Коэффициент поверхностного натяжения: формула и σ

Коэффициент поверхностного натяжения показывает, насколько жидкость сопротивляется увеличению своей свободной поверхности. Молекулы внутри жидкости притягиваются со всех сторон одинаково, а у поверхности тянут только вниз и в стороны, поэтому поверхностный слой ведёт себя как натянутая упругая плёнка. Сила этого натяжения и определяет, почему капля собирается в шар, вода поднимается по узкому капилляру, а лёгкая иголка лежит на воде, не тонув. Ниже разберём, что такое коэффициент поверхностного натяжения, как записать его формулу двумя эквивалентными способами, в каких единицах его измеряют и как он входит в капиллярный подъём и давление Лапласа. Чтобы сразу увидеть связь силы, коэффициента и высоты столба, покрути калькулятор ниже: он находит σ по измеренной силе и тут же считает капиллярный подъём.

Что такое коэффициент поверхностного натяжения

Поверхностный слой жидкости обладает избытком энергии: чтобы вытащить молекулу из глубины на поверхность, надо совершить работу против сил притяжения соседей. Поэтому жидкость «не любит» большую поверхность и стремится сократить её до минимума при данном объёме - отсюда шарообразная форма свободной капли. Количественной мерой этого стремления и служит коэффициент поверхностного натяжения, который обозначают греческой буквой $\sigma$ (реже $\alpha$).

Рассчитать для своей задачи

Физически $\sigma$ можно понимать двояко, и оба взгляда дают одну и ту же величину: это и сила, приходящаяся на единицу длины контура поверхности, и энергия, приходящаяся на единицу площади поверхности. Именно поэтому коэффициент поверхностного натяжения измеряют либо в ньютонах на метр, либо в джоулях на квадратный метр - это одна и та же размерность.

Формула коэффициента поверхностного натяжения

Силовое определение: если выделить на поверхности отрезок контура длиной $l$, то сила поверхностного натяжения $F$, действующая вдоль поверхности перпендикулярно этому отрезку, пропорциональна его длине. Коэффициент - это коэффициент пропорциональности:

$\sigma = \frac{F}{l}.$

Энергетическое определение: если увеличить площадь поверхности на $\Delta S$, поверхностная энергия вырастет на $\Delta E$, и

$\sigma = \frac{\Delta E}{\Delta S}.$

Обе формулы описывают одно и то же. В этом легко убедиться на опыте с проволочной рамкой, затянутой мыльной плёнкой: подвижная перекладина длиной $l$ под действием силы $F$ перемещается на $\Delta x$, при этом совершается работа $A = F\,\Delta x$, а площадь плёнки растёт на $\Delta S = 2 l\,\Delta x$. Множитель 2 появляется потому, что у плёнки две поверхности - спереди и сзади. Приравняв работу к приросту энергии, получаем $F\,\Delta x = \sigma \cdot 2 l\,\Delta x$, то есть

$\sigma = \frac{F}{2 l}.$

Это рабочая формула для опыта с плёнкой. Если же речь о единственной границе раздела (например, отрыв рамки или кольца от поверхности воды по одному контуру), множитель 2 не нужен и остаётся $\sigma = F/l$. Именно по этой схеме калькулятор выше восстанавливает коэффициент: задай измеренную силу и длину рамки - и σ найдётся как наклон прямой $\sigma = F/(2l)$.

Единицы измерения и таблица значений

Из формулы $\sigma = F/l$ видно, что размерность коэффициента - ньютон на метр (Н/м). Из формулы $\sigma = \Delta E/\Delta S$ - джоуль на квадратный метр (Дж/м²). Эти единицы тождественны: $1\ \text{Дж/м}^2 = 1\ \text{Н·м/м}^2 = 1\ \text{Н/м}$. На практике удобнее миллиньютоны на метр (мН/м), потому что у большинства жидкостей σ лежит в десятках мН/м.

Рассчитать для своей задачи

Несколько опорных значений при 20 °C: вода - около 73 мН/м, мыльный раствор - примерно 40 мН/м (мыло резко снижает натяжение, поэтому из него легко выдуть плёнку), этиловый спирт - около 22 мН/м, а ртуть - целых 487 мН/м, чем и объясняется, что капля ртути собирается в идеальный шарик. С ростом температуры коэффициент убывает: при нагревании молекулярное притяжение слабеет, и у критической точки σ обращается в ноль.

