Как построить матрицу рисков: критерий Сэвиджа

Дано: матрица выигрышей 3 на 4, строки - стратегии $A_1, A_2, A_3$, столбцы - состояния природы $\Pi_1 \ldots \Pi_4$: 20 35 50 30; 45 25 30 40; 30 40 28 55. Найти: матрицу рисков и оптимальную стратегию по критерию Сэвиджа.

Матрица рисков строится по столбцам: из максимума столбца вычитается каждый элемент этого столбца. Максимальные риски стратегий получаются равными 25, 20 и 22, наименьший из них - 20. Ответ: по критерию Сэвиджа оптимальна стратегия $A_2$ с гарантированным риском 20. Калькулятор сверху пересчитывает матрицу рисков и все три критерия под любые свои числа.

Решение по шагам

Дано. Матрица выигрышей $A = (a_{ij})$, где $a_{ij}$ - выигрыш при выборе стратегии $A_i$ и наступлении состояния природы $\Pi_j$:

Найти: матрицу рисков $R = (r_{ij})$ и стратегию, оптимальную по критерию Сэвиджа.

Шаг 1. Максимумы по столбцам. Риск считается относительно наилучшего, что вообще можно было получить в данном состоянии природы. Поэтому в каждом столбце ищем максимальный элемент $\beta_j = \max_i a_{ij}$:

$$\beta_1 = \max(20; 45; 30) = 45, \quad \beta_2 = \max(35; 25; 40) = 40,$$ $$\beta_3 = \max(50; 30; 28) = 50, \quad \beta_4 = \max(30; 40; 55) = 55.$$

Обрати внимание: максимум ищется именно по столбцу, то есть среди разных стратегий при одном и том же состоянии природы. Это и есть главное место, где ошибаются - берут максимум строки.

Шаг 2. Вычитаем каждый элемент из максимума его столбца. Формула одна на всю матрицу: $r_{ij} = \beta_j - a_{ij}$. Первая строка:

$$r_{11} = 45 - 20 = 25, \quad r_{12} = 40 - 35 = 5, \quad r_{13} = 50 - 50 = 0, \quad r_{14} = 55 - 30 = 25.$$

Точно так же считаются остальные две строки. Собираем матрицу рисков целиком:

Шаг 3. Проверка построения. В каждом столбце матрицы рисков обязан быть хотя бы один ноль - он стоит там, где выигрыш совпал с максимумом столбца. Проверяем: в $\Pi_1$ ноль у $A_2$, в $\Pi_2$ - у $A_3$, в $\Pi_3$ - у $A_1$, в $\Pi_4$ - у $A_3$. Отрицательных элементов нет ни одного, все риски неотрицательны. Матрица построена верно.

Шаг 4. Максимальный риск каждой стратегии. Для каждой строки берём наибольшее сожаление - это худшее, чем может обернуться выбор данной стратегии:

$$\max_j r_{1j} = 25, \qquad \max_j r_{2j} = 20, \qquad \max_j r_{3j} = 22.$$

Шаг 5. Критерий Сэвиджа. Из полученных максимумов выбираем наименьший:

$$S = \min_i \max_j r_{ij} = \min(25; 20; 22) = 20.$$

Минимум достигается на второй строке, значит оптимальна стратегия $A_2$.

Ответ. Матрица рисков построена выше; максимальные риски стратегий равны 25, 20 и 22. По критерию Сэвиджа выбираем $A_2$: при любом состоянии природы упущенная выгода не превысит 20 единиц.

Формула матрицы рисков и откуда она берётся

Элемент матрицы рисков $r_{ij}$ называют риском, сожалением или упущенной выгодой. Это разность между тем, что удалось бы получить при полном знании будущего, и тем, что реально получено:

$$r_{ij} = \beta_j - a_{ij}, \qquad \beta_j = \max_i a_{ij}.$$

Смысл величины проще всего понять через мысленный эксперимент. Предположим, состояние природы уже наступило и оказалось равным $\Pi_3$. Задним числом видно, что надо было играть $A_1$ и получить 50. Если же была выбрана $A_3$ с выигрышем 28, то потеряно $50 - 28 = 22$ единицы - не абсолютного дохода, а возможности. Именно эту разность и записывают в клетку матрицы рисков.

