Смачивание и краевой угол: разбор и формулы

Капля воды на чистом стекле растекается широкой лужицей, а на жирной сковороде или вощёной бумаге собирается в почти идеальный шарик. Разница между этими случаями - это и есть смачивание, а его количественной мерой служит краевой угол: угол, под которым поверхность жидкости подходит к твёрдой стенке в точке контакта трёх фаз. Через него вся физика границы раздела сводится к одному измеримому числу, по которому уже можно сказать, поднимется ли жидкость по капилляру или, наоборот, опустится. Ниже разберём, что такое краевой угол, как он связан с поверхностными натяжениями через уравнение Юнга, по какому порогу жидкости делят на смачивающие и несмачивающие, и как угол входит в капиллярный подъём. Чтобы сразу почувствовать связь угла, типа смачивания и высоты столба, покрути калькулятор ниже.

Что такое краевой угол

В точке, где сходятся жидкость, твёрдое тело и газ, поверхность жидкости подходит к стенке под некоторым наклоном. Краевой угол $\theta$ - это угол между касательной к поверхности жидкости и плоскостью твёрдой поверхности, отсчитанный со стороны жидкости. Он измеряется в точке контакта трёх фаз - её называют линией трёхфазного контакта, и именно там разыгрывается баланс сил, определяющий форму капли.

Угол не зависит от размера капли - это свойство пары «жидкость + поверхность» (плюс окружающий газ). Маленькая капля и большая лужа той же жидкости на том же материале подходят к стенке под одним и тем же углом. Поэтому краевой угол - устойчивая характеристика смачивания, по которой материалы и сравнивают между собой.

Рассчитать для своей задачи

Чем меньше угол, тем сильнее жидкость льнёт к поверхности и тем больше площадь контакта. При $\theta = 0$ капля растекается в плёнку - это полное смачивание. С ростом угла капля поднимается, округляется, и при $\theta \to 180^\circ$ почти не касается поверхности - полное несмачивание.

Уравнение Юнга: баланс трёх натяжений

Форму капли в точке контакта задаёт равновесие трёх поверхностных натяжений, каждое из которых тянет линию контакта вдоль своей границы раздела. Обозначим $\sigma_{sg}$ - натяжение на границе твёрдое–газ, $\sigma_{sl}$ - твёрдое–жидкость, $\sigma_{lg}$ - жидкость–газ (это привычный коэффициент поверхностного натяжения самой жидкости). Проекция всех сил на плоскость поверхности должна быть нулевой, и из этого баланса получается уравнение Юнга:

$$\sigma_{sg} = \sigma_{sl} + \sigma_{lg}\cos\theta.$$

Отсюда сам краевой угол:

$$\cos\theta = \frac{\sigma_{sg} - \sigma_{sl}}{\sigma_{lg}}.$$

Эта формула - ключ ко всей теме. Если поверхность «выгоднее» покрыть жидкостью, чем оставить сухой (то есть $\sigma_{sg} > \sigma_{sl}$), косинус положителен, угол острый - жидкость смачивает. Если выгоднее держать поверхность сухой ($\sigma_{sg} < \sigma_{sl}$), косинус отрицателен, угол тупой - жидкость не смачивает. Подробнее о том, как сам коэффициент $\sigma_{lg}$ определяется и измеряется, - в разборе поверхностного натяжения жидкости.

Важная оговорка: уравнение Юнга справедливо для идеально гладкой, однородной и химически инертной поверхности. На реальной шероховатой поверхности наблюдаемый угол отклоняется от юнговского - это описывают уже модели Венцеля и Касси, и через них тема выходит на связь угла смачивания и гидрофобности.

Смачивающие и несмачивающие жидкости

Порог между двумя режимами - прямой угол. Принято делить так:

• $\theta = 0$ - полное смачивание: жидкость растекается тонкой плёнкой (вода на абсолютно чистом стекле, спирт на большинстве твёрдых тел).
• $0 < \theta < 90^\circ$ - жидкость смачивает поверхность; для воды такие поверхности называют гидрофильными.
• $\theta = 90^\circ$ - условная нейтральная граница.
• $90^\circ < \theta < 180^\circ$ - жидкость не смачивает; для воды это гидрофобные поверхности (парафин, тефлон).
• $\theta = 180^\circ$ - полное несмачивание: идеальный шарик, касающийся поверхности в одной точке (приближение - капля на сильно гидрофобном материале).

Один и тот же материал может быть смачивающим для одной жидкости и несмачивающим для другой. Вода на чистом стекле растекается ($\theta \approx 0$), а ртуть на том же стекле собирается в шарик ($\theta \approx 140^\circ$). Поэтому смачивание - всегда свойство конкретной пары, а не одной жидкости или одной поверхности по отдельности.

Связь угла и косинуса полезно держать в голове: косинус плавно спадает от $+1$ при $\theta = 0$ до $-1$ при $\theta = 180^\circ$, проходя через ноль ровно на границе $90^\circ$. Именно знак $\cos\theta$ переключает все капиллярные эффекты, что хорошо видно на первом графике калькулятора выше.

