Странный аттрактор: хаос Лоренца и дробная размерность

Странный аттрактор - это множество, на которое со временем выходят траектории диссипативной системы, устроенное при этом так, что предсказать движение по нему на долгий срок невозможно. Система полностью детерминирована, уравнения известны до последнего коэффициента, траектория никуда не убегает и остаётся в ограниченной области - и всё равно две почти совпавшие начальные точки через десяток единиц времени оказываются на разных краях аттрактора. Ниже разберём, чем странный аттрактор отличается от точки равновесия и предельного цикла, как устроен аттрактор Лоренца, откуда берётся показатель Ляпунова и почему размерность получается дробной. А пока покрутите калькулятор: параметр $r$ меняет тип аттрактора прямо на графике, а второй ползунок показывает, насколько быстро съедается точность прогноза.

Аттрактор: куда стягивается диссипативная система

Аттрактор - это притягивающее предельное множество: любая траектория, стартовавшая из его окрестности (бассейна притяжения), со временем приходит к нему и дальше остаётся рядом. Ключевое слово здесь «диссипативная»: в системе есть потери, и фазовый объём сжимается. Скорость сжатия даёт дивергенция векторного поля (подробнее о самой операции - в разборе ротора и дивергенции векторного поля). Для системы Лоренца она постоянна и не зависит от точки:

$\nabla \cdot \mathbf{F} = -\sigma - 1 - b = -\left(10 + 1 + \frac{8}{3}\right) \approx -13{,}67.$

Значит, любой объём начальных условий убывает как $V(t) = V_0 e^{-13{,}67\,t}$: за одну единицу безразмерного времени он сжимается примерно в 860 тысяч раз. Отсюда сразу следует, что аттрактор имеет нулевой объём - он не может быть «облаком», он обязан быть тонким множеством. Вопрос лишь в том, насколько тонким: точкой, линией, поверхностью или чем-то промежуточным.

Чем странный аттрактор отличается от точки и предельного цикла

Простых аттракторов три вида. Устойчивая точка равновесия - размерность 0, система приходит в покой (формальный критерий устойчивости даёт первая теорема Ляпунова). Предельный цикл - замкнутая кривая размерности 1, установившиеся автоколебания. Двумерный тор - квазипериодическое движение с двумя несоизмеримыми частотами. Во всех трёх случаях близкие траектории остаются близкими, и прогноз ограничен только точностью измерений.

Странный аттрактор ломает обе черты сразу. Во-первых, его размерность нецелая - он не линия и не поверхность. Во-вторых, соседние траектории на нём разбегаются экспоненциально, хотя само множество ограничено. Термин ввели Давид Рюэль и Флорис Такенс в 1971 году именно для геометрии множества: «странный» - про дробную структуру, «хаотический» - про разбегание. Обычно эти свойства идут вместе, но в теории встречаются и странные нехаотические аттракторы, так что смешивать слова не стоит.

Аттрактор Лоренца: уравнения, параметры и крылья бабочки

Главный пример странного аттрактора Эдвард Лоренц получил в 1963 году, упростив модель тепловой конвекции Рэлея - Бенара до трёх уравнений:

$\dot x = \sigma (y - x), \qquad \dot y = x(r - z) - y, \qquad \dot z = xy - bz.$

Здесь $x$ - интенсивность конвективного вала, $y$ и $z$ - отклонения температуры, $\sigma = 10$ - число Прандтля, $b = 8/3$ - геометрический множитель, $r$ - приведённое число Рэлея, то есть мера подогрева. При $r < 1$ единственный аттрактор - начало координат (теплопроводность без движения). При $r > 1$ рождается пара симметричных неподвижных точек

$C_{\pm} = \left(\pm\sqrt{b(r-1)},\ \pm\sqrt{b(r-1)},\ r-1\right),$

при $r = 28$ это $(\pm 8{,}49;\ \pm 8{,}49;\ 27)$ - два устойчивых режима вращения вала в разные стороны. Они остаются устойчивыми до порога

$r_H = \frac{\sigma(\sigma + b + 3)}{\sigma - b - 1} \approx 24{,}74,$

а дальше траектории некуда сойтись: обе точки отталкивают, на бесконечность уйти не даёт сжатие объёма. Остаётся странный аттрактор - знаменитые «крылья бабочки».

