Уравнение Юнга-Лапласа: давление под поверхностью

Уравнение Юнга-Лапласа связывает скачок давления на границе двух фаз с кривизной этой границы и поверхностным натяжением. Именно из-за этого скачка вода поднимается в тонком капилляре, мыльный пузырь стремится сжаться, а мелкие капли испаряются быстрее крупных. В этой статье разберём, что такое лапласово давление, как записывается уравнение Юнга-Лапласа через два радиуса кривизны, чем отличается формула для капли от формулы для пузыря, и как считать капиллярное давление в типичных учебных задачах.

Что такое лапласово давление

Поверхность жидкости стягивается силами поверхностного натяжения, как натянутая плёнка. Если эта поверхность искривлена, силы натяжения дают результирующую, направленную к центру кривизны. Чтобы граница оставалась в равновесии, давление с вогнутой стороны должно быть больше, чем с выпуклой. Эта разница и есть капиллярное (лапласово) давление $\Delta p$ - избыточное давление под искривлённой поверхностью.

Для плоской поверхности кривизны нет, и давления по обе стороны равны: $\Delta p = 0$. Чем сильнее искривлена граница (меньше радиус), тем больше скачок давления. Знак $\Delta p$ определяется тем, с какой стороны лежит центр кривизны: внутри капли давление выше, чем снаружи, а под вогнутым мениском в капилляре - ниже атмосферного.

Прежде чем разбирать формулы вручную, удобно прикинуть порядок величины: ниже - интерактивный помощник, который по радиусу и поверхностному натяжению посчитает лапласово давление для капли, пузыря или мениска и поможет оформить решение для лабораторной или коллоквиума.

Уравнение Юнга-Лапласа в общем виде

В общем случае искривлённая поверхность характеризуется двумя главными радиусами кривизны $R_1$ и $R_2$ - радиусами двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений. Уравнение Юнга-Лапласа записывается так:

$\Delta p = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

где $\gamma$ - поверхностное натяжение жидкости (Н/м), а $\Delta p$ - разность давлений между вогнутой и выпуклой сторонами поверхности (Па). Сумму $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ называют удвоенной средней кривизной поверхности; иногда вводят среднюю кривизну $H = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$ и пишут $\Delta p = 2\gamma H$.

Радиусы считаются положительными, если центр кривизны лежит со стороны жидкости (поверхность выпукла наружу). Для седловидной поверхности один из радиусов отрицателен, и вклады частично компенсируются - поэтому, например, у пузыря в форме катеноида лапласово давление может обращаться в ноль.

Частный случай: сферическая поверхность

Если поверхность сферическая, оба главных радиуса равны радиусу сферы: $R_1 = R_2 = R$. Уравнение Юнга-Лапласа упрощается до формулы для капиллярного давления под сферической каплей:

$\Delta p = \frac{2\gamma}{R}$

Это и есть рабочая формула для большинства задач: капля жидкости в газе, газовый пузырёк в жидкости. Видно, что лапласово давление обратно пропорционально радиусу - у мелкой капли избыточное давление внутри гораздо выше, чем у крупной. Именно поэтому маленькие капли в тумане «передавливают» пар к крупным, и крупные растут за счёт мелких (оствальдово созревание).

Для воды ($\gamma \approx 0{,}072$ Н/м) капля радиусом $R = 1$ мкм даёт $\Delta p = \frac{2 \cdot 0{,}072}{10^{-6}} \approx 1{,}4 \cdot 10^{5}$ Па - порядка атмосферного давления. Для капли радиусом 1 мм избыток всего около 144 Па.

Мыльный пузырь: две поверхности

У мыльного пузыря есть две поверхности раздела - наружная и внутренняя стенки тонкой плёнки. Каждая даёт свой скачок давления $\frac{2\gamma}{R}$ (радиусы практически совпадают, так как плёнка очень тонкая), и они складываются. Поэтому избыточное давление внутри мыльного пузыря вдвое больше, чем внутри капли того же радиуса:

$\Delta p = \frac{4\gamma}{R}$

Различать «каплю» и «пузырь с двумя поверхностями» - ключевой момент. Газовый пузырёк в толще жидкости имеет только одну поверхность раздела, поэтому для него работает формула $\frac{2\gamma}{R}$, а коэффициент 4 - именно для тонкоплёночного мыльного пузыря в воздухе.

