Поверхностное натяжение жидкости: определение и формула

Поверхностное натяжение - это свойство жидкости, благодаря которому её поверхность ведёт себя как упругая плёнка, стремящаяся сократиться. Именно из-за него капли скатываются в шарики, водомерка не тонет, а вода поднимается по тонкой трубке вверх вопреки силе тяжести. В этой статье разберём строгое определение поверхностного натяжения жидкости, две эквивалентные формулы для его коэффициента, единицы измерения и ключевые следствия: капиллярное поднятие и давление Лапласа под искривлённой поверхностью. Чтобы сразу увидеть связь между коэффициентом, радиусом капилляра и высотой подъёма, покрутите калькулятор ниже, а затем мы выведем каждую формулу по порядку.

Определение поверхностного натяжения

Внутри жидкости каждая молекула окружена соседями со всех сторон, и силы притяжения к ним в среднем уравновешены. У молекулы на поверхности соседей сверху нет: её тянут внутрь и в стороны, но не наружу. В результате возникает равнодействующая сила, направленная внутрь жидкости, и поверхностный слой оказывается в особом, напряжённом состоянии. Чтобы вытащить молекулу из глубины на поверхность, нужно совершить работу против этих сил, поэтому у поверхности есть избыточная потенциальная энергия.

Стремление этой энергии стать минимальной означает стремление площади поверхности стать как можно меньше. Так появляется сила, которая сокращает поверхность, - её и называют силой поверхностного натяжения. Количественной мерой служит коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$.

Рассчитать для своей задачи

Формула коэффициента поверхностного натяжения

Коэффициент поверхностного натяжения можно определить двумя равноправными способами - через силу и через энергию.

Силовое определение: если на границе поверхности мысленно провести линию длины $L$, то поверхностная плёнка тянет вдоль неё с силой $F$, перпендикулярной этой линии и лежащей в плоскости поверхности. Коэффициент поверхностного натяжения равен силе, приходящейся на единицу длины контура:

$\sigma = \frac{F}{L}.$

Энергетическое определение: чтобы увеличить площадь поверхности на $\Delta S$, нужно совершить работу $\Delta A$, пропорциональную приросту площади. Коэффициент равен работе, затраченной на создание единицы новой поверхности:

$\sigma = \frac{\Delta A}{\Delta S}.$

Оба определения дают одну и ту же величину, и это легко проверить на классической рамке с подвижной перекладиной: натянутая плёнка имеет две стороны, поэтому при сдвиге перекладины длины $L$ на расстояние $\Delta x$ площадь растёт на $\Delta S = 2L\,\Delta x$, а работа равна $\Delta A = F\,\Delta x$. Подставив это в энергетическую формулу, получаем ту же силу на единицу длины.

Рассчитать для своей задачи

Единицы измерения и типичные значения

Из формулы $\sigma = F/L$ сразу видны единицы измерения в СИ: ньютон на метр (Н/м). Из энергетического определения следует эквивалентная запись - джоуль на квадратный метр (Дж/м²); легко убедиться, что $1$ Н/м $= 1$ Дж/м². В справочниках старого образца встречается также дина на сантиметр: $1$ Н/м $= 1000$ дин/см.

Коэффициент сильно зависит от природы жидкости и от температуры. Для воды при 20°C он равен примерно $0{,}073$ Н/м, для спирта - около $0{,}022$ Н/м, для мыльного раствора - порядка $0{,}04$ Н/м, а для ртути достигает $0{,}486$ Н/м. С ростом температуры поверхностное натяжение уменьшается и обращается в ноль при критической температуре, когда исчезает граница раздела жидкость-пар. Поверхностно-активные вещества (мыло, спирт) резко снижают $\sigma$ воды, поэтому мыльная плёнка такая «податливая».

Капиллярное поднятие: закон Жюрена

Если опустить тонкую трубку в смачивающую жидкость, та поднимется внутри выше уровня в широком сосуде. Причина - искривлённый мениск: смачивающая жидкость образует вогнутую поверхность, под которой давление понижено, и атмосферное давление вдавливает жидкость вверх, пока вес столба не уравновесит эту разницу. Высота поднятия даётся законом Жюрена:

$h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r},$

где $\theta$ - краевой (контактный) угол между поверхностью жидкости и стенкой, $\rho$ - плотность жидкости, $g$ - ускорение свободного падения, $r$ - радиус капилляра. Чем тоньше трубка, тем выше поднимается жидкость: высота обратно пропорциональна радиусу. Для полностью смачивающей жидкости $\theta = 0$ и $\cos\theta = 1$, формула упрощается до $h = 2\sigma/(\rho g r)$.

Для несмачивающей жидкости угол $\theta$ больше 90°, косинус отрицателен, и вместо поднятия получается опускание - именно так ведёт себя ртуть в стеклянном капилляре. Калькулятор выше показывает оба случая: подвигайте ползунок угла и проследите, как высота меняет знак около 90°.

