить, только выстроенная по убыванию и отложенная на график. Читать её удобно не привычным способом «какая цена, столько и купят», а наоборот: высота кривой над точкой $Q$ показывает, сколько готов заплатить тот, кто покупает $Q$-ю по счёту единицу. Это предельная готовность платить. Первые единицы достаются людям с самой высокой оценкой блага, последние - тем, для кого товар едва стоит своих денег.

Отсюда и геометрия. Все покупатели платят одну и ту же рыночную цену $P$, а готовность платить у них разная и описывается кривой спроса. Значит, суммарная выгода покупателей - это площадь между кривой спроса и горизонтальной линией цены:

$CS = \int_0^{Q} P(q)\,dq - P \cdot Q.$

Первое слагаемое - общая готовность платить за все $Q$ единиц (вся площадь под кривой спроса), второе - то, что покупатели фактически отдали продавцу. Разница и есть излишек потребителя.

Дискретный случай: складываем выгоды покупателей

Проще всего увидеть механику там, где покупателей можно пересчитать по пальцам. Пусть пять человек готовы заплатить за единицу товара 50, 40, 30, 20 и 10 рублей, а цена равна 25 рублям. Покупают только первые трое: у четвёртого и пятого готовность платить ниже цены, и сделка им невыгодна.

Рассчитать для своей задачи

Суммарный излишек равен сумме «шапочек» над линией цены:

$CS = \sum_{i:\, WTP_i \ge P} (WTP_i - P) = (50-25) + (40-25) + (30-25) = 45.$

Два вывода, которые пригодятся дальше. Во-первых, в сумму входят только те, кто реально покупает: отрицательные разности не вычитаются, несостоявшаяся сделка просто не приносит выгоды. Во-вторых, если покупателей становится очень много, а шаг между их оценками маленьким, ступенчатая граница превращается в гладкую кривую спроса, а сумма шапочек - в площадь. Дискретная и непрерывная формулы описывают одно и то же.

Непрерывный случай: площадь под кривой спроса выше цены

Возьмём линейный спрос $Q_d = 100 - 2P$. Чтобы работать с площадью, перевернём его в обратную функцию спроса:

$P(Q) = 50 - \frac{Q}{2}.$

При цене $P = 20$ рублей объём спроса равен $Q = 100 - 2 \cdot 20 = 60$ штукам. Считаем излишек через интеграл:

$CS = \int_0^{60}\left(50 - \frac{q}{2}\right)dq - 20 \cdot 60 = \left(3000 - 900\right) - 1200 = 900.$

Тот же результат даёт школьная формула площади треугольника: основание - объём $Q = 60$, высота - расстояние от цены до точки отсечения $P_{max} = 50$, то есть максимальной готовности платить:

$CS = \tfrac{1}{2}\,(P_{max} - P)\,Q = \tfrac{1}{2} \cdot 30 \cdot 60 = 900.$

Есть и третий путь - интегрировать по цене, а не по количеству:

$CS = \int_P^{P_{max}} Q(p)\,dp = \int_{20}^{50} 2\,(50 - p)\,dp = 900.$

Все три способа обязаны давать одно число; расхождение означает, что где-то перепутаны прямая и обратная функции спроса. Для линейного спроса $Q = b\,(P_{max} - P)$ удобно запомнить компактную форму:

$CS = \tfrac{1}{2}\,b\,(P_{max} - P)^2.$

Почему излишек падает быстрее, чем растёт цена

В этой формуле разница цен стоит в квадрате, и это главное свойство излишка потребителя: он реагирует на цену не пропорционально, а гораздо резче. Причина простая - при росте цены площадь теряется сразу по двум направлениям: она становится ниже (каждая покупка приносит меньше выгоды) и уже (часть покупок вообще не состоится).

Рассчитать для своей задачи

Числа на счётчике проверяются той же формулой: при $P = 10$ излишек равен $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 40^2 = 1600$ рублям, при $P = 40$ - $\tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10^2 = 100$ рублям. Цена выросла в четыре раза, излишек упал в шестнадцать. Насколько резко это происходит в конкретном случае, зависит от наклона спроса: чем он положе, то есть чем выше эластичность спроса по цене, тем сильнее отзывается излишек на тот же рублёвый сдвиг.

Сдвиг цены: переплата плюс несостоявшиеся покупки

Когда в задаче просят оценить не сам излишек, а его изменение, полезно сразу делить потерю на две части. Пусть цена выросла с 20 до 30 рублей. Новый объём спроса равен 40 штукам, новый излишек - $\tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 40 = 400$ рублям. Потеря составила 500 рублей, и она складывается так:

Рассчитать для своей задачи

• прямоугольник переплаты: 40 покупок, которые всё равно состоялись, теперь обходятся на 10 рублей дороже каждая, итого $10 \cdot 40 = 400$ рублей;
• треугольник несостоявшихся покупок: 20 единиц, которые при старой цене покупали, а при новой перестали, приносили выгоду в среднем по 5 рублей, итого $\tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100$ рублей.