Капиллярное давление и мениск

В тонком капилляре поверхность жидкости искривляется в мениск. Если жидкость смачивает стенки (вода в стекле), мениск вогнутый, давление под ним понижено, и жидкость поднимается. Радиус кривизны мениска связан с радиусом капилляра $r$ через краевой угол смачивания $\theta$: $R = \dfrac{r}{\cos\theta}$. Подставляя в уравнение Юнга-Лапласа, получаем капиллярное давление:

$\Delta p = \frac{2\gamma\cos\theta}{r}$

Приравнивая его к гидростатическому давлению столба жидкости $\rho g h$, приходим к формуле Жюрена для высоты подъёма:

$h = \frac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r}$

При $\theta < 90°$ (смачивание) жидкость поднимается, при $\theta > 90°$ (несмачивание, например ртуть в стекле) - опускается. Связь капиллярного давления с краевым углом подробнее разобрана в материале про угол смачивания и гидрофобность - там же про уравнение Юнга для линии трёх фаз.

Как вывести уравнение из энергии

Уравнение Юнга-Лапласа можно получить из условия минимума свободной энергии. Увеличим радиус сферической капли на $dR$. Работа против внешнего давления равна $\Delta p \cdot dV = \Delta p \cdot 4\pi R^2\, dR$, а прирост поверхностной энергии - $\gamma\, dA = \gamma \cdot 8\pi R\, dR$. В равновесии эти величины равны:

$\Delta p \cdot 4\pi R^2\, dR = \gamma \cdot 8\pi R\, dR$

Сокращая, снова получаем $\Delta p = \dfrac{2\gamma}{R}$. Этот вывод показывает физический смысл: лапласово давление - это «цена» за уменьшение поверхности, которую система платит давлением.

Частые ошибки

• Путают каплю и мыльный пузырь. Для капли и газового пузырька в жидкости $\Delta p = 2\gamma/R$, для мыльного пузыря с двумя плёночными поверхностями - $4\gamma/R$. Коэффициент зависит от числа границ раздела.
• Забывают про краевой угол в капилляре. Радиус мениска не равен радиусу трубки: $R = r/\cos\theta$. При полном смачивании ($\theta = 0$) они совпадают, в общем случае - нет.
• Игнорируют знак кривизны. Под вогнутым мениском давление понижено относительно газа, под выпуклым - повышено. Неверный знак даёт «подъём» вместо «опускания».
• Подставляют диаметр вместо радиуса. В формулу входит именно радиус $R$; ошибка в множителе 2 - самая частая в численных расчётах.
• Берут $\gamma$ в неправильных единицах. Поверхностное натяжение в Н/м (или мН/м), радиус - в метрах; иначе давление получится не в паскалях.

FAQ

Чем уравнение Юнга-Лапласа отличается от уравнения Юнга? Уравнение Юнга описывает баланс натяжений в линии контакта трёх фаз и даёт краевой угол смачивания. Уравнение Юнга-Лапласа связывает скачок давления с кривизной поверхности. Это разные соотношения, хотя оба восходят к работам Юнга и оба про поверхностное натяжение.

Почему мелкие капли «невыгодны»? Из $\Delta p = 2\gamma/R$ видно, что у мелкой капли избыточное давление и химический потенциал пара над ней выше (уравнение Кельвина). Поэтому мелкие капли испаряются, а крупные растут - это оствальдово созревание.

Можно ли применять формулу к несферическим поверхностям? Да, но тогда нужно общее уравнение $\Delta p = \gamma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$ с двумя радиусами кривизны. Формула $2\gamma/R$ - лишь частный сферический случай при $R_1 = R_2$.

Коротко

Уравнение Юнга-Лапласа $\Delta p = \gamma\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$ описывает избыточное (капиллярное) давление под искривлённой поверхностью через поверхностное натяжение и кривизну. Для сферической капли оно сводится к $\Delta p = 2\gamma/R$, для мыльного пузыря с двумя поверхностями - к $4\gamma/R$, а в капилляре с учётом краевого угла даёт капиллярное давление $2\gamma\cos\theta/r$ и формулу Жюрена для высоты подъёма. Главное в задачах - правильно определить тип поверхности, число границ раздела и знак кривизны.