Давление Лапласа под искривлённой поверхностью

Под изогнутой поверхностью жидкости давление отличается от давления под плоской. Для сферической поверхности радиуса $r$ это избыточное давление даётся формулой Лапласа:

$\Delta p = \frac{2\sigma}{r}.$

Под выпуклой поверхностью (капля) давление повышено, под вогнутой (пузырёк газа в жидкости, мениск в капилляре) - понижено. Чем меньше радиус, тем сильнее эффект: в крошечной капле давление заметно выше атмосферного. Для мыльного пузыря, у которого две поверхности - наружная и внутренняя, избыточное давление вдвое больше: $\Delta p = 4\sigma/r$. Именно давление Лапласа стоит за капиллярным поднятием: разность давлений под вогнутым мениском и есть та сила, что гонит жидкость вверх.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную задачу. Вода смачивает стеклянный капилляр радиусом $r = 0{,}5$ мм. Найдём высоту поднятия, если $\sigma = 0{,}073$ Н/м, плотность $\rho = 1000$ кг/м³, угол смачивания $\theta = 0$.

Сначала переведём радиус в метры: $r = 0{,}5$ мм $= 5\cdot10^{-4}$ м. Поскольку $\theta = 0$, косинус равен единице. Подставляем в закон Жюрена:

$h = \frac{2\sigma}{\rho g r} = \frac{2\cdot 0{,}073}{1000\cdot 9{,}81\cdot 5\cdot10^{-4}} \approx 0{,}0298\ \text{м} \approx 30\ \text{мм}.$

То есть вода поднимется почти на три сантиметра. Проверим попутно давление Лапласа под мениском того же радиуса:

$\Delta p = \frac{2\sigma}{r} = \frac{2\cdot 0{,}073}{5\cdot10^{-4}} \approx 292\ \text{Па}.$

Эти же числа выдаёт калькулятор при пресете «Вода» и радиусе 0,5 мм - можно сверить порядок величины и единицы, прежде чем оформлять решение.

Частые ошибки

• Забыли перевести радиус в метры. Формула Жюрена работает только в СИ: радиус в миллиметрах даёт высоту, завышенную в тысячу раз. Переводите $r$ в метры перед подстановкой.
• Путают диаметр и радиус. В условии часто дают диаметр капилляра или капли. В формулы Жюрена и Лапласа входит именно радиус, поэтому диаметр нужно поделить пополам.
• Игнорируют контактный угол. Если жидкость смачивает не полностью, $\cos\theta < 1$, и высота поднятия меньше. Для несмачивающей жидкости угол больше 90° и высота отрицательна.
• Одна поверхность вместо двух. У мыльной плёнки и мыльного пузыря две поверхности: в силе на рамке появляется множитель 2 ($F = 2\sigma L$), а в давлении пузыря - множитель 2 в формуле Лапласа ($\Delta p = 4\sigma/r$).
• Считают σ постоянной величиной. Коэффициент зависит от температуры и примесей. Брать табличное значение для чистой воды, когда в задаче раствор с ПАВ, - ошибка.

FAQ

Чему равно поверхностное натяжение воды? При 20°C коэффициент поверхностного натяжения воды равен примерно $0{,}073$ Н/м (точнее, $0{,}0728$ Н/м). С ростом температуры оно падает: при 100°C около $0{,}059$ Н/м. Это одно из самых высоких значений среди обычных жидкостей, поэтому вода так хорошо поднимается по капиллярам.

В чём измеряется поверхностное натяжение? В системе СИ - в ньютонах на метр (Н/м), что эквивалентно джоулям на квадратный метр (Дж/м²). Первая запись отражает силовое определение $\sigma = F/L$, вторая - энергетическое $\sigma = \Delta A/\Delta S$. В старых справочниках встречается дина на сантиметр: $1$ Н/м $= 1000$ дин/см.

Почему поверхностное натяжение уменьшается с ростом температуры? При нагревании растёт тепловое движение молекул, ослабляются силы межмолекулярного притяжения, и разница между «поверхностной» и «глубинной» молекулой сглаживается. У критической температуры граница раздела жидкость-пар исчезает, и поверхностное натяжение обращается в ноль.

Коротко

Поверхностное натяжение - свойство жидкости сокращать свою поверхность из-за избыточной энергии поверхностного слоя. Коэффициент $\sigma$ определяют двумя эквивалентными способами: как силу на единицу длины контура $\sigma = F/L$ и как работу на единицу площади $\sigma = \Delta A/\Delta S$, измеряют в Н/м (= Дж/м²). Главные следствия - капиллярное поднятие по закону Жюрена $h = 2\sigma\cos\theta/(\rho g r)$ и избыточное давление под искривлённой поверхностью по формуле Лапласа $\Delta p = 2\sigma/r$.