Отсюда вытекают все свойства построенной таблицы. Риск всегда неотрицателен, потому что вычитается максимум столбца. В каждом столбце есть хотя бы один ноль - у стратегии, оказавшейся лучшей при данном состоянии природы. Если в столбце нулей нет или появилось отрицательное число, построение выполнено с ошибкой, и дальше считать бессмысленно.

Важно, что матрица рисков описывает игру с природой, а не конфликт двух разумных соперников. Природа не выбирает состояние назло игроку: дождь, курс валюты или спрос не подстраиваются под решение. Поэтому привычная схема с седловой точкой, которую разбирают для матричной игры в чистых стратегиях, здесь не работает, и вместо цены игры появляются критерии выбора.

Критерий Сэвиджа, он же критерий минимаксного сожаления, формулируется в матрице рисков ровно так же, как критерий Вальда формулируется в матрице выигрышей:

$$S = \min_i \max_j r_{ij}.$$

Сначала для каждой стратегии оценивается худший возможный исход, затем из этих худших исходов выбирается наилучший. Разница лишь в том, что худшее измеряется не в деньгах, а в упущенной выгоде, и поэтому внешняя операция превращается из максимума в минимум.

Критерии Вальда и Гурвица: почему ответы расходятся

Тот же пример стоит просчитать другими критериями - это стандартное продолжение задачи в контрольных. Критерий Вальда работает с исходной матрицей выигрышей и ищет максимин, то есть лучший из худших исходов. Минимумы строк равны 20, 25 и 28, наибольший из них 28, поэтому по Вальду оптимальна $A_3$.

Критерий Гурвица смешивает крайний пессимизм и крайний оптимизм через коэффициент $\lambda \in [0; 1]$:

$$H_i = \lambda \min_j a_{ij} + (1 - \lambda) \max_j a_{ij}.$$

При $\lambda = 0{,}6$ получаем $H_1 = 0{,}6 \cdot 20 + 0{,}4 \cdot 50 = 32$, $H_2 = 0{,}6 \cdot 25 + 0{,}4 \cdot 45 = 33$ и $H_3 = 0{,}6 \cdot 28 + 0{,}4 \cdot 55 = 38{,}8$. Максимум даёт стратегия $A_3$. При $\lambda = 1$ критерий Гурвица вырождается в критерий Вальда, при $\lambda = 0$ - в критерий крайнего оптимизма.

Итог получился разный: Вальд и Гурвиц указывают на $A_3$, Сэвидж - на $A_2$. Это не ошибка расчёта, а свойство задачи. Вальд защищает абсолютный уровень результата: у $A_3$ самый высокий гарантированный выигрыш. Сэвидж защищает от сожаления: у $A_3$ есть клетка с риском 22, потому что при $\Pi_3$ эта стратегия сильно отстаёт от лучшей. Стратегия $A_2$ нигде не проваливается относительно конкурентов, хотя её собственный гарантированный доход ниже. Поэтому в решении задачи нужно не выбирать «правильный» критерий, а выписать ответ каждого и коротко объяснить расхождение.

Если задана матрица затрат, а не выигрышей

Половина задач формулируется на минимум: в клетках стоят затраты, себестоимость, время или потери. Формула меняется зеркально - лучший исход в столбце теперь наименьший, и риск считается как

$$r_{ij} = a_{ij} - \min_i a_{ij}.$$

Свойства сохраняются: риски неотрицательны, в каждом столбце есть ноль, а критерий Сэвиджа по-прежнему берёт $\min_i \max_j r_{ij}$. Критерий Вальда для матрицы затрат превращается в минимакс: $\min_i \max_j a_{ij}$.