Рассчитать для своей задачи

Чувствительность к начальным условиям и показатель Ляпунова

Возьмём две начальные точки на расстоянии $\delta_0$ и посмотрим, как расходятся их траектории. На странном аттракторе расстояние растёт в среднем экспоненциально:

$\delta(t) \approx \delta_0 e^{\lambda_1 t},$

где $\lambda_1$ - старший показатель Ляпунова. Для классических параметров $\sigma = 10$, $r = 28$, $b = 8/3$ расчёт даёт $\lambda_1 \approx 0{,}906$. Остальные два показателя: $\lambda_2 = 0$ (вдоль потока ничего не растягивается) и $\lambda_3 \approx -14{,}57$, причём их сумма обязана равняться дивергенции: $0{,}906 + 0 - 14{,}57 \approx -13{,}67$. Растяжение по одному направлению и сильное сжатие по другому - и есть «странность» в действии.

Отсюда горизонт предсказуемости: если допустимая ошибка равна $\Delta$, прогноз живёт время

$t_{\text{гор}} = \frac{1}{\lambda_1}\ln\frac{\Delta}{\delta_0}.$

При $\delta_0 = 10^{-6}$ и $\Delta = 1$ получаем около 15 единиц времени. Самое неприятное в формуле - логарифм: каждый дополнительный верный знак в начальных данных добавляет всего $\ln 10 / \lambda_1 \approx 2{,}5$ единицы времени. Уточнив измерения в тысячу раз, вы выигрываете не втрое больший срок, а примерно 7,6 единицы.

Рассчитать для своей задачи

Растяжение и складывание: детерминизм без предсказуемости

Экспоненциальное разбегание не может длиться вечно - аттрактор ограничен. Работает механизм «растяжение и складывание»: поток растаскивает соседние точки вдоль крыла, затем заворачивает лист обратно и накладывает на себя, перемешивая далёкие участки. Проверить это можно без всякой статистики. Лоренц брал последовательные максимумы координаты $z$ и строил зависимость следующего максимума от предыдущего.

Рассчитать для своей задачи

Точки ложатся на тонкую кривую, а не в облако: система полностью детерминирована, по одному максимуму однозначно считается следующий. Но наклон этой кривой всюду больше единицы по модулю, поэтому полоска стартов шириной 0,5 за оборот превращается в интервал шириной около 1,0. Непредсказуемость берётся не из случайности, а из растяжения, повторённого много раз.

Дробная размерность: за что аттрактор назвали странным

Размерность аттрактора считают через показатели Ляпунова по формуле Каплана - Йорке. Для потока с $\lambda_1 > 0$, $\lambda_2 = 0$ и сильно отрицательным $\lambda_3$ она равна

$D = 2 + \frac{\lambda_1}{|\lambda_3|} = 2 + \frac{0{,}906}{14{,}57} \approx 2{,}06.$

Аттрактор Лоренца толще поверхности, но тоньше объёма: локально это лист, состоящий из бесконечного числа слоёв, а его поперечный разрез - канторово множество. Проверить дробность можно и напрямую, подсчётом клеток: накрываем аттрактор сеткой с шагом $\varepsilon$ и считаем, сколько клеток занято. У гладкой линии при уменьшении шага вдвое число клеток растёт вдвое, у куска плоскости - вчетверо. У странного аттрактора - в промежуточное число раз.

Рассчитать для своей задачи

Для аттрактора Хенона прямая в логарифмических осях идеально ровная, а её наклон и есть размерность подсчёта клеток: около 1,28 при теоретической оценке Каплана - Йорке 1,26. Число между 1 и 2 означает ровно то, что видно глазом: это не кривая и не кусок плоскости.