Капиллярный подъём и закон Жюрена

Самое наглядное проявление поверхностного натяжения - капиллярность. В тонкой трубке смачивающая жидкость (вода в стекле) поднимается выше уровня в сосуде, а несмачивающая (ртуть) опускается ниже. Высоту подъёма даёт закон Жюрена:

$h = \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r},$

где $\theta$ - краевой угол смачивания, $\rho$ - плотность жидкости, $g$ - ускорение свободного падения, $r$ - радиус канала трубки. Формула выводится из равновесия: вес поднятого столба $\rho g \pi r^2 h$ уравновешивается силой натяжения по периметру мениска $2\pi r \sigma \cos\theta$.

Рассчитать для своей задачи

Главный вывод формулы: высота обратно пропорциональна радиусу. Сузил трубку вдвое - столб поднялся вдвое выше. Для полного смачивания $\cos\theta = 1$, для полного несмачивания $\cos\theta = -1$ и высота отрицательна, то есть уровень опускается. Этот же закон работает наоборот: измерив высоту подъёма в капилляре известного радиуса, можно найти коэффициент поверхностного натяжения жидкости - это один из школьных способов измерения σ. В калькуляторе вторая диаграмма как раз показывает кривую $h(r)$ для выбранной жидкости с отмеченной рабочей точкой.

Давление под искривлённой поверхностью

Искривлённая поверхность создаёт под собой дополнительное давление - его называют давлением Лапласа. Для сферической капли или внутренней поверхности с радиусом $r$:

$\Delta p = \frac{2 \sigma}{r}.$

У мыльного пузыря две поверхности (внешняя и внутренняя), поэтому добавочное давление вдвое больше: $\Delta p = 4\sigma/r$. Отсюда понятно, почему маленькие пузырьки «жёстче» больших: чем меньше радиус, тем сильнее перепад давления. Этот же эффект объясняет, почему мелкие капли испаряются быстрее, а в двух соединённых пузырях меньший «перекачивает» воздух в больший. В калькуляторе значение $\Delta p$ считается для одной поверхности по формуле $2\sigma/r$ и обновляется вместе с радиусом.

Частые ошибки

• Забывают про множитель 2 в опыте с плёнкой. У мыльной плёнки две поверхности, поэтому $\sigma = F/(2l)$. Для отрыва кольца или единственной границы раздела множителя 2 нет.
• Путают радиус и диаметр в законе Жюрена. В формулу входит радиус канала $r$, а в условии часто дан диаметр - его надо поделить пополам.
• Не переводят в СИ. Силу берут в ньютонах, длины - в метрах. Если оставить миллиметры или миллиньютоны, ответ уедет на порядки.
• Считают $\cos\theta = 1$ всегда. Полное смачивание - частный случай. Для несмачивающей жидкости косинус отрицателен, и жидкость не поднимается, а опускается.
• Смешивают каплю и пузырь. Для капли и пузырька в жидкости $\Delta p = 2\sigma/r$, а для мыльного пузыря в воздухе - $4\sigma/r$ из-за двух поверхностей.

FAQ

В чём измеряется коэффициент поверхностного натяжения? В ньютонах на метр (Н/м) или эквивалентно в джоулях на квадратный метр (Дж/м²) - это одна и та же размерность. На практике пользуются миллиньютонами на метр (мН/м): у воды это около 73 мН/м.

Чему равен коэффициент поверхностного натяжения воды? При 20 °C он составляет примерно 0,073 Н/м (73 мН/м). С ростом температуры значение падает: у кипящей воды оно уже около 59 мН/м, а вблизи критической точки обращается в ноль.

Как найти коэффициент поверхностного натяжения экспериментально? Двумя основными способами: по силе отрыва рамки или кольца от поверхности ($\sigma = F/l$ или $F/(2l)$ для плёнки) и по высоте подъёма жидкости в капилляре ($\sigma = \rho g r h / (2\cos\theta)$). Оба дают одинаковый результат для одной жидкости.

Коротко

Коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ - это сила на единицу длины контура поверхности ($\sigma = F/l$), она же энергия на единицу площади ($\sigma = \Delta E/\Delta S$); измеряется в Н/м или Дж/м². В опыте с мыльной плёнкой работает форма $\sigma = F/(2l)$ из-за двух поверхностей. Через σ выражаются капиллярный подъём по закону Жюрена $h = 2\sigma\cos\theta/(\rho g r)$ и давление Лапласа под искривлённой поверхностью $\Delta p = 2\sigma/r$. Калькулятор выше находит σ по силе и сразу пересчитывает высоту столба и давление.