Отдельный случай - когда известны вероятности состояний природы $p_j$. Тогда к матрице рисков применяют критерий Байеса и ищут минимум среднего риска $\sum_j p_j r_{ij}$. Полезный факт: стратегия, минимизирующая средний риск, всегда совпадает со стратегией, максимизирующей средний выигрыш, потому что эти суммы отличаются на константу $\sum_j p_j \beta_j$, не зависящую от номера строки. Если задача требует оба показателя, достаточно посчитать один и проверить второй по этому равенству. Матричные модели с вероятностями вообще близки к смешанным стратегиям матричной игры, но там вероятности выбирает сам игрок, а здесь они заданы внешне.

Частые ошибки

• Максимум берут по строке, а не по столбцу. Риск сравнивает стратегии между собой при одном состоянии природы, поэтому $\beta_j$ ищется вертикально. Максимум строки не имеет отношения к матрице рисков.
• Забывают проверить нули. В каждом столбце матрицы рисков обязан стоять хотя бы один ноль. Столбец без нуля означает арифметическую ошибку.
• Появляются отрицательные риски. Это верный признак, что вычитание выполнено в обратном порядке: для задачи на максимум правильно $\beta_j - a_{ij}$, а не наоборот.
• Путают Сэвиджа и Вальда. Сэвидж - это минимакс в матрице рисков, Вальд - максимин в матрице выигрышей. Применение максимина к матрице рисков даёт бессмысленный ответ.
• Ищут седловую точку. В игре с природой второй игрок не действует осознанно, нижняя и верхняя цена игры здесь не требуются.
• Считают Гурвица без указания коэффициента. Ответ по Гурвицу без явного $\lambda$ не засчитывается: при разных $\lambda$ побеждают разные стратегии, поэтому коэффициент выписывается в решении.

FAQ

Чем матрица рисков отличается от матрицы выигрышей? Матрица выигрышей содержит абсолютные результаты, матрица рисков - упущенную выгоду относительно лучшего варианта в том же состоянии природы. Размерность у них одинаковая, но в матрице рисков все элементы неотрицательны, а минимум каждого столбца равен нулю.

Может ли у критерия Сэвиджа быть несколько оптимальных стратегий? Да. Если минимальный максимальный риск достигается сразу на нескольких строках, все они считаются оптимальными по Сэвиджу. В ответе перечисляют их все, а окончательный выбор делают по дополнительному критерию.

Зачем считать матрицу рисков, если есть критерий Вальда? Вальд оценивает абсолютный уровень худшего исхода и часто выбирает стратегию, которая просто нигде не даёт большой суммы. Сэвидж оценивает относительное отставание и не позволяет упустить крупный выигрыш там, где он был доступен. В типовой задаче требуют оба ответа именно для сравнения подходов.

Матрица рисков в теории игр и матрица рисков в риск-менеджменте - одно и то же? Нет. В риск-менеджменте так называют таблицу «вероятность на ущерб» со светофорной раскраской. Здесь речь о матрице сожалений $r_{ij} = \beta_j - a_{ij}$ из теории принятия решений, и считается она иначе.

Коротко

1. Найди максимум каждого столбца матрицы выигрышей: $\beta_j = \max_i a_{ij}$.
2. Построй матрицу рисков по формуле $r_{ij} = \beta_j - a_{ij}$; для задачи на минимум используй $r_{ij} = a_{ij} - \min_i a_{ij}$.
3. Проверь построение: риски неотрицательны, в каждом столбце есть ноль.
4. В каждой строке найди максимальный риск и выбери строку с наименьшим из них - это критерий Сэвиджа $\min_i \max_j r_{ij}$.
5. В примере максимальные риски равны 25, 20 и 22, минимум равен 20, оптимальна стратегия $A_2$; по Вальду и Гурвицу при $\lambda = 0{,}6$ выигрывает $A_3$, и расхождение нужно прокомментировать.