Сумма 400 и 100 даёт те же 500 рублей, что и разность площадей. Такое разложение работает в обе стороны: при снижении цены прямоугольник - это экономия на покупках, которые совершались и раньше, а треугольник - выгода от покупок, которых раньше не было.

Излишек потребителя при налоге и потолке цен

Товарный налог проще всего разобрать в предельном случае, когда предложение совершенно эластично и цена для покупателя растёт ровно на величину акциза $t$. Тогда потеря излишка потребителя равна уже знакомой сумме $t \cdot Q_1 + \tfrac{1}{2}\,t\,\Delta Q$. При $t = 10$ рублях это те же 500 рублей: 400 из них государство собирает в бюджет с оставшихся покупок, а 100 рублей не достаются никому - именно на этой части держится разговор об эффективности налогообложения. Вторая половина той же картины - потери продавцов: их измеряет излишек производителя, и только сумма двух площадей показывает, сколько рынок потерял целиком.

Потолок цен действует иначе: он делает благо дешевле, но не увеличивает его количество. Если потолок равен 10 рублям, желающих купить набирается 80 штук, а продавцы выносят на рынок заметно меньше - пусть 40. Когда дефицитный товар достаётся тем, кто ценит его выше всех, излишек покупателей равен $\int_0^{40} P(q)\,dq - 10 \cdot 40 = 1600 - 400 = 1200$ рублям, то есть больше прежних 900. Но это верхняя граница: в очереди или при случайном распределении часть товара уходит людям с низкой готовностью платить, время в очереди тоже чего-то стоит, и выигрыш быстро тает. Отсюда осторожный вывод учебников: потолок цен перераспределяет выгоду, а не создаёт её. О том, при каких условиях свободная цена даёт эффективный результат, говорит первая теорема благосостояния.

Отдельно стоит помнить, что площадь под кривой спроса - это приближение. Строгие денежные меры изменения благосостояния - компенсирующая и эквивалентная вариация, которые считаются по компенсированному спросу; они совпадают с обычным излишком, когда эффект дохода пренебрежимо мал.

Частые ошибки

• Забыть вычесть расходы. Площадь под всей кривой спроса до объёма $Q$ - это общая готовность платить (2100 рублей в нашем примере), а не излишек. Из неё нужно вычесть $P \cdot Q$.
• Сложить выгоды всех, включая неучастников. Покупатели с готовностью платить ниже цены не дают отрицательного вклада: они просто не покупают, и в сумму не входят.
• Перепутать прямую и обратную функцию спроса. В интеграле по $dq$ нужна $P(Q)$, в интеграле по $dp$ - $Q(P)$, а пределы у них разные: $[0, Q]$ и $[P, P_{max}]$.
• Считать только прямоугольник. При изменении цены потеря на оставшихся покупках - лишь часть ответа; треугольник по ушедшим покупкам забывают чаще всего.
• Принимать излишек за точную меру полезности. При больших изменениях цены и заметном эффекте дохода маршаллианский излишек расходится с компенсирующей вариацией, и в строгих задачах это оговаривают.

FAQ

Чем излишек потребителя отличается от готовности платить? Готовность платить - это оценка блага одним покупателем, валовая величина. Излишек - чистая выгода, то есть готовность платить минус фактически уплаченная цена. Для рынка в целом первая величина равна всей площади под кривой спроса, вторая - только её части выше линии цены.

Можно ли посчитать излишек, если спрос нелинейный? Да, формула с интегралом работает для любой убывающей функции спроса, меняется только способ взятия интеграла. Но у некоторых функций интеграл расходится: например, для гиперболического спроса $Q = A/P$ площадь под кривой бесконечна, и излишек в чистом виде посчитать нельзя. Тогда считают изменение излишка между двумя ценами - оно конечно.

В чём измеряется излишек потребителя? В деньгах, а не в единицах полезности: это сумма, которую покупатели готовы были отдать сверх заплаченного. Складывать излишки разных людей можно лишь с оговоркой, что рубль значит для них одно и то же; эта оговорка и есть слабое место любых расчётов благосостояния через площади. Сами предпочтения, стоящие за спросом, описывает карта кривых безразличия.

Коротко

Излишек потребителя равен разнице между готовностью платить и фактической ценой: в дискретной задаче это сумма превышений по тем, кто купил, в непрерывной - площадь между кривой спроса и линией цены, то есть $CS = \int_0^{Q} P(q)\,dq - PQ$, а для линейного спроса просто $\tfrac{1}{2}(P_{max} - P)Q$. Из-за квадратичной зависимости от разницы цен излишек реагирует на подорожание резче, чем можно ожидать, а любое его изменение аккуратно раскладывается на прямоугольник по сохранившимся покупкам и треугольник по покупкам, которых не стало. Налог и потолок цен меняют обе эти части по-разному, поэтому в задачах их стоит считать по отдельности.