Аттракторы Рёсслера и Хенона

Аттрактор Лоренца не единственный. Отто Рёсслер в 1976 году искал систему попроще и оставил всего одну нелинейность:

$\dot x = -y - z, \qquad \dot y = x + ay, \qquad \dot z = b + z(x - c),$

при $a = b = 0{,}2$, $c = 5{,}7$. Его аттрактор - одна лента с единственной складкой, показатель Ляпунова мал ($\lambda_1 \approx 0{,}07$), размерность $\approx 2{,}01$. Это самый наглядный пример «растяжения и складывания» в чистом виде.

Мишель Хенон в 1976 году пошёл другим путём и заменил поток отображением плоскости в себя:

$x_{n+1} = 1 - a x_n^2 + y_n, \qquad y_{n+1} = b x_n,$

при $a = 1{,}4$, $b = 0{,}3$. Никаких дифференциальных уравнений, а странный аттрактор на месте - именно его подсчёт клеток показан выше. Дискретные модели вообще хаотичны при меньшем числе переменных: логистическое отображение $x_{n+1} = \mu x_n(1 - x_n)$ обходится одной, тогда как его непрерывный аналог, логистическая модель Ферхюльста, монотонно выходит на ёмкость среды.

Частые ошибки

• Путают «странный» и «хаотический». Первое слово о геометрии множества (дробная размерность), второе о динамике (положительный показатель Ляпунова). Для аттрактора Лоренца верно и то и другое, но в общем случае свойства независимы.
• Считают, что траектории разбегаются неограниченно. Экспоненциальный рост работает, только пока расхождение мало; дальше оно насыщается на размере аттрактора. На графике расхождения это видно как выход кривой на полку.
• Ожидают, что ниже порога 24,74 хаоса нет вовсе. Странный аттрактор рождается раньше, при $r \approx 24{,}06$, и в промежутке сосуществует с устойчивыми точками: куда придёт траектория, зависит от старта. А при $r$ от 14 до 24 бывают чрезвычайно долгие хаотические переходные процессы, которые легко принять за аттрактор.
• Пытаются купить прогноз точностью. Горизонт растёт как логарифм точности, поэтому удвоение срока требует возведения точности в квадрат: чтобы из 15 единиц времени получить 30, стартовую ошибку нужно снизить не с $10^{-6}$ до $10^{-7}$, а сразу до $10^{-12}$.
• Считают хаос артефактом численного метода. Уравнения решаются устойчивыми схемами вроде метода Рунге - Кутты 4-го порядка, и качественная картина от шага не зависит. Расходится с истинным решением конкретная траектория, а не сам аттрактор.

FAQ

Почему аттрактор называется странным? Потому что его геометрия не похожа ни на один привычный объект: он не точка, не кривая и не поверхность, а множество дробной размерности с бесконечным числом слоёв. Название закрепилось после работы Рюэля и Такенса 1971 года о природе турбулентности.

Может ли странный аттрактор появиться в системе из двух уравнений? У непрерывной системы на плоскости - нет: по теореме Пуанкаре - Бендиксона ограниченная траектория может прийти только к точке равновесия или к предельному циклу. Нужно минимум три измерения. Для дискретных отображений ограничение слабее: хватает двух переменных (Хенон) и даже одной (логистическое отображение).

Чем хаос на странном аттракторе отличается от шума? Шум не имеет структуры: точки заполняют облако, и по предыдущему значению следующее не вычислить. Детерминированный хаос выдаёт себя тонкой кривой на карте последовательных максимумов и конечной дробной размерностью - по ним хаос и отличают от случайного процесса в реальных данных.

Коротко

Странный аттрактор - предельное множество диссипативной системы, на которое траектории приходят и остаются навсегда, разбегаясь при этом экспоненциально. У системы Лоренца при $\sigma = 10$, $r = 28$, $b = 8/3$ фазовый объём сжимается со скоростью $-13{,}67$, старший показатель Ляпунова $\lambda_1 \approx 0{,}906$, размерность Каплана - Йорке $\approx 2{,}06$, а горизонт прогноза при точности старта $10^{-6}$ составляет около 15 единиц времени. Механизм один и тот же у Лоренца, Рёсслера и Хенона: растяжение вдоль одного направления, сильное сжатие поперёк и складывание, которое держит траекторию в ограниченной области.