Капиллярный подъём и закон Жюрена

Самое заметное проявление смачивания - поведение жидкости в тонких трубках. В капилляре смачивающая жидкость поднимается выше уровня в сосуде, образуя вогнутый мениск, а несмачивающая опускается ниже, образуя выпуклый. Высоту даёт закон Жюрена:

$$h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r},$$

где $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения жидкости (то же, что $\sigma_{lg}$), $\theta$ - краевой угол, $\rho$ - плотность жидкости, $g$ - ускорение свободного падения, $r$ - радиус канала трубки. Формула выводится из равновесия: вес поднятого столба $\rho g \pi r^2 h$ уравновешивается силой натяжения по периметру мениска $2\pi r \sigma\cos\theta$.

Рассчитать для своей задачи

Главное в формуле - роль косинуса краевого угла. При $\theta < 90^\circ$ косинус положителен, и высота $h > 0$: жидкость поднимается. При $\theta > 90^\circ$ косинус отрицателен, $h < 0$, и «подъём» оборачивается опусканием - ровно это происходит с ртутью в стекле. Радиус входит в знаменатель, поэтому чем уже трубка, тем выше (или ниже) уходит столб: сузил канал вдвое - смещение удвоилось. На второй диаграмме калькулятора видно, как высота $h(\theta)$ плавно переходит через ноль при $90^\circ$ и становится отрицательной.

Как измеряют краевой угол

На практике краевой угол чаще всего находят методом сидячей капли: на поверхность наносят каплю и фотографируют её сбоку, а затем по контуру измеряют наклон касательной у линии контакта. Это прямой геометрический способ, не требующий знания отдельных натяжений $\sigma_{sg}$ и $\sigma_{sl}$, которые по отдельности измерить трудно.

Косвенно угол восстанавливают из капиллярного подъёма: измерив высоту $h$ в трубке известного радиуса для жидкости с известными $\sigma$ и $\rho$, выражают $\cos\theta = \rho g r h / (2\sigma)$. Для воды на чистом стекле подъём почти максимален, что и подтверждает $\theta \approx 0$. У реальных поверхностей угол при натекании капли и при её отступании различается - это явление называют гистерезисом смачивания, и в точных измерениях указывают оба угла.

Частые ошибки

• Путают, с какой стороны отсчитывается угол. Краевой угол всегда меряют внутри жидкости, от твёрдой стенки до касательной к поверхности жидкости. Если отсчитать снаружи, получится дополнение до $180^\circ$ и неверный вывод о смачивании.
• Берут $\cos\theta = 1$ всегда. Полное смачивание - частный случай. Для несмачивающей жидкости косинус отрицателен, и в законе Жюрена высота выходит отрицательной - жидкость опускается, а не поднимается.
• Считают краевой угол свойством одной жидкости. Угол определяется парой «жидкость + поверхность»: та же вода даёт около $0^\circ$ на стекле и больше $100^\circ$ на парафине.
• Путают радиус и диаметр в законе Жюрена. В формулу входит радиус канала $r$; если в условии дан диаметр, его надо поделить пополам, иначе высота выйдет вдвое заниженной.
• Применяют уравнение Юнга к шероховатой поверхности напрямую. Оно верно для идеально гладкой однородной стенки; на реальной шероховатости наблюдаемый угол смещается, и нужны поправки Венцеля или Касси.

FAQ

Что такое краевой угол смачивания простыми словами? Это угол, под которым край капли подходит к твёрдой поверхности, измеренный со стороны жидкости. Маленький угол означает, что жидкость растекается и смачивает поверхность, большой - что собирается в каплю и не смачивает.

При каком угле жидкость считается смачивающей? Граница - $90^\circ$. Если краевой угол меньше $90^\circ$, жидкость смачивает поверхность (для воды поверхность называют гидрофильной); если больше $90^\circ$ - не смачивает (гидрофобная). При $\theta = 0$ смачивание полное, при $\theta = 180^\circ$ - полное несмачивание.

Почему ртуть не смачивает стекло, а вода смачивает? Дело в балансе поверхностных натяжений по уравнению Юнга. У воды на стекле выгоднее покрыть поверхность жидкостью, косинус угла положителен, угол близок к нулю. У ртути притяжение между собственными атомами намного сильнее притяжения к стеклу, поэтому ей выгоднее минимизировать контакт - косинус отрицателен, угол около $140^\circ$.

Коротко

Смачивание описывается краевым углом $\theta$ - углом между касательной к поверхности жидкости и стенкой в точке контакта трёх фаз. Его задаёт баланс поверхностных натяжений по уравнению Юнга $\cos\theta = (\sigma_{sg} - \sigma_{sl})/\sigma_{lg}$. По порогу $90^\circ$ жидкости делят на смачивающие ($\theta < 90^\circ$, косинус положителен) и несмачивающие ($\theta > 90^\circ$, косинус отрицателен). Через косинус угол входит в закон Жюрена $h = 2\sigma\cos\theta/(\rho g r)$: смачивающая жидкость в капилляре поднимается, несмачивающая опускается, а узкая трубка усиливает эффект. Калькулятор выше по углу и жидкости сразу даёт тип смачивания и